Расчет статически определимых конструкций при осевом растяжении и сжатии. Методические указания (стр. 2 )

Продолжение табл. 1

Продолжение табл. 1

Окончание табл. 1

3.1. Пример

Для заданной расчетной схемы (рис. 2.9) ступенчатого стального бруса требуется:

1. Построить эпюры «N», «s»;

2. Проверить прочность бруса;

3. Определить перемещение сечения I - I:

4. Построить эпюру перемещений «d».

Принять [s] = 160 МПа; E = 2 × 105 МПа; F1 = 20 кН; F2 = 70 кН.

Решение

1.  Разбиваем брус на участки, имеем 3 участка.

2.  Определяем величину продольной силы в пределах каждого участка:

N1 = F1 = 20 кН, N2 = F1 = 20 кН, N3 = F1 –F2 = 20 – 70 = -50 кН.

3. 
Строим эпюру продольных сил, отложив положительные значения вверх от оси эпюры, отрицательные вниз.

4.  Проверяем правильность построения эпюры N:

·  в пределах каждого участка эпюра N изображается линиями, параллельными оси эпюры;

·  в сечении бруса, где действует внешняя сила F1, имеется скачок, равный 20 кН, что соответствует величине силы (скачок снизу вверх, т. к. сила растягивающая;

·  в сечении, где действует сила F2, скачок в 70 кН сверху вниз, т. к. сила F2 сжимает брус.

Эпюра N построена правильно.

5.  Определяем величину нормальных напряжений в поперечных сечениях каждого участка:

,

,

.

6.  Строим эпюру нормальных напряжений, аналогично построению эпюры «N».

7.  Вывод о прочности бруса:

smax = 125 МПа < [s] = 160 МПа.

Прочность бруса обеспечена.

8.  Определим абсолютные деформации ∆l участков бруса, расположенных между жесткой заделкой (неподвижным сечением) и сечением 1-1:

,

где s – нормальное напряжение, действующее в поперечных сечениях рассматриваемого участка (берем из эпюры s);

l – длина участка бруса;

Е – модуль упругости первого рода.

мм.

мм.

9.  Определим перемещение сечения 1–1:

d1-1 = ∆l2 + ∆ l3 = 0,2 – 0,5 = -0,3 мм,

что соответствует сжатию участка бруса расположенного между сечением 1–1 и заделкой.

Сечение 1–1 переместилось на 0,3 мм влево.

10.  Построение эпюры перемещений:

·  определим абсолютную деформацию первого участка:

мм;

·  определим перемещение граничных сечений:

dА = 0;

dВ = ∆l3 = -0,5 мм;

dС = dI-I = ∆l3 + ∆l2 = 0,2 – 0,5 = -0,3 мм;

dD = ∆l3 + ∆l2 + ∆l1 = -0,3 + 0,3 = 0;

·  построение эпюры «d»: проводим ось эпюры и в указанных сечениях откладываем полученные значения перемещений – положительные вверх отрицательные вниз; концы полученных отрезков соединяем отрезками прямой. В результате получим прямую ломаную линию.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Тема: расчет на прочность и жесткость статически определимых стержневых систем при растяжении и сжатии.

Цель занятия: освоить методику расчета на прочность и жесткость элементов статически определимых стержневых систем при растяжении и сжатии.

Время, отведенное на проведение занятия и выполнения индивидуального задания: 4 часа, в том числе 2 часа – аудиторных занятий и 2 часа – самостоятельной работы студентов.

4.  ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ Задания и пример расчетА

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ

(сходящаяся система сил)

Для заданной стержневой системы:

·  определить усилия в стержнях;

·  проверить прочность стержней;

·  подобрать экономичные сечения.

Дополнительные данные взять из табл. 2.

Таблица 2

№	F, кН	a°	b°	Сечение стержня	k
Стержень 1 (АВ)	Стержень 2 (ВС)	МПа
1	110	30	45	ë 32´20´4	d = 2 см	240	1,25
2	92	60	15	[ № 5	d = 1,6 см	270	1,4
3	100	45	20	ë 53´20´2	[ № 8	265	1,35
4	180	15	40	d = 1,5 см	ë 32´20´4	250	1,28
5	160	50	30	I № 10	20´20´4	234	1,2
6	110	45	30	a = 2,5 см	30´30´4	245	1,28
7	140	15	60	[ № 8	ë 40´25´3	230	1,32
8	190	75	15	ë 45´28´4	[ № 10	254	1,38
9	240	30	60	I № 12	30´30´3	220	1,26
10	86	25	50	a = 1,7 см	25´25´4	234	1,42

Примечание: угол 75° заменить на угол b. Форму поперечных сечений стержней взять в соответствии с вариантами указанными табл. 2.

4.1. Пример

Для заданной стержневой системы (рис. 2.10) требуется:

1.  Определить усилия в стержнях;

2.  Проверить прочность стержней;

3.  Подобрать экономичные сечения.

Стержень 1 системы выполнен из проката с поперечным сечением ∟ (равнополочный уголок) 45´45´5 (мм). Первые две цифры соответствуют ширине полок b = 45 мм, третья цифра – толщина полки t = 5 мм (cм. табл. ГОСТ 8509-72 сортамента, прил. 2). Стержень 2 выполнен из 2-х равнополочных уголков 25 ´25´3 (мм).

Величина приложенной нагрузки F = 100 кН; предел текучести материала стержней sT = 224 МПа; коэффициент запаса прочности k = 1,4;

a = 30°; b = 45°.

Решение

1.  Разрежем стержни 1 и 2 поперечными сечениями и отбросим части стержней вместе с опорными шарнирами В и С (рис. 2.10 б).

2.  Заменим действие отброшенных частей на оставшиеся части стержней усилиями N1 и N2. В результате имеем плоскую сходящуюся систему сил. Направления усилий укажем в соответствии с деформацией: если стержень растянут – усилие следует направить от сечения, а если сжат – к сечению.

В нашем случае оба стержня растянуты, поэтому усилия N1 и N2 направлены от сечений стержней, т. е. в сторону внешней нормали.

3.  Выбираем систему координат. Предпочтение следует отдавать обычной правой системе координат (ось х – горизонтальна, ось у – вертикальна). В случае расположение стержней под углом 90° друг к другу рекомендуется оси х и у направлять вдоль стержней. Начало координат следует совместить с точкой пересечения линий действия сил. В нашем случае с точкой А.

4.  Определяем углы между направлениями усилий и направлением осей х и у.

5.  Составим уравнения равновесия для полученной системы сил:

åх = 0. –N1 ×sin 30° + N2 sin 45° = 0, (1)

åy = 0. +N1 ×cos 30° + N2 cos 45° - F = 0. (2)

6.  Решаем полученные уравнения равновесия и находим N1 и N2. В данном случае для решения уравнений, используем метод алгебраического сложении, из первого уравнения вычтем второе. В результате имеем:

–N1 × (sin 30° + cos 30°) + F = 0.

Откуда:

кН.

Из уравнения (1).

кН.

7.  Определяем площади поперечных сечений стержней. Используем таблицу ГОСТ 8509-72 сортамента, прил. 2.

А1 = 4,29 см2. А2 = 2А∟ = 2 × 1,43 = 2,86 см2, т. к. стержень 2 состоит из двух уголков.

8.  Определяем напряжения в поперечных сечениях стержней.

Используем формулу:

,

Н/мм2 (МПа),

МПа.

9.  Определяем величину допускаемого напряжения:

МПа.

10.  Вывод о прочности стержней

так как s1 = 170,6 МПа > [s] = 160 МПа,

s2 = 182,5 МПа > [s] = 160 МПа:

и перегрузка обоих стержней больше 5%, то прочность стержней недостаточна.

4.2. Подбор сечений стержней

·  Определяем требуемые площади поперечных сечений стержней. Используем условие:

,

см2,