Алгоритм построения функций принадлежности термов лингвистической переменной

УДК 519.254

П. Н. БЕСЕДИН, Кеева

P. N. BESEDIN, Z. V. ENIKEEVA

Алгоритм построения функций принадлежности термов лингвистической переменной

THE ALGORITHM FOR CONSTRUCTION OF MEMBERSHIP FUNCTIONS OF LINGUISTIC VARIABLE TERMS

В данной статье рассматривается алгоритм построения функций принадлежности термов лингвистических переменных, который в отличие от существующих методов их построения позволяет снизить степень субъективизма экспертов за счет случайного выбора уровней степеней принадлежности.

Ключевые слова: нечеткое множество, экспертный опрос, функция принадлежности, лингвистическая переменная, уровневое множество, степень принадлежности.

In this article the algorithm for construction of membership functions of linguistic variable terms is considered. This algorithm in contrast to existent methods for construction of membership functions allows to reduce the degree of expert subjectivism owing to random selection of levels for grades of membership.

Keywords: fuzzy set, expert questioning, membership function, linguistic variable, level set, grade of membership.

В статье степень принадлежности элемента x нечеткому множеству А интерпретируется как субъективная мера того, насколько элемент x ∈ X соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством А. Под субъективной мерой понимается определенная опросом экспертов степень соответствия элемента x понятию, формализованному нечетким множеством А.

Существующие методы построения функций принадлежности основаны на непосредственном задании степеней принадлежности элементов множества X нечеткому множеству А либо одним экспертом, либо группой экспертов. В зависимости от количества экспертов методы построения функций принадлежности подразделяются на методы для одного эксперта и методы для группы экспертов. Обзор данных методов подробно представлен в [ 1 ].

Существующие методы построения функций принадлежности как для одного эксперта, так и для группы экспертов обладают одним общим недостатком. Человеку свойственно ошибаться, особенно в самооценке (фактически при оценке степеней принадлежности эксперты производят самооценку своих знаний по данной предметной области), поэтому результаты экспертного опроса носят определенный «налет субъективизма». В [ 2 ] отмечалось субъективная склонность экспертов сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы.

В настоящей статье представлен алгоритм построения функций принадлежности, позволяющий снизить субъективное влияние экспертов на результаты их построения и основанный на построении случайным образом выбранных уровневых множеств. При этом степени принадлежности в данном алгоритме имеют вероятностную интерпретацию.

Перед тем как изложить алгоритм, рассмотрим понятие уровневого множества и опишем случайный эксперимент, в котором оно используется.

Пусть А — нечеткое подмножество конечного множества Х={x1, x2, x3, ..., хп}. Предположим, что степени принадлежности элементов множества X нечеткому подмножеству А известны. Обозначим их как A(xi)=ai. Будем полагать, что элементы множества заиндексированы так, что А(хi )³ A(хj), если i > j. Этому нечеткому подмножеству можно поставить в соответствие набор четких подмножеств множества X, называемых уровневыми множествами нечеткого множества А. Множество a-уровня определяется как Аa={х|А(х) ³ a, х Î Х}. Другими словами, Аa - четкое подмножество множества X, которое содержит все элементы, степень принадлежности которых не менее, чем a. Заметим, что если a1 > a2, то и Аa есть возрастающая функция от параметра a. Заметим также, что если для некоторого ak не существует элементов, таких что А(х) ³ ak, то Аa = Æ для a > ak.

Пусть задано нечеткое подмножество А множества X. Рассмотрим следующий случайный способ выбора элемента х из X. Сначала случайным образом выбираем значение a Î [0, 1], а затем также случайно — элемент из соответствующего множества a-уровня. Подсчитаем вероятность выбора конкретного элемента в условиях этого эксперимента.

Для простоты изложения предположим, что 0 £ a1 £ a2 £ ... £ an, an = amax £ l, где ai - степень принадлежности xi множеству X. Выпишем уровневые множества:

при 0 < a £ a1 Aa={x1, x2, x3, x4, …, xn}=A1,

при a1 < a £ a2 Aa={x2, x3, x4, …, xn} =A2,

при a2 < a £ a3 Aa={x3, x4, …, xn} =A3,

при an-2 < a £ an-1 Aa={xn-1, xn}=An-1,

при an-1 < a £ an Aa={xn}=An,

при an < a £ 1 Aa = Æ.

Поскольку в эксперименте значения a выбираются случайным образом, то вероятность того, что уровневое множество Ai окажется выбранным, равна Р(Аi) = 1/n = ai – ai-1 , n – количество уровневых множеств. Так как из выбранного уровневого множества элемент выбирается случайно, то

где nj — число элементов в Aj.

Тогда в соответствии с формулой полной вероятности [ 3 ] получаем

Используя приведенные формулы, рассчитаем вероятность того, что будет выбран данный элемент множества X:

… … …

(1)

Р (выбранных элементов нет) = 1 - ап.

Следует заметить, что если i ³ j, то предполагается, что аi ³ аj и, следовательно, Рi ³ Рj.

Покажем, что сумма вероятностей Р(xi) равна единице.

… … …

Следовательно,

Отсюда

Выразим степень принадлежности ai через вероятность P(xi) выбора элемента в предыдущем эксперименте. Из системы уравнений (1) после алгебраических преобразований получаем

(2)

где п — число элементов в X; ai — степень принадлежности xi нечеткому множеству А; Р(хi) — вероятность того, что в данном эксперименте будет выбран элемент хi.

Из системы уравнений (2) видно, что если известны вероятности, с которыми в эксперименте выбираются элементы множества X, то эту информацию можно использовать для определения степеней принадлежности элементов к нечеткому подмножеству А.

Поэтому, если получить оценки для вероятностей, входящих в правые части системы уравнений (2), то их можно использовать для вычисления значений степеней принадлежности к множеству А.

На рисунке 1 приведен алгоритм построения функций принадлежности. Алгоритм включает следующие шаги.

1. С каждым xi ∈ X связать величину Ti, первоначально равную нулю.

2. Определить объем выборки М (например, М = 25, М = 50, М=100), определяющей количество уровневых множеств.

3. Разделить единичный интервал на М частей равной длины и обозначить это множество через S.

4. Выбрать случайным образом элемент a из S. Удалить элемент a из S.

5. Предложить эксперту, определяющему нечеткое подмножество, перечислить все элементы X, которые принадлежат множеству, соответствующему выбранному значению уровня a.

Рисунок 1 – Алгоритм построения функций принадлежности

6. Если k — число элементов, включенных в множество a-уровня, построенное на шаге 5, то при каждом появлении элемента xi в множестве этого уровня добавить к Ti.

7. Повторять шаги 4 - 6 до тех пор, пока S ≠ ∅.

8. Подсчитать оценки вероятностей Рi = Ti / M.

9. Упорядочить оценки вероятностей Рi по возрастанию.

10. Рассчитать степени принадлежности элементов X множеству, подставив оценки вероятностей Рi в (2).

Рассмотрим пример построения функции принадлежности для терма «малое» лингвистической переменной «Количество РЭС», определенного на базовой шкале X={0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Для рассматриваемого примера, который только демонстрирует работу предлагаемого алгоритма, объем выборки положим равным М = 5.

Тогда S={1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2}.

Пусть, выбирая значения уровня случайным образом, от эксперта получили следующие уровневые множества нечеткого подмножества А:

А1 = {0},

А0,2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

А0,4 = {0, 1, 2, 3},

А0,8 = {0, 1},

А0,6 = {0, 1, 2}.

Используя полученные ответы, подсчитаем Ti; для каждого элемента:

Т0 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 = 2,25;

Т1 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 = 1,25;

Т2 = 1/3 + 1/4 + 1/6 = 0,75;

Т3 = 1/4 + 1/6 = 0,416;

Т4 = 1/6 = 0,166;

Т5 = 1/6 = 0,166.

Рассчитаем оценки значений вероятности (Pi = Ti /5):

Р0 = Т0 / 5 = 0,45;

Р1 = Т1 / 5 = 0,25;

Р2 = Т2 / 5 = 0,15;

Р3 = Т3 / 5 = 0,0833;

Р4 = Т4 / 5 = 0,0333;

Р5 = Т5 / 5 = 0,0333.

Расположим вероятности в возрастающем порядке:

Р5 = 0,0333; Р4 = 0,0333; Р3 = 0,0833; Р2 = 0,15; Р1 = 0,25; Р0 = 0,45.

Подставляя полученные значения в (2), учитывая, что общее число элементов в X равно 6, подсчитаем степень принадлежности элементов множеству:

α5 = 6 х 0,0333 = 0,2;

α4 = 5 х 0,0333 + 0,0333 = 0,2;

α3 = 4 х 0,0833 + 0,0333 + 0,0333 = 0,4;

α2 = 3 х 0,15 + 0,0833 + 0,0333 + 0,0333 = 0,6;

α1 = 2 х 0,25 + 0,15 + 0,0833 + 0,0333 + 0,0333= 0,8;

α0 = 1.

Получив таким образом значения степеней принадлежности, может быть осуществлено построение функции принадлежности для терма «малое» лингвистической переменной «Количество РЭС».

список литературы

1.  , , Коровин советующие системы с нечеткой логикой. – М.: Наука, 1990. – 272 с.

2.  Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения/ Под ред. Р. Ягера. – М.: Радио и связь, 1986. – 391 с.

3.  Венцель вероятностей. – М.: Наука, 1964. – 573 с.

Военный авиационный инженерный университет, г. Воронеж

К. т.н., заместитель начальника отдела НИИЦ РЭБ и ОЭСЗ

Тел.: +7(47

E-mail: *****@***ru

Воронежская областная Дума, г. Воронеж

Ведущий специалист отдела информационного и технологического обеспечения

Тел.: +3-70

E-mail: *****@***ru