Регрессионный анализ (стр. 2 )

.

Тогда значения результирующего показателя, взятые из табличной функции, можно назвать фактическими, а значения, рассчитанные с помощью уравнения регрессии для фактических значений факторов, можно назвать расчетными:

где ,

,

.

Соответствующее среднее значение:

.

Соответствующие усредненные суммы квадратов отклонений:

,

.

Качество уравнения регрессии характеризуется:

-  коэффициентом корреляции;

-  критерием Фишера.

Рассмотрим использование коэффициента корреляции.

Относительная величина разности между менее точным средним значением и более точным уравнением регрессии определяется коэффициентом детерминации , а квадратный корень из него - коэффициент корреляции :

,

где - усредненная сумма квадратов отклонений фактических значений результирующего показателя от среднего значения фактических значений результирующего показателя;

- усредненная сумма квадратов отклонений фактических значений результирующего показателя от значений результирующего показателя, рассчитанного по уравнению регрессии;

где .

Наихудшим уравнением регрессии будет такое, в котором факторы не оказывают влияния на результат, т. е. все коэффициенты . Тогда уравнение регрессии примет вид:

В этом случае ошибка отображения результата:

В других случаях, когда влияние факторов объясняет изменение результата, по крайней мере один из коэффициентов . Тогда ошибка отображения результата:

В итоге, всегда

и для коэффициента корреляции

.

Близость к нулю коэффициента корреляции означает, что ошибка отображения результирующего показателя с помощью среднего значения и уравнения регрессии почти не отличается. Поэтому целесообразно использовать в этом случае для получения надежных оценок более простой инструмент - среднее значение.

Близость к единице коэффициента корреляции означает, что линия регрессии проходит близко к экспериментальным точкам. Поэтому лучшим из уравнений регрессии будет такое, для которого коэффициент корреляции ближе к единице.

Рассмотрим использование критерия Фишера.

Более определенно оценить качество уравнения регрессии в целом позволяет критерий Фишера (F-критерий). Он применяется для проверки статистических гипотез.

Можно выдвинуть две конкурирующие гипотезы:

-  нулевая гипотеза заключается в предположении о том, что все коэффициенты в уравнении регрессии равны нулю, т. е. , ;

-  альтернативная гипотеза допускает то, что по крайней мере один из коэффициентов статистически значимо отличен от нуля.

Если нулевая гипотеза будет отвергнута, когда она справедлива, то этот случай называется ошибкой первого рода, а его вероятность обозначается . Обычно в экономических исследованиях принято .

Расчетное значение F-критерия определяется аналогично вычислению коэффициента детерминации при усреднении делением числителя и знаменателя на число степеней свободы:

,

где - число независимых переменных в уравнении регрессии;

- число наблюдений.

Для проверки гипотезы рассчитанное значение сравнивается с выбранным из таблицы F-распределения Фишера значением для вероятности ошибки первого рода и степеней свободы и .

Если , то нулевая гипотеза отвергается.

Если , то нулевая гипотеза принимается и качество уравнения регрессии плохое.

3.5. Экономический анализ на основе уравнений регрессии

Уравнения регрессии используются для анализа экономических показателей и их взаимосвязей следующим образом:

-  для интерпретации полученных коэффициентов уравнения регрессии;

-  при изучении вклада факторов в изменение результирующего показателя;

-  для прогнозирования результатов экономической деятельности.

Интерпретация полученных коэффициентов уравнения регрессии позволяет определить:

-  влияние фактора на результат при неизменной величине других факторов за счет учета знака коэффициента при этом факторе;

-  влияние неучтенных факторов на результирующий показатель через свободный член (коэффициент) уравнения регрессии.

Рассмотрим процедуру изучения вклада факторов в изменение результирующего показателя.

Вклад каждого фактора в изменение результирующего показателя определяется с помощью метода цепной подстановки факторов следующим образом:

-  определяют общий прирост результата в отчетном периоде по сравнению с базовым

,

где - значение результирующего показателя в отчетный период;

- значение результирующего показателя в базовый период;

-  в уравнение регрессии для базового периода

подставляют значения факторов для отчетного периода по одному

-  определяют прирост результата под действием каждого из факторов

-  определяют долю каждого фактора в приросте результата

, ,

где .

Прогнозирование результатов экономической деятельности с помощью уравнения регрессии производится при следующих условиях.

Уравнения регрессии, отражающие действующие в прошлые периоды времени тенденции развития, можно использовать для прогнозирования результатов экономической деятельности при условии сохранения этих тенденций в будущем. Для этого определяются перспективные значения факторов и рассчитывается по уравнению регрессии прогнозируемое значение результатов экономической деятельности.

Выводы по третьему разделу

Задача регрессионного анализа состоит в определении случайной величины результата, если случайные величины факторов, от которых статистически зависит этот результат, приняли конкретные значения. Для этого корреляционную зависимость результата от факторов требуется отобразить с помощью функциональной зависимости, которая представляется уравнением регрессии. Необходимо определить такой вид и параметры уравнения регрессии, при которых наиболее точно осуществляется такое представление.

Для расчета коэффициентов линейного уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов. Надежность рассчитанных коэффициентов оценивается с помощью коэффициента частной корреляции или с помощью t-критерия (критерия Стьюдента). Качество уравнения регрессии характеризуется коэффициентом корреляции или с помощью критерия Фишера.

Экономический анализ на основе уравнений регрессии проводится посредством интерпретации полученных коэффициентов этих уравнений, определения вклада факторов в изменение результирующего показателя, а также прогнозирования результатов экономической деятельности.

Вопросы для самопроверки

- Что представляют собой статистические данные и как они могут быть представлены в табличном виде?

- Что такое корреляционная зависимость?

- Для чего служит уравнение регрессии?

- Чем различаются парная и множественная корреляция?

- Какие этапы необходимо реализовать при проведении регрессионного анализа?

- Для расчета коэффициентов какого вида уравнения регрессии может быть использован метод наименьших квадратов?

- Как определяются регрессионные остатки и что они характеризуют?

- Почему метод называется наименьших квадратов?

- Что характеризует надежность оцениваемого коэффициента уравнения регрессии?

- Какие показатели используются для оценки надежности коэффициентов уравнении регрессии?

- Как определяется существенный фактор в уравнении регрессии?

- На сравнении чего основана проверка качества уравнения регрессии?

- Какие показатели используются для проверки качества уравнения регрессии?

- Что означает близость к нулю или близость к единице коэффициента корреляции?

- Каково качество уравнения регрессии, если при использовании критерия Фишера нулевая гипотеза отвергается?

- Каким образом используется уравнение регрессии для анализа экономических показателей и их взаимосвязей?

- С помощью какого метода определяется вклад каждого фактора в изменение результирующего показателя?

- При каких условиях уравнение регрессии, отражающее действующие в прошедшие периоды времени тенденции развития, можно использовать для прогнозирования результатов экономической деятельности в будущем?

Примеры решения задач

1. Построить уравнение регрессии и оценить надежность его коэффициентов с помощью коэффициента частной корреляции по следующим данным:

№ наблюдения
1	24,69	1,59	4,85
2	8,00	2,41	7,94
3	29,41	2,71	1,12
4	19,14	1,48	7,60
5	39,84	0,03	6,21
6	18,77	3,80	2,33
7	26,14	0,67	4,97
8	22,28	4,59	5,33
9	26,01	3,51	4,10
10	22,35	0,24	5,43
11	21,96	2,54	0,39
12	34,91	0,31	3,57
13	41,05	2,54	4,04
14	1,27	4,02	9,59
15	44,39	4,87	5,41
16	18,02	2,92	7,67
17	45,29	4,28	2,91
18	30,09	0,26	4,52
19	47,39	2,52	4,09
20	37,19	2,06	3,23

Решение.[2]

Рассчитываются промежуточные данные, необходимые для составления системы уравнений, с помощью которой определяются коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших квадратов.

558,19	47,35	95,30

1297,99	156,59	223,90	2400,81	554,32