Регрессионный анализ (стр. 1 )

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

3.1. Постановка задачи регрессионного анализа

Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли, хозяйства), как правило, представляются таблицами статистических данных:

Обычно один из экономических показателей выделяется в качестве результирующего и изучается влияние на него других показателей как факторов.

Статистические данные представляют собой выборку некото­рой реализации значений случайных величин:

- -ая реализация численного значения результата , ;

- -ая реализация численного значения -ого фактора , , .

Использование статистических данных позволяет добиваться оптимальных результатов, управляя величинами факторов, или прогнозировать возможную величину результата при сложившихся значениях факторов.

Между случайной величиной результата и случайной величиной фактора имеется стохастическая (случайная) зависимость, т. е. существует корреляционная зависимость.

Использование представленных в табличной форме статистических данных для выработки управленческих решений или прогнозов недостаточно удобно из-за их большого объема, ненаглядности и необходимости дополнительной обработки. Поэтому стремятся представить такие статистические данные в виде аналитической зависимости результата от факторов.

Таким образом, корреляционную зависимость результата от факторов, проявляющуюся приблизительно и лишь в массе наблюдений, требуется отобразить с помощью функциональной зависимости результата от факторов, проявляющуюся определенно и точно в каждом конкретном случае. Задача состоит в определении интересующей нас случайной величины результата, если случайные величины факторов, от которых статистически зависит результат, приняли конкретные значения.

Функциональная зависимость результата от факторов представляется уравнением регрессии[1].

Парная корреляция выражается зависимостью между двумя случайными величинами - результатом и одним фактором:

.

Множественная корреляция характеризует стохастическую связь между результатом и несколькими факторами:

.

Замена корреляционной зависимости на функциональную может привести к искажению отображения влияния факторов на результат. Поэтому общая задача регрессионного анализа состоит в определении такого вида и параметров уравнения регрессии, при которых наиболее точно представляется корреляционная зависимость.

При проведении регрессионного анализа необходимо выполнить, по крайней мере, пять следующих этапов:

1)  выбрать функцию для построения уравнения регрессии;

2)  рассчитать коэффициенты (параметры) уравнения регрессии (см. 3.2);

3)  оценить надежность рассчитанных коэффициентов уравнения регрессии (см. 3.3);

4)  проверить качество уравнения регрессии (см. 3.4);

5)  провести экономический анализ на основе уравнения регрессии (см. 3.5).

Далее будем рассматривать только линейные уравнения регрессии и регрессионный анализ - со второго этапа.

3.2. Расчет коэффициентов уравнения регрессии

методом наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) может быть использован для расчета коэффициентов только линейного уравнения регрессии.

При определении коэффициентов однофакторного уравнения регрессии с помощью табличных (фактических) значений

Результат
Фактор

определяют регрессионные остатки, характеризующие отклонения (ошибки), с которыми линейное уравнение регрессии отображает табличную функцию:

Ясно, что чем лучше будут подобраны коэффициенты линейного уравнения регрессии, тем меньше по абсолютной величине будут отклонения. Поэтому требуется найти такие значения коэффициентов и , при которых сумма квадратов регрессионных остатков была бы минимальной:

.

Функция двух аргументов принимает экстремальное значение, в данном случае минимальное, в точке , в которой частные производные этой функции по каждому аргументу равны нулю:

,

.

После преобразования получаем систему уравнений:

Решая систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных и , определяются коэффициенты (параметры) линейного уравнения регрессии:

.

Аналогично рассчитываются коэффициенты многофакторного уравнения регрессии.

3.3. Оценивание надежности коэффициентов

уравнения регрессии

Надежность оцениваемого коэффициента при соответствующем факторе в уравнении регрессии характеризует, насколько точнее уравнение регрессии, включающее этот коэффициент, отражает случайные величины результата, чем уравнение регрессии, не включающее этот коэффициент.

Для оценки надежности коэффициентов используются:

-  коэффициент частной корреляции;

-  t-критерий (критерий Стъюдента).

Рассмотрим использование коэффициента частной корреляции для оценки влияния фактора в уравнении регрессии

Пусть в результате наблюдений имеются фактические значения, представленные в таблице:

Коэффициент частной корреляции рассчитывается по формуле:

где суммы квадратов отклонений

Тогда, если , то , т. е. отклонения уравнения регрессии при от фактических значений результирующего показателя минимальны и фактор является существенным.

Если , то , т. е. можно принять коэффициент , т. к. он не способствует повышению точности.

Рассмотрим использование t-критерия Стъюдента.

Вычисление любого коэффициента уравнения регрессии производится по данным наблюдения фактических значений результата и влияющих на него факторов (см. 3.3). Поэтому от объема выборки ( наблюдений) и точности измерения таких данных зависит правильность расчета коэффициента Ошибка расчета такого коэффициента является случайной величиной и может быть оценена методом испытаний гипотез.

Значение t-критерия Стъюдента рассчитывается по формуле:

где - вычисленное значение -ого коэффициента уравнения регрессии;

- рассчитываемая ошибка определения этого коэффициента.

Сформулируем две гипотезы:

-  нулевую о том, что коэффициент

-  альтернативную (конкурирующую) о том, что коэффициент .

Зададим вероятность допустить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу, как уровень значимости

Из таблицы t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы определяется значение .

Если , то нулевая гипотеза отвергается.

Если , то

3.4. Проверка качества уравнения регрессии

Проверка качества уравнения регрессии основана на сравнении точности получаемого с помощью этого уравнения отображения результирующего показателя с точностью оценок при использовании среднего значения результирующего показателя.

Рассмотрим табличную функцию:

Пусть построено уравнение регрессии для этой табличной функции: