Вопросы к зачету по вычислительным методам квантовой физики
Осенний семестр. 3 курс "E"
1. Матричное представление задачи Шредингера. Свойства собственных значений и волновых функций. Оценка энергии основного состояния. Коммутирующие операторы.(задача 4.1)
2. Дискретное преобразование Фурье .(задача 9.5)
3. Дискретная дельта-функция .(задача 9.4)
4. Быстрое преобразование Фурье. (задача 9.3)
5. [Уравнения математической физики. Решения Даламбера, Фурье-анализ и задача Штурма-Лиувилля, функция Грина].
6. Виды сортировок. Оптимальная сортировка. (задача 2.4а)
7. Поиск. Оптимальные варианты. (задача 6, Na=4, Nmax=2, N=2,3)
8. Нормальное распределение. (задача 7.3)
9. Экспоненциальное распределение (и на конечном отрезке)
10. Распределение Пуассона. (задача 7.2)
11. Метод обратных функций. (задача 7.3)
12. Метод Неймана. (задача 7.4)
13. Почти линейная плотность (задача 7.1)
14. Равномерное распределение, на конечном отрезке, мат. ожидание, дисперсия, способы получения случайных чисел. (задача 7.5)
15. Расчет двумерной вероятности, пример exp{-[y-x]}, 0<x, y<1 [и на конечном отрезке]
16. Узельный базис. Одночастичная задача для одномерного движения. Дискретный и непрерывный спектры. (задача 2.3а)
17. Импульсный базис для одночастичной задачи, Гамильтонова матрица, связь с узельным базисом. (задача 5а)
18. Гармонический осциллятор. Операторы рождения и уничтожения. (зад. 5б)
19. [Квантование поля упругих волн].
20. Формализм вторичного квантования. Одночастичный базис. Преобразования базисов. (задача 2.2а)
21. Формализм вторичного квантования. Двухчастичный базис. Соотношения коммутации. (задача 2.1а)
22. Многочастичный узельный базис. Правила действия для ферми-операторов, со спином и бесспиновый случай. (задача 2.1)
23. Операторы физических величин в представлении вторичного квантования. Случай одночастичных операторов. (задача 10.1)
24. Двухчастичные операторы физических величин в представлении вторичного квантования. (задача 3.4)
25. [Полевые операторы и вторичное квантование]
26. Узельная модель. Приближение сильной связи. Гамильтонова матрица, диагональные и недиагональные матричные элементы. (задача 3.3)
27. Закон дисперсии для модели сильной связи. Аналитическое решение для многочастичной задачи. (задача 3.2)
28. Зависимость спектра от знака матричного элемента перескока. (задача 3.1)
29. Модель Хаббарда. Построение матрицы. (задача 2.1, 11а, б)
30. Модель Хаббарда в приближении среднего поля. Влияние взаимодействия на спектр. (задача 2.2, 11а, б)
31. Законы сохранения в модели Хаббарда. Число частиц и спин (задача 10.2, 11а, б)
32. Расчет квантовомеханического среднего в узельном базисе (<n>, <n n>, <a+a>) по результатам диагонализации. (задача 1.1, либо 1.2)
33. Вторичное квантование для бозе статистики. Правила действия операторов. Узельный базис. (задача 3.5)
34. Оператор числа частиц (ферми, бозе). (задача 3.8)
35. Модель Бозе-Хаббард. Усеченная бозе-статистика. построение матрицы. (задача 10.3)
36. Инварианты модели Бозе-Хаббард. (задача 10.4)
37. Роль знака матричного элемента перескока в бозевской модели. (задача 3.7)
38. Закон дисперсии для модели Бозе-Хаббард без взаимодействия. (задача 3.6)
39. Градиентно-инвариантная фаза. Периодичность от фазы. (задача 8а)
40. Аналитическое решение для модели решеточных бозонов в присутствии фазы. (задача 8б)
41. Трансляционная инвариантность. (задача 9.2)
42. Построение Гамильтоновой матрицы по секторам импульса. (задача 9.1)
43. Операторы спиновой статистики. Квантование и действие операторов на базисные функции.
44. Спиновые модели. Обменное взаимодействие.
Задачи к вопросам (по материалу осеннего семестра).
1. Расчет конкретного матричного элемента (недиагонального, диагонального) <10204|b+3b5|10105>, <100101|a+4a3|101001>, a+3a+7|>, и т. д., как для 1.1) ферми, так и для 1.2) бозе статистики, с учетом или без учета ограничения на максимальное заполнение (для вопроса 32).
2. Для 1-2 частиц и 3-4 узлов рассчитать матрицу для Ферми, Бозе (варианты 2.1, 2.2, 2.2а, 2.3, 2.3а, 2.4, 2.4а). (для вопр. 7,16, 20, 21,22, 29, 30)
2.1) бесспиновые фермионы, , t=-1, Na=3, N
=2, конечное U
2.1a) нулевые граничные условия (или без антисимметрии)
2.2) Na=4, N
=2;
то же, но 2.2a) нулевые граничные условия, то же, но без антисимметрии.
2.3) бозоны, t=-1, конечное U (Un2 - варианты U ! ) , Na=2, N=2;
2.3а) то же, но N=1, или 3
2.4) бозоны U=1, Na=3, N=2
(периодические и 2.4а) нулевые граничные условия (при U=0 можно))
3. Кратность состояний многочастичной системы без взаимодействия для бозе и ферми и значения энергии состояний, пользуясь только одночастичным законом дисперсии. (вар. ). (для вопр. 24, 26, 27, 28, 33, 34, 37, 38)
а) бесспиновые фермионы,
3.1) Na=8, N=3; 3.2) N=2, Na=8
б) фермионы со спином,
3.3) Na=4, N=2, N=2; 3.4) N=2, N=1, Na=4
в) бозоны,
3.5) Na=8, N=3; 3.6) N=2, Na=8 3.7) Na=6, N=3; 3.8) N=2, Na=6
4. Количество состояний с Na узлами (4-8) и различным числом частиц со спином вверх и вниз. Статистика как ферми, так и бозе.(4.1-4.3) (вопр. 1)
ферми:
4.1) Na=8, N=1, N=1; N=2, N=1; N=2, N=2; N=3, N=2; N=3, N=3; N=4, N=4;
бозе:
4.2) N
=4, N=2; N=3; N=4; N=5; 4.3) N=6, N=2; N=3; N=4; N=5; N=6.
5. Доказать справедливость коммутационных соотношений (5а) ферми, (5б) бозе при переходе к импульсному базису. (вопр. 17, 18)
6. Как построить базис, отсортированный по числам заполнения, для конкретной ситуации (ферми, бозе, усеченная статистика). (для вопр. 6,7)
7. Расчет случайного распределения типа x2, sqrt(x), и т. д. (7.1-7.5). (вопр. 10,11,12,13,14)
7.1) x2, 7.2) sqrt(x), 7.3) (a2+x2)-1, 7.4) ch-2(ax), 7.5) ln(x) и т. д.
8. Расчет фазовой зависимости энергии для невзаимодействующих бозе-, ферми-систем, с конечным Na, N: Na=4, N=2, 3 (8a, 8б). (вопр. 39, 40)
9. Разбить матрицу на блоки по трансляциям, конкретные ферми, бозе, усеченные статистики. (9.1-9.5). (вопр. 2,3,4, 41, 42)
бозе,
9.1) N=6, N=2 9.2) N=6, N=2, Nmax=1 9.3) N=4, N=4 9.4) N=5, N=3 9.5) N=5, N=2
10. Разбиение на матрицы с различным числом частиц, суммарным спином. (10.1-10.4). (вопр. 23, 24, 31, 35, 36)
а) ферми:
10.1) Na=6, N=1, N=0; N=1, N=1; N=2, N=0; N=3, N=0; N=2, N=1…..
(не забыть |000000> ) Итог: 46
10.2) Na=4, Итог: 44
б) бозе:
10.3) Na=4, Nmax=2, Итог: 34 10.4) Na=4, Nmax=3, Итог: 44
11. Зависимость от U энергии для Хаббарда: (вопр. 29,30,31)
а) N=2, N=0, Na=5 б) N=8, N=8, Na=8
