ЧАСТЬ 1 ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ
И МНОЖЕСТВО ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ
«Рыба ищет где глубже, а человек – где лучше» - эта пословица отражает суть дисциплины, излагаемой в данном пособии. Она говорит о естественном стремлении человека в любых условиях принять наиболее выгодное для себя решение. Если мы хотим использовать для этого математические методы, то должны, прежде всего, описать на строгом математическом языке следующее:
1) тот набор возможных решений, из которого мы ищем наилучшее,
2) требования, в соответствии с которыми выбранное решение будет признано наилучшим.
Основная часть методов оптимизации разработана в предположении, что требования к наилучшему решению состоят в одном: для этого решения некоторая вещественная числовая переменная, которая называется критерием оптимальности, должна принимать наименьшее значение по сравнению с ее значениями на всех других возможных решениях. Если по смыслу задачи желательным является не наименьшее, а наибольшее значение критерия оптимальности, такая задача легко сводится к предыдущей.
При этом постановщик задачи оптимизации должен разработать математическое описание набора возможных решений и правило, по которому для каждого из них вычисляется значение критерия оптимальности. Чаще всего вводится конечный набор вещественных переменных, которые называются параметрами решения или оптимизируемыми параметрами. Каждому возможному решению отвечают конкретные значения параметров решения, тогда весь набор возможных решений порождает некоторую область конечномерного пространства. Именно она является представителем этого набора в математической задаче оптимизации и называется множеством допустимых решений.
Самое сложное для начинающего состоит в том, чтобы выбрать критерий, параметры решения и описать с помощью системы равенств и неравенств множество допустимых решений. Потренируйтесь в этом на следующих задачах.
1. Груз веса G, лежащий на горизонтальной плоскости, должен быть сдвинут приложенной силой F. Под каким углом к горизонту приложить ее ( с учетом трения), чтобы ее величина была наименьшей? (Сила трения, по закону Кулона, пропорциональна силе, прижимающей тело к плоскости; коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения, для трения камня по дереву он равен 0,4).
|
2. Стоимость плавания судна в течение часа рассчитывается по формуле S=a+b*V^3, где a-стоимость амортизации и зарплата экипажа, b*V^3 – стоимость топлива (b=0,01, V – в узлах, 1 узел=1,85 км/ч). Какая скорость является наивыгоднейшей (экономической) при плавании на расстояние L? |
3. От канала шириной a под прямым углом к нему отходит канал шириной b. Стенки каналов прямолинейны. Найти наибольшую длину бревна, которое можно сплавить по этим каналам из одного в другой. |
4. Под каким углом к оси OX надо провести прямую через точку (a, b), a, b>0, чтобы треугольник, образованный ею и осями координат, имел наименьший периметр? |
5. Под каким углом к оси OX надо провести прямую через точку (a, b), a, b>0, чтобы её отрезок между положительными полуосями имел наименьшую длину? |
h
a |
6. На какой высоте повесить лампочку, чтобы получить максимальную освещенность стола (освещенность )?
7. Как проложить шоссе при транспортировке грузов из А в С, если стоимость провоза по железной дороге -λ, а по шоссе - β (на единицу пути)? (Исследовать при различных соотношениях λ и β).
l А
d |
8. Найти наибольшее значение произведения четырех положительных чисел при условии того, что их сумма равна заданному числу. |
9. Найти кратчайшее расстояние от заданной точки (1,0) до эллипса 4х2+9х2=36. |
10. Найти кратчайшее расстояние между параболой у=х2 и прямой х-у=5. |
11. В шар вписать цилиндр с наибольшей площадью поверхности. |
12. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного симметрично в сектор круга радиуса а с центральным углом 2a. |
13 . Найти наибольший объем конуса с данной образующей длины l. |
14.Две точки равномерно движутся по осям координат. Скорость первой точки равна V1 , скорость второй - V2, их начальные положения – (а, 0) и (0, b). Найти возможное кратчайшее расстояние между ними. |
15. Точка движется по плоскости со скоростью V1, а по оси ОХ со скоростью V2, V2 >V1. Найти путь из точки (0, а) в точку (b,0), требующий наименьшего времени на его прохождение. |
C
х
|
17. Найти кратчайшее расстояние от заданной точки (1,2) до прямой |
18. При каком наклоне боковых сторон равнобедренной трапеции и ее площадь будет наибольшая, если меньшее основание трапеции равно |
19. Найти оптимальную конструкцию кронштейна, предназначенного для передачи усилия (P, g) и написать отчёт-инструкцию проектировщику по расчёту (используя представление результатов в безразмерном виде).
|
20. Сечение бетонного канала представляет собой равнобедренную трапецию площадью S и высотой h, которые заданы из гидрологических соображений. Каким должен быть угол между боковой стороной и основанием, чтобы сумма длин нижнего основания и боковых сторон, определяющая расход материала, была наименьшей? |
21. Найти оптимальную конструкцию кронштейна, предназначенного для передачи усилия (P, g), и написать отчёт-инструкцию проектировщику по расчёту (используя представление результатов в безразмерном виде). |
16. На данной прямой найти точку, суммарное расстояние от которой до двух заданных точек плоскости минимально. (Угол падения равен углу отражения).
, а боковые стороны равны 
?
22. Найти соотношение между углами d1и d2 при преломлении света на границе двух сред (по принципу Ферма свет вбирает при преломлении между двумя точками путь, время прохождения которого минимально возможно, а скорость света в разных средах различна).
|
23. Спроектировать бак в виде прямого круглого цилиндра заданного объема минимальной поверхности (без учета и с учетом того, что для изготовления днища придется взять квадратные заготовки). |
24. Распределение обязанностей в походе. Собираясь в поход, необходимо распределить между участниками их обязанности, исходя из того, насколько успешно они могут с ними справиться и из их трудоемкости. Как сделать это наиболее эффективно и справедливо? |
25. Автозавод выпускает несколько моделей легковых автомашин различной окраски. Известны количество заказов на каждую марку автомобиля определенного цвета, суммарная производительность завода и запасы разных красок. Построить план выпуска, максимально удовлетворяющий потребность в автомашинах. |
26. Как распределить свое свободное время между различными видами занятий (учеба, кино, спорт и т. п.) с учетом их полезности и минимальных ограничений на те или иные виды так, чтобы получить максимальное удовольствие? |
27. Как из нескольких кандидатур выбрать штаб похода, обладающий в совокупности необходимым набором качеств (настойчивость, авторитет, активность и т. д.)? Эти качества экспертным путем оценены по кандидатам. Требуется, чтобы средний уровень каждого из них для штаба был не менее заданной границы, а суммарный уровень - максимальным. |
28. Профсоюзный комитет может купить различные путевки для оздоровления студентов. По каждой путевке известны стоимость, количество студентов, которым она медицински показана, экспертно оцененная приятность и полезность отдыха. Сколько и каких путевок нужно купить в пределах заданной суммы, чтобы оздоровить максимальное количество студентов? При этом приятность и полезность отдыха должны быть не ниже установленного уровня. |
29. Для составления произвольной программы в фигурном катании выбрать композицию из набора бальных танцев (медленный вальс, танго, быстрый фокстрот и др.) суммарной длительностью 3 мин, имеющую среднюю степень трудности и зрелищности не меньше заданной и максимальную для данного исполнителя степень удобства исполнения. |
30. Наилучшим образом спланировать на месяц свое свободное время (посещение театров, концертов, встречи с друзьями, походы и пр.) с учетом располагаемого времени и денежных ресурсов так, чтобы своя (экспертно оцененная ) потребность в различных видах досуга была максимально удовлетворена, а программа действий достаточно разнообразна. |
31. Разработать оптимальный календарь студенческих соревнований, проводимых по круговой системе в течение заданного периода так, чтобы максимально повысить среднее качество игр. Считать, что качество игры определяется тем, сколько игроков основного состава команды могут в ней участвовать. Учитывать, что ежедневно может проходить лишь ограниченное количество игр. Указание: принять за булеву переменную признак, обозначающий, состоится ли i-я игра в j-й день. |
32. Выбрать, в каких из намеченных мест разместить в микрорайоне несколько булочных, чтобы среднее расстояние, проходимое до них жителями различных домов, было минимально. |
33. Сколько автомашин разных типов следует купить, чтобы выполнить план перевозок различных грузов, израсходовав на покупку и перевозку минимальные средства (суммарно)? |
34. Сформировать оптимальную телепрограмму показа спектаклей, в которых заняты известные актеры, так чтобы при заданном количестве спектаклей показать каждого актера не менее и не более заданных величин, а средний уровень телепрограммы, рассчитываемый по экспертной оценке качества каждого спектакля, был максимальным. | |||||||||||||||||||||||||||||||
35. Завод может производить 3 вида продукции. Необходимые ресурсы, их запас, нормы расхода на единицу продукции и цена продукции представлены в таблице. Сколько продукции и какого вида он должен выпускать, чтобы максимизировать доход?
| |||||||||||||||||||||||||||||||
36. Нужно выполнить несколько дел, а времени на то, чтобы сделать их все полностью, не хватает ( есть лишь 4 часа вместо нужных 6 ). Считаем, что ущерб от неполного выполнения дела пропорционален "недозатраченному времени". Сколько времени уделить каждому делу, чтобы минимизировать ущерб при среднем уровне удовольствия от работы не ниже 70% ? Данные - в таблице (усл. ед.).
|
37. Человек хочет купить акции нескольких предприятий на 50 тыс. рублей так, чтобы при среднем риске не выше 30% максимизировать ожидаемые дивиденды. Предприятия, цена одной акции, риск и ожидаемый дивиденд представлены в таблица.
| |||||||||||||||||||||||||||||
38. Для изготовления продукции в количестве 3000 единиц за смену можно использовать несколько видов станков. Их стоимость, производительность и надежность приведены в таблице. Сколько и каких станков установить, чтобы с минимальными затратами изготовить заданное количество продукции при средней надежности не меньше 75% ?
|
39. Завод производит различную продукцию. Ее виды, необходимые ресурсы, их запас, нормы расхода на единицу продукции и цена продукции представлены в таблице. Сколько и каких видов продукции выпускать, чтобы иметь максимальный доход?
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
40. Для изготовления 2000 единиц продукции за смену необходимо закупить оборудование. Его предлагают различные фирмы, причем можно сочетать оборудование разных фирм. Его стоимость, производительность и надежность показаны в таблице. Сколько единиц оборудования закупить у разных фирм, чтобы с минимальными затратами обеспечить выпуск продукции с надежностью 80% ?
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Перейдем к математической постановке задачи. Если заданы некоторое множество 
с элементами x, ={x}
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
