Методические указания к решению задач и выполнению контрольных работ (стр. 3 )

3.67. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Ом
нарастает в течение времени t = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до Iмах= 6 А. Найти отношение количеств тепла, выделив - шихся в этом проводнике за первую и вторую секунды (Q1/Q2).

3.68. К источнику с ЭДС ξ подключены последовательно конден - сатор емкостью С и резистор R. Найти закон изменения со временем заряда на обкладках конденсатора. Определить работу, совершаемую источником при зарядке конденсатора, и количество теплоты, выделяющейся при этом в цепи.

3.69. В резисторе сопротивлением 20 Ом сила тока за время t = 5 с линейно возросла от 5 до 15 А. Какое количество тепла выделилось за это время?

3.70. Сила тока в цепи изменяется по закону I=I0sin ωt. Определить количество теплоты, которое выделится в провод - нике сопротивлением R=20 Ом за время, равное четверти периода (от t =0 до t =T/4, где T=10 c).

3.71. Две батареи аккумуляторов (ξ1=10 В, r1 =1 Ом, ξ2 =8 В, r2=2 Ом) и реостат сопротивлением R=6 Ом соедине - ны как показано на рисунке. Найти силу тока в батареях и реостате.

3.72. Два источника тока (ξ1 = 8 В, r1 =2 Ом, ξ2 =6 В, r2=1,5 Ом) и реостат сопротивлением R = 6 Ом соединены как пока - зано на рисунке. Вычислить силу тока, текущего через реостат.

3.73. Определить силу тока Iз в резисторе сопротивлением R3 и напряже - ние U3 на концах резистора, если ξ1 = 4 В, R1 = 2 Ом, ξ2 = 3 В, R2 = 6 Ом, R3 = l Ом. Внутренними сопротивлениями ампер - метра и источников тока пренебречь.

3.74. Три источника тока с ξ1 = 11 В, ξ2=4 В, ξ3=6 В и три реостата с сопротивле - ниями R1=5 Ом, R2=10 Ом, Rз=2 Ом соеди - нён как показано на риcунке. Определить силы токов в реостатах. Внутренними сопротивлениями источников тока пренеб-речь.

3.75. В схеме, изображенной на рисунке, ξ1 = 10 В, ξ2 =20 В, ξ3 = 30 В, R1 =1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 2 Ом, R4= 4 Ом, R5 =5 Ом, R6 =6 Ом, R7 = 7 Ом.

Внутренние сопротивления источников малы. Найти силы токов.

3.76. Три сопротивления R1=5 Ом, R2=5 Ом и R3=3 Ом, а также источник тока с ЭДС ξ=1,4 В соедине - ны, как показано на рисунке. Опреде - лить ЭДС источника тока, который надо подключить в цепь между точками А и В, чтобы сила тока через сопротивлении R3 составляла I =1 А. Направление тока указано на рисунке стрелкой. Сопротивлением источника тока пренебречь.

3.77. В схеме, представленной на рисунке, ξ1=ξ2=110 В, R1=R2=200 Ом, сопротивление вольтметра Rv=1000 Ом. Найти показание вольтметра. Сопротивле-нием источников пренебречь.

3.78. В схеме к задаче 3.77 , ξ1 = ξ2, R2 = 2R1. Во сколько раз ток, текущий через вольтметр, больше тока, текущего через R2? Сопротивлением источников пренебречь.

3.79. В схеме, к задаче 77, R1 = R2 = 100 Ом. Вольтметр показывает 50В, сопротивление вольтметра равно 150 Ом. Найти ЭДС батарей. Сопротивлением источников пренебречь.

3.80. В схеме, представленной на рисунке, ξ1=110В, ξ2=220В, R1 = R2 = R = 100 Ом, R3 = 500 Ом. Найти показание амперметра. Внутренними сопротивлениями амперметра и элементов пренебречь.

3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

3.1.Электромагнетизм

3.1.1. Основные формулы

1. Закон Био – Савара – Лапласа

где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом контура dl, по которому течет ток I; – радиус-вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная индукция; m0 = 4p ·10-7 Гн/м – магнитная постоянная.

2. Принцип суперпозиции магнитных полей

3. Магнитная индукция полей, создаваемых токами простейших конфигураций:

а) бесконечно длинным прямым проводником

,

где b – расстояние от оси проводника;

б) круговым током

где R – радиус кругового тока;

в) прямолинейным отрезком проводника

где a1 и a2 – значения угла между током и радиус-вектором для крайних точек проводника;

г) бесконечно длинным соленоидом

где n – число витков на единицу длины;

д) соленоидом конечной длины

где a1 и a2 – углы, которые образует с осью соленоида радиус-вектор, проведенный к крайним виткам соленоида.

4. Циркуляция вектора магнитной индукции

,

где – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.

5. Закон Ампера

где - сила, действующая на помещенный в магнитное поле с индукцией элемент проводника длиной dl, по которому течет ток I

6. Момент сил Ампера, действующий на контур с током в магнитном поле с индукцией

где – магнитный момент контура с током; – единичный вектор нормали к поверхности контура.

7. Сила, действующая на контур с током (магнитный диполь) в неоднородном магнитном поле,

где – производная вектора по направлению диполя.

8. Элементарная работа сил Ампера при перемещении контура с током

dA = IdФ,

где dФ = Bn × dS – поток вектора магнитной индукции сквозь поверхность dS.

9. Формула Лоренца

где – результирующая сила, действующая на движущийся заряд q со стороны электрического и магнитного поля.

10. Закон электромагнитной индукции Фарадея

где – электродвижущая сила индукции; N – число витков;

Y = NФ – потокосцепление.

11. Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L,

Ф = LI.

12. ЭДС самоиндукции и взаимной индукции

,

где L12 – взаимная индуктивность контуров.

13. Индуктивность соленоида

L = m0 m n2 V ,

где n – число витков на единицу длины; V – объем соленоида.

14. Энергия магнитного поля

.

15. Объемная плотность энергии магнитного поля

3.1.2. Примеры решения задач

Пример 1. По контуру, изображённому на рисунке, идёт ток силой I=10 А. Определить магнит - ную индукцию в точке О, если радиус дуги ,

Решение

По принципу суперпозиции полей

.

Магнитную индукцию, создавае - мую дугой AB, найдём путём интегрирования:

.

Для нахождения магнитной индукции, создаваемой проводни - ком BC, воспользуемся формулой

где

С учётом данных значений

Магнитная индукция ВСА, создаваемая проводником СА в точке О, равна нулю, т. к. для любого элемента Поскольку вектор направлен от наблюдателя, а вектор – к наблюдателю, то результирующая индукция равна

.

Пример 2. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому течёт ток силой I1, расположена квадратная рамка со стороной b, обтекаемая током силой I2. Рамка лежит в одной плоскости с проводником MN, так что её сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии a. Определить магнитную силу, действующую на рамку.

Решение

Рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, создаваемым бесконечно длинным проводником MN:

M N

Каждая сторона рамки будет испытывать действие сил Ампера, направление которых показано на рисунке. Так как стороны ­­ АВ и DC располо - жены одинаково относитель - но провода MN, действующие на них силы численно равны и равнодействующая всех сил, приложенных к рамке, равна F = F1– F2,

где , a

Окончательно

Пример 3. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B = 50 мТл). По проводу течёт ток I = 10 А. Найти силу F, действую - щую на провод если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Решение

Расположим провод в плоскости чертежа перпендику - лярно линиям магнитной индукции и выделим на нём малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по закону Ампера сила Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рисунке. Силу dF представим в виде

,

где i и j – единичные векторы (орты); dFx и dFy – проекции вектора dF на координатные оси Ox и Oy.

Силу F, действующую на весь провод, найдём интегри - рованием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведётся по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю . Тогда

. (1)

Из рисунка следует, что dFy = dFcosα, где dF – модуль вектора (). Так как вектор перпендикулярен вектору (), то . Выразив длину дуги dl через радиус R и угол α, получим

.

Тогда

.

Введём под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от –π/2 до +π/2 (как это следует из рисунка):

. (2)

Из полученного выражения видно, что сила сонаправ- лена с положительным направлением оси Oy (единичным вектором ). Найдём модуль силы :

Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт единицу силы (Н):

[I][B][R]=1А·1Тл·1м = 1А·1Н·1м·1м/(1А·(1м)2)=1Н.

Произведём вычисления: F = 2·10·50·10-3·0,1Н = 0,1Н.

Пример 4. В центре длинного соленоида, имеющего n=5×103 витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S = 4 см2. Рамка может вращаться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида. При пропускании тока по рамке и соленоиду, соединённых последовательно, рамка повернулась на угол j = 60°. Oпреде- лить силу тока, если жёсткость пружины, удерживающей рамку в положении равновесия, равна k = 6×10–5Н·м / рад.

Решение

При появлении тока рамка установится в таком положе - нии, когда момент сил магнитного поля М уравновесится моментом упругих сил пружины: M=Mупр.

По определению где – магнитный момент, – индукция поля соленоида.

С учётом этих выражений имеем:

Заметим, что вначале, когда тока нет, Согласно закону Гука

где и, следовательно,

Таким образом, откуда

Пример 5. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией стал двигаться по окружности радиуса Определить магнитный момент эквива- лентного кругового тока.

Решение

R

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в одно - родное магнитное поле перпендикуляр - но линиям магнитной индукции, т. е. В этом случае сила Лоренца сообщит электрону нормальное ускоре - ние

Согласно второму закону Ньютона . Отсюда находим скорость электрона и период его обращения

Движение электрона по окружности эквивалентно круго - вому току

.

Зная , найдем магнитный момент эквивалентного тока, который вы­ражается соотношением

,

где S=πR2 – площадь, ограниченная окружностью, описывае - мой элек­троном.

Подставим значения и S в формулу магнитного момента, оконча­тельно получим

Убедимся в том, что правая часть равенства даст единицу измерения магнитного момента (Ам2):

Произведем вычисление:

Пример 6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=10 мТл по винтовой линии, радиус кото - рой равен 1 см и шаг h=6 см. Определить период Т обраще - ния электрона и его скорость υ.

Решение

Разложим скорость электрона на две составляю - щие: параллельную вектору - и перпендикулярную ему .

Скорость в магнитном поле не изменяется и обеспе - чивает переме­щение электрона вдоль силовой линии. Скорость в результате дей­ствия силы Лоренца будет изменяться только по направлению, обес­печивая движение по окружно - сти. Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном переме­щении его со скоро - стью и вращательном со скоростью .

Согласно второму закону Ньютона

Перпендикулярная составляющая скорости будет равна

.

Период обращения электрона связан именно с этой составляю- щей скоростью соотношением

Проверим размерность полученного выражения и произведем вычисление:

Модуль скорости υ, как видно из рисунка, можно выразить через и :

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой лини расстояние h, т. е. , откуда

Таким образом, модуль скорости электрона

Произведем вычисления:

.

Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I =50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l=65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение

Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

.

В нашем случае вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Bn=B. Магнитная индукция B, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где х – расстояние от провода до точки, в которой определяется B.

Для вычисления магнит - ного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то

dФ=В(х)dS.

Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (см. рис.). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

.

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1= a до x2 = 2a, найдём

.

Подставив пределы, получим

.

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб):

[μ0][I][l] = 1Гн/м·1А·1м = 1 Вб.

Произведя вычисления, найдём Ф = 4,5 мкВб.

Пример 8. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100А, свободно устано - вился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол 90˚.

Решение

I

На контур с током в магнитном поле действует момент силы

,

где – магнитный момент контура; α – угол между векторами (направлен по направлению положи - тельной нормали к контуру) и .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле, т. е. М=0, а значит векторы и сонаправлены (α=0). Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. В силу зависимости М от угла поворота α, для подсчета работы внешних сил воспользуемся методом интегрирования. Элементарная работа равна

dA= Mdα = IBa2sin α dα.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте контура на конечный угол :

. (1)

Производя расчет в единицах СИ, получим

А = 100·1·0,12 Дж =1 Дж.

Задачу можно решить и другими способами:

1) Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:

(2)

где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения, Ф2 – то же, после перемещения.

Если , то Ф1=ВS, Ф2=0. Следовательно,

А = IBS = IBa2,

что совпадает с выражением (1).

2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле.

Тогда работа внешних сил

А=ΔWп = W2 - W1, или

Так как рm= Ia2, cosα1 = 1 и cosα2 = 0, то

A=IBa2,

что также совпадает с выражением (1).

Пример 9. В однородном магнитном поле (В = 0,2Тл) равномерно с частотой ν=600мин-1 вращается рамка, содержа - щая N = 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см2. Ось вращения лежит в плос - кости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

Решение

Согласно закону электромагнитной индукции

где Ф = NBScos α – полный магнитный поток, пронизывающий рамку.

ν

При вращении рамки угол , образованный норма - лью n к плоскости рамки и линиями индукции В, изменятся по закону

.

Подставив в закон электромагнит - ной индукции выражение магнитного потока и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Максимальное значение ЭДС определится при условии, что sin 2πνt =1. таким образом,

.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

.