Методические указания к решению задач и выполнению контрольных работ (стр. 1 )

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. Контрольные работы необходимо выполнять чернилами в школьной тетради, на обложке которой привести сведения по следующему образцу:

Контрольная работа №

по физике студента ФВЗО, группы РК-031

Шифр251021

2. Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по таблице вариантов в соответствии с последним номером зачётной книжки (шифром).

3. Условия задач в контрольной работе надо переписывать полностью без сокращений.

4. Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями. В тех случаях, когда это возможно, даётся чертёж.

5. Решать задачу надо в общем виде, т. е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условиях задачи.

6. Все вычисления следует проводить в единицах СИ с соблюдением правил приближённых вычислений.

7. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те задачи, решение которых оказалось неверным.

2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

2.1. Электростатика

2.1.1. Основные законы и формулы

1. Напряженность и потенциал поля точечного заряда

2. Принцип суперпозиции электростатических полей

3.Линейная, поверхностная и объемная плотность зарядов

4. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

где å qi – алгебраическая сумма зарядов, охватываемых поверхностью.

5. Связь между напряженностью и потенциалом электро - статического поля

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

6. Циркуляция вектора напряженности

7. Работа сил электростатического поля

или

8. Поляризованность диэлектрика

где – дипольный момент i-ой молекулы; – объем диэлектрика.

Связь между поляризованностью диэлектрика и напряжен - ностью электростатического поля

где – диэлектрическая восприимчивость вещества.

9. Вектор электрического смещения

где e = 1 + c - диэлектрическая проницаемость вещества.

10. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

где – алгебраическая сумма сторонних электрических зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности.

11. Условия на границе раздела двух диэлектриков

12. Поле в однородном диэлектрике

где и - напряженность и электрическое смещение внешнего поля.

13. Напряженность электрического поля у поверхности проводника

где – поверхностная плотность зарядов.

14. Электроемкость уединенного проводника и конденсатора

15. Ёмкость плоского конденсатора

где S – площадь каждой пластины; d – расстояние между пластинами.

16. Емкость цилиндрического конденсатора

где l - длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы коаксиальных цилиндров.

17. Емкость сферического конденсатора

где r1 и r2 - радиусы концентрических сфер.

18. Емкость системы конденсаторов при последова - тельном и параллельном соединении

19. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

где ji - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд qi , всеми зарядами, кроме i – го.

20. Энергия системы с непрерывно распределенным зарядом

21. Энергия заряженного конденсатора

W = CU2 / 2 = qU / 2 = q2 / 2C.

22. Объемная плотность энергии электростатического поля

2.1.2. Примеры решения задач

Пример 1. Три одинаковых положительных заряда нКл расположены в вершинах равносторон - него треугольника. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение

Все три заряда, расположенные в вершинах треуголь - ника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно рассмотреть условие равновесия одного из трех зарядов, например .

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

, (1)

где , , – силы, с которыми соответственно действуют на заряд заряды , и ; – равнодействующая сил и .

Так как силы и направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:

или .

Выразив F через и и учитывая, что =, получим

Применяя закон Кулона и имея в виду, что , найдем ,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, .

С учетом этого формула (2) примет вид

После подстановки числовых значений получим

нКл.

Пример 2. На тонком стержне длиной l =20см находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a =10 cм от ближай - шего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Решение

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q1 зависит от линейной плотности заряда τ

на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.

При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне малый участок dr с зарядом dQ=τdr (см рисунок).

Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l , получаем

откуда

Произведём вычисления:

Пример 3. Два точечных электрических заряда Q1 = 1нКл и Q2 = - 2нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q1 на расстоянии r1= 9 см и от заряда Q2 на r2= 7 см.

Решение

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Напряжённость электростати- ческого поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряжённостей и полей, создава - емых каждым зарядом в отдельности: .

Напряжённости электростатического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядами Q1 и Q2,

(1), (2).

Вектор направлен по силовой линии от заряда Q1, так как этот заряд положителен, вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора найдём по теореме косинусов:

, (3)

где α – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d

Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2 из (2) в (3), получим

. (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электри - ческих полей потенциал φ результирующего поля, равен алгебраической сумме потенциалов

. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

. (6)

Согласно формулам (5) и (6) получим , или

Произведём вычисления:

Е = 3,58 В/м, φ = - 157 В.

Пример 4. Электрическое поле создано двумя парал - лельными бесконечными заряженными плоскостями с поверх- ностными плотностями заряда σ1=0,4 мкКл/м2 и σ2=0,1мкКл/м2. Определить напряжённость электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

Решение

Согласно принципа суперпозиции электростатических полей,

где, - напряженности электростатиче- ских полей, создаваемых первой и второй плоскостями соответ ственно.

Плоскости делят всё прост - ранство на три области: I, II, III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и следовательно, напряжённости суммарных полей Е(I) и Е(III) в первой и третьей областях равны между собой, противоположно направлены и равны сумме напряжённостей полей, создавае - мых первой и второй плоскостями:

или .

Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряжённость поля Е(II) равна разности напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: , или

Подставив данные и произведя вычисления, получим

, .

Пример 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды Q1 = 1 нКл и Q2 = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см, r2 =9 см , r3 = 15 см. Построить график Е(r).

Решение

Точки в которых требуется найти напряжённости электрического поля, лежат в трёх областях (см. a): область I ( r1<R1), область II (R1< r2<R2), область III (r3>R2).

1. Для определения напряжённости Е1 в I области, проведём сферическую поверхность S1 радиусом r1 и восполь - зуемся теоремой Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то получим

(1)

где En – нормальная составляющая напряжённости электри - ческого поля.

Из соображения симметрии нормальная составляю - щая En должна быть равна самой напряжённости и постоянна для всех точек сферы, т. е. En =E1=const. Поэтому её можно вынести за знак интеграла:

Так как , то Е1=0, т. е. напряжённость электрического поля внутри первой сферы равна нулю.

2. В области II проведём сферическую поверхность радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q1, то для неё, согласно теореме Гаусса, можно записать равенство

Так как En =E2=const, то из условий симметрии следует

, или ,

откуда . (2)

Подставив сюда выражение для площади сферы, получим

. (3)

3. В области III проведём сферическую поверхность радиусом r3 . Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Cледовательно, для неё теорема Гаусса имеет вид

Так как En =E3=const, то из условий симметрии следует

. (4)

Выразив все величины в системе СИ и произведя вычисле - ния, получим

, .

4. Построим график Е(r). В области I (r1<R1) напряжён - ность Е = 0. В области II (R1<r1<R2) напряжённость Е2(r) изменяется по закону 1/r2. В точке r=R1 напряжённость

В точке r=R2 (r стремится к R2 слева)

В области III (r>R2) Е3(r) изменяется по закону 1/r2, причём в точке r=R2 (r стремится к R2 cправа)

Таким образом, функция Е(r) в точках r=R1 и r=R2 терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на б.

Пример 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окруж - ности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t =10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпало с центром кривизны дуги, а ось Oy была бы симметрично расположена относительно концов дуги. На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ=tdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

где

–радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор через проекции dEx и dEy на оси координат:

где и – единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием. интегрирова - ние ведется вдоль дуги длиной l.

В силу симметрии

. Тогда

, (1)

где ,

так как r=R=const, .

Подставим в выражение (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим:

Выразив радиус R через длину l нити (3l=2pR), получим

(2)

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу.

Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала найдем потенциал dj, поля создаваемого точечным зарядом dQ в точке О: dj =t dl /(4pe0 r).

Заменим r на R и проведем интегрирование:

Так как l = 2pR/3, то

j =t /(6e0). (3)

Произведя вычисления по формулам (2) и (3), получим

Пример 7. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью t =10 нКл/м. Найти потенциал j, созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближай - шего конца на расстояние l.

Решение

В задаче рассматривается поле, создаваемое распреде - лённым зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ = t dx, который можно считать точечным.

Потенциал dj, создава - емый этим точечным зарядом в точке А, можно определить по формуле

Потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке А, найдем интегрированием этого выраже - ния:

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

j = 62,4 В.

Пример 8. Электрическое поле создаётся двумя зарядами Q1 = 4 мкКл и Q2 = -2 мкКл, находящиеся на расстоянии a=0,1 м друг от друга. Определить работу А12 сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из точки 1 в точку 2 (см. рис.).

Решение

Для определения работы А12 сил поля воспользуемся соотно - шением

Применяя принцип супер- позиции электрических полей, определим потенциалы точек 1 и 2 поля:

;

Тогда ,

Или .

После подстановки численных значений, получим

Пример 9. С поверхности бесконечного равномерно заряженного ( τ=50 нКл/м) прямого цилиндра вылетает α – частица (υ0=0). Определить кинетическую энергию Т2 α- частицы в точке 2 на расстоянии 8R от поверхности цилиндра.

Решение

Так как силы электростатического поля являются консервативными, то для определения кинетической энергии α - частицы в точке 2 воспользуемся законом сохранения энергии, записанном в виде Е1 = Е2, где Е1 и Е2 полные энергии α- частицы в точках 1 и 2.

Так как Е1= Т1+U1 и Е2= Т2+U2 (Т1 и Т2 – кинетические энергии α - частицы; а U1 и U2 – потенциальные), то, учитывая, что Т1=0 (υ1=0), можно записать U1= Т2+U2, откуда:

Т2= U1 - U2 = Q(φ1 - φ2), (1)

где Q – заряд α- частицы, φ1 и φ2 – потенциалы точек 1 и 2.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряжённостью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде , или .

Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

. (2)

Так как цилиндр бесконечный, то для вычисления напряжённости поля можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром: Подставив выражение для Е в уравнение (2), получим

или

. (3)

Тогда, подставив выражение (3) в уравнение (2), получим

Проведём вычисления:

Пример 10. Электрон влетает в плоский горизонталь - ный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью . Напряженность поля в конденсаторе Е=100В/cм, длина конденсатора l=5см. Найти модуль и направление скорости электрона в момент вылета из конденсатора. На сколько отклонится электрон от первоначального направле-ния?

Решение

Совместим начало координат с точкой, где находился электрон в момент его попадания в поле конденсатора. Движение электрона в конденсаторе можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равно - мерного движения со скоростью в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с некоторым ускорением вдоль оси ОУ.