Контрольные задания (стр. 1 )

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1

1.1  Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в. Какова вероятность того, что эта дробь является правильной?

1.2  Имеется пять монет, из них четыре 5-и копеечные и одна 10-и копеечная. Наугад берут три монеты. Найти вероятность того, что все три монеты будут 5-и копеечные.

1.3  Пять человек рассаживаются на скамейке в случайном порядке. Среди них есть два брата. Найти вероятность того, что братья займут крайние места.

1.4  Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 наугад выбирают три цифры. Найти вероятность того, что все выбранные цифры – нечетные.

1.5  Из 8 карточек с буквами А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З наугад берут три карточки и расставляют в случайном порядке. Найти вероятность того, что получится слово ГАЗ.

1.6  Имеется 5 троллейбусных талонов по 5 копеек и 6 автобусных по 6 копеек. Случайным образом из них берут три талона. Найти вероятность того, что в сумме они составят 17 копеек.

1.7  Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 наугад выбирают две цифры. Найти вероятность того, что сумма этих цифр равна 9.

1.8  Среди шести деталей две бракованные, а остальные годные. Случайным образом берут три детали. Какова вероятность того, что все взятые детали являются годными?

1.9  Среди 9 почтовых марок 3 синих, 3 красных и 3 зеленых. Наугад берут две марки. Найти вероятность того, что они обе синие.

1.10  Три цифры 1, 6, 9 располагаются в случайном порядке. Найти вероятность того, что полученное трехзначное число будет квадратом другого целого числа.

1.11  Имеются три тетради в желтой обложке и четыре в зеленой. Наугад берут две тетради. Найти вероятность того, что обе будут в зеленой обложке.

1.12  Десять спортсменов в результате жеребьевки разбиваются на две группы по пять человек. Найти вероятность того, что самый старший и самый младший спортсмены окажутся в одной группе.

1.13  На шести карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наугад берут две карточки. Найти вероятность того, что сумма цифр на них выражается двузначным числом.

1.14  Игральную кость бросают три раза. Найти вероятность того, что все три раза выпадут различные числа очков.

1.15  Имеются две карточки с буквой О, две карточки с буквой Р и одна с буквой Т. Их расставляют в случайном порядке. Найти вероятность того, что получится слово РОТОР.

1.16  В слове ИНТЕГРАЛ наугад выбирают две буквы. Найти вероятность того, что обе буквы будут гласными.

1.17  Из чисел 1, 2, 3 случайным образом выбирается одно. Другое число выбирается также случайным образом из чисел 4, 5, 6. Найти вероятность того, что дробь, составленная из выбранных чисел, является сократимой.

1.18  10 томов сочинений Пушкина расставлены в случайном порядке на двух полках, по пять томов на каждой. Найти вероятность того, что том 1 и том 2 окажутся на разных полках.

1.19  Имеется 25 экзаменационных билетов. !0 студентов берут по одному билету. Найти вероятность того, что билет № 13 никому не достанется.

1.20  Имеются четыре монет по 10 копеек и пять монет по 5 копеек. Случайным образом выбирают четыре монеты. Найти вероятность того, что они составят в сумме 35 копеек.

1.21  Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 случайным образом выбирают две. Найти вероятность того, что их сумма делится на три.

1.22  Найти вероятность того, что при двух бросаниях игральной кости сумма очков будет не менее 9.

1.23  В урне имеется 10 шаров, среди них 3 белых, 4 черных, остальные синие. Наугад выбирают три шара. Найти вероятность того, что все выбранные шары разного цвета.

1.24  Среди трехзначных чисел (от 100 до 999) выбирают наугад одно число. Найти вероятность того, что все цифры в этом числе – четные.

1.25  Три карточки с буквами О и три карточки с буквами Р, Х, Ш раскладываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что получится слово ХОРОШО.

1.26  Имеется 10 деталей, среди них две бракованные. Наугад берут три детали. Найти вероятность того, что среди них точно одна бракованная.

1.27  В урне находятся два черных, три белых и четыре синих шара. Из урны извлекают три шара. Найти вероятность того, что среди них будет один белый и два черных шара.

1.28  В коробке 10 карандашей: 2 красных, 2 синих, 2 желтых и 4 зеленых. Наугад берут три карандаша. Найти вероятность того, что среди них не будет ни одного зеленого.

1.29  Одновременно бросают две игральных кости. Найти вероятность того, что на них будет одинаковое число очков.

1.30  На плоскости имеются 5 точек: четыре образуют вершины квадрата, а пятая находится в его центре. Наугад выбирают три точки.

Задание 2

2.1 Спортсмен попадает в основной состав команды с вероятностью 0,6, а в запас – с вероятностью 0,4. Спортсмен из основного состава команды участвует в соревновании с вероятностью 0,9, из запаса - с вероятностью 0,2. а) Найти вероятность участия в соревновании произвольно выбранного спортсмена. б) Найти вероятность того, что спортсмен из запаса, если он участвует в соревновании. в) Найти вероятность того, что спортсмен из запаса, если он не участвует в соревновании.

2.2 В группе из 12 спортсменов четверо выполняют упражнение на отлично с вероятностью 0,8, трое - с вероятностью 0,6, а остальные – с вероятностью 0,2. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный спортсмен из этой группы выполнит упражнение на отлично. б) Найти вероятность того, что спортсмен, выполнивший упражнение на отлично, принадлежит к первой четверке. в) Найти вероятность того, что спортсмен, не выполнивший упражнение на отлично, принадлежит к первой четверке.

2.3  Две трети всех сообщений передается по первому каналу связи, остальные – по второму. Вероятность искажения при передаче по первому каналу равна 0,01, по второму – 0,03. а) Какова вероятность искажения произвольно взятого сообщения? б) Какова вероятность того, что искаженное сообщение передано по первому каналу? в) Какова вероятность того, что неискаженное сообщение передано по первому каналу?

2.4  Изделие, изготовленное первым станком-автоматом, является бракованным с вероятностью 0,01, для второго станка эта вероятность равна 0,02, для третьего – 0,025. Четверть всех изделий изготовлены первым станком, половина – вторым, остальные – третьим. а) Найти вероятность брака произвольно взятого изделия. б) Найти вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на третьем станке. в) Найти вероятность того, что годное изделие изготовлено на третьем станке.

2.5  В автопарке имеются автомобили трех марок, всех поровну. Автомобиль первой марки исправен с вероятностью 0,8, второй марки - с вероятностью 0,7, третьей - с вероятностью 0,85. а) Найти вероятность того, что произвольный автомобиль автопарка исправен. б) Найти вероятность того, что исправный автомобиль является третьей марки. в) Найти вероятность того, что неисправный автомобиль принадлежит к третьей марке.

2.6  Автомобиль преодолевает трудный участок дороги при дождливой погоде с вероятностью 0,6, а в сухую погоду - с вероятностью 0,9. Вероятность дождливой погоды равна 0,3. а) С какой вероятностью автомобиль преодолевает этот участок дороги? б) Автомобиль преодолел участок дороги; какова вероятность того, что это было в сухую погоду? в) Автомобиль не преодолел участок дороги; какова вероятность того, что это было в сухую погоду?

2.7  Цель, по которой ведется стрельба, может находиться на первом участке с вероятностью 0,4, на втором участке с вероятностью 0,5, на третьем - с вероятностью 0,1. Цель, находящуюся на первом участке, поражают с вероятностью 0,8, на втором - с вероятностью 0,6, на третьем - с вероятностью 0,2. а) Найти вероятность поражения цели. б) Найти вероятность того, что пораженная цель была на втором участке. в) Найти вероятность того, что не пораженная цель была на втором участке.

2.8  Среди 10 стрелков трое попадают в цель с вероятностью 0,8, четверо - с вероятностью 0,7, остальные - с вероятностью 0,6. Из этих стрелков выбирается один наудачу. а) Найти вероятность того, что выбранный стрелок попадет в цель. б) Найти вероятность того, что стрелок, попавший в цель, принадлежит первой тройке. в) Найти вероятность того, что стрелок, промахнувшийся по цели, принадлежит первой тройке.

2.9  Для передачи сообщения используются сигналы типов 0 и 1. Сигналы 0 составляют 60%, а сигналы 1 – остальные 40%. Вероятность искажения сигнала 0 равна 0,0001, а вероятность искажения сигнала 1 равна 0,0002. а) Найти вероятность искажения наугад взятого сигнала. б) Найти вероятность того, что искаженный сигнал является типа 1. в) Найти вероятность того, что правильно переданный сигнал является типа 1.

2.10  Вероятность того, что автомобиль преодолеет трудный участок дороги в условиях хорошей погоды, равна 0,9; в плохую погоду эта вероятность равна 0,5. Вероятность хорошей погоды 0,75. а) Найти вероятность того, что автомобиль преодолеет этот участок дороги. б) Найти вероятность того, что автомобиль преодолел дорогу при плохой погоде. в) Найти вероятность того, что автомобиль не преодолел дорогу при плохой погоде.

2.11  Устройство содержит 10 ненадежных элементов, среди них 8 основных и 2 резервных. Вероятность отказа основного элемента равна 0,008, резервного - 0,001. а) Найти вероятность того, что произвольно взятый элемент откажет. б) Найти вероятность того, что отказавший элемент является основным. в) Найти вероятность того, что безотказно проработавший элемент является основным.

2.12  В четырех коробках находится большое количество одинаковых деталей. Вероятность брака в первой коробке 0,01, во второй - 0,02, в третьей - 0,04, в четвертой - 0,06. Из случайно выбранной коробки берется наугад одна деталь. а) Найти вероятность того, что взятая деталь окажется бракованной. б) Найти вероятность того, что бракованная деталь взята из четвертой коробки. в) Найти вероятность того, что годная деталь взята из четвертой коробки.

2.13  Для обслуживания пассажиров используются автобусы трех марок: первой марки 10 автобусов, второй –12, третьей – 8 автобусов. Вероятность неисправности автобуса на линии для первой марки равна 0,1, для второй – 0,05, для третьей – 0,15. а) Найти вероятность неисправности на линии случайно выбранного автобуса. б) Найти вероятность того, что неисправный автобус является первой марки. в) Найти вероятность того, что исправный автобус является первой марки.

2.14  Вероятность попадания при стрельбе в случае ветреной погоды равна 0,6, при безветренной погоде – 0,8. Вероятность ветреной погоды равна 0,4. а) Найти вероятность попадания при стрельбе. б) Найти вероятность того, что попадание в цель было при ветреной погоде. в) Найти вероятность того, что промах по цели был при ветреной погоде.

2.15  Среди 10 приборов восемь новых и два старых, бывших в употреблении. Вероятность отказа нового прибора равна 0,07, а старого - 0,1.а) Найти вероятность отказа прибора, взятого наугад. б) Найти вероятность того, что отказавший прибор является старым. в) Найти вероятность того, что безотказно проработавший прибор является старым.

2.16  Команда состоит из 20 спортсменов, среди них 12 в основном составе, остальные в резерве. Спортсмен из основного состава участвует в соревновании с вероятностью 0,8, из запаса - с вероятностью 0,5. а) Найти вероятность участия в соревновании случайно выбранного спортсмена. б) Найти вероятность того, что участвующий в соревновании спортсмен из основного состава. в) Найти вероятность того, что не участвующий в соревновании спортсмен принадлежит основному составу.

2.17  Сообщение с вероятностью 0,3 передается по первому каналу связи, с вероятностью 0,5 – по второму и с вероятностью 0,2 – по третьему. Вероятность искажения при передаче по первому каналу равна 0,1, по второму и третьему она равна 0,4. а) Какова вероятность того, что сообщение принято без искажения? б) Какова вероятность того, что не искаженное сообщение передано по третьему каналу. в) Какова вероятность того, что искаженное сообщение передано по третьему каналу.

2.18  На склад поступают изделия, изготовленные на трех станках, среди них половина изготовлена на первом станке, треть на втором, остальные – на третьем. Вероятность брака для изделий, изготовленных на первом станке, равна 0,1, на втором – 0,2 и на третьем – 0,25. а) Найти вероятность брака для произвольного изделия. б) Найти вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на первом станке. в) Найти вероятность того, что годное изделие изготовлено на первом станке.

2.19  Изделие, изготовленное на первом станке, будет высшего качества с вероятностью 0,4, на втором станке - с вероятностью 0,5, на третьем - с вероятностью 0,45.Четверть всех изделий изготавливается на первом станке, четверть – на втором, остальные – на третьем. а) Найти вероятность того, что случайно взятое изделие будет высшего качества. б) Найти вероятность того, что изделие высшего качества изготовлено на втором станке. в) Найти вероятность того, что изделие низкого качества изготовлено на втором станке.

2.20  В автопарке имеются автомобили трех марок: 40% первой марки, 25% второй, остальные – третьей марки. Вероятность того, что автомобиль неисправен, для первой марки равна 0,2, для второй – 0,1, для третьей – 0,3. а) Найти вероятность того, что произвольно взятый автомобиль неисправен. б) Найти вероятность того, что неисправный автомобиль третьей марки. в) Найти вероятность того, что исправный автомобиль третьей марки.

2.21  Автомобиль преодолевает трудный участок дороги в случае хорошей погоды с вероятностью 0,8, при плохой погоде - с вероятностью 0,6. Вероятность плохой погоды равна 0,2. а) Найти вероятность того, что автомобиль преодолеет этот участок дороги. б) Найти вероятность того, что автомобиль преодолел дорогу при хорошей погоде. в) Найти вероятность того, что автомобиль не преодолел дорогу при хорошей погоде.

2.22  Ведется стрельба по цели, которая может находиться на первом участке с вероятностью 0,1, на втором участке с вероятностью 0,6, на третьем - с вероятностью 0,3. Если цель находится на первом участке, то вероятность попадания при стрельбе равна 0,8, если на втором, то 0,7, а если на третьем – то 0,4. а) Найти вероятность попадания в цель при стрельбе. б) Найти вероятность того, что пораженная цель была на третьем участке. в) Найти вероятность того, что не пораженная цель была на третьем участке.

2.23  Среди 12 спортсменов шестеро выполняют упражнение с вероятностью 0,9, двое - с вероятностью 0,7, остальные - с вероятностью 0,5.а) Найти вероятность того, что наугад выбранный спортсмен выполнит упражнение. б) Найти вероятность того, что выполнивший упражнение спортсмен принадлежит к последней группе. в) Найти вероятность того, что не выполнивший упражнение спортсмен принадлежит к последней группе.

2.24  Для передачи сообщения используются сигналы A и B с одинаковой вероятностью. При передаче сигнал A искажается с вероятностью 0,01, сигнал B - с вероятностью 0,03. а) Найти вероятность искажения произвольно взятого сигнала. б) Найти вероятность того, что искаженный сигнал является типа А. в) Найти вероятность того, что правильно переданный сигнал является типа А.

2.25  Вероятность брака изделия из первой партии равна 0,1, из второй – 0,25. а) Найти вероятность брака случайно взятого изделия, если изделия первой партии составляют 40% всех изделий. б) Найти вероятность того, что бракованное изделие принадлежит второй партии. в) Найти вероятность того, что годное изделие принадлежит второй партии.

2.26  Система содержит 20 элементов, среди них 12 основных и 8 резервных. Вероятность отказа основного элемента равна 0,1, а резервного – 0,05. а) Найти вероятность отказа произвольно взятого элемента. б) Найти вероятность того, что отказавший элемент является основным. в) Найти вероятность того, что безотказно проработавший элемент является основным.

2.27  В хранилище поступают детали из двух бункеров, из первого вдвое больше, чем из второго. Вероятность брака в первом бункере равна 0,1, во втором бункере - 0,25. а) Найти вероятность брака детали в хранилище. б) Найти вероятность того, что бракованная деталь поступила из второго бункера. в) Найти вероятность того, что годная деталь поступила из второго бункера.

2.28  Для обслуживания пассажиров используются автобусы трех марок: первой марки 12 автобусов, второй – 9, третьей – 4 автобуса. Вероятность неисправности автобуса на линии для первой марки равна 0,1, для второй – 0,2, для третьей – 0,4. а) Найти вероятность неисправности на линии случайно выбранного автобуса. б) Найти вероятность того, что неисправный автобус является второй марки. в) Найти вероятность того, что исправный автобус является второй марки.

2.29  Вероятность попадания при стрельбе в условиях хорошей видимости равна 0,7, при плохой видимости – 0,2. Вероятность того, что будет плохая видимость, равна 0,3. а) Найти вероятность попадания при стрельбе. б) Найти вероятность того, что попадание произошло при хорошей видимости. в) Найти вероятность того, что промах произошел при хорошей видимости.

2.30  Имеются пять одинаковых приборов, среди них два новых, а остальные старые. Вероятность отказа нового прибора равна 0,01, а старого – 0,02. а) Найти вероятность отказа случайно взятого прибора. б) Найти вероятность того, что отказавший прибор является старым. в) Найти вероятность того, что безотказно проработавший прибор является старым.

Задание 3

Составить ряд и многоугольник распределения числа успехов при n независимых испытаниях. Вероятность успеха в одном испытании равна p. Значения n и p приведены в таблице:

№	n	p	№	n	p
3.1	3	0,15	3.16	4	0,85
3.2	3	0,25	3.17	5	0,2
3.3	3	0,35	3.18	5	0,3
3.4	3	0,45	3.19	5	0,4
3.5	3	0,55	3.20	5	0,5
3.6	3	0,65	3.21	5	0,6
3.7	3	0,75	3.22	5	0,7
3.8	3	0,85	3.23	5	0,8
3.9	4	0,15	3.24	6	0,2
3.10	4	0,25	3.25	6	0,3
3.11	4	0,35	3.26	6	0,4
3.12	4	0,45	3.27	6	0,5
3.13	4	0,55	3.28	6	0,6
3.14	4	0,65	3.29	6	0,7
1.15	4	0,75	3.30	6	0,6

Задание 4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения: