Учебно-методический комплекс по дисциплине «Физика» (стр. 2 )

Тема 20. Магнитное поле в вакууме

Взаимодействие токов. Закон Био-Савара. Сила Ампера, сила Лоренца. Контур с током в магнитном поле. Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле. Поле соленоида и тороида.

Тема 21. Магнитное поле в веществе

Виды магнетиков. Диамагнетизм, парамагнетизм, ферромагнетизм. Вычисление поля в магнитах. Магнитомеханические явления.

Тема 22. Электромагнитная индукция

Явление электромагнитной индукции. Электродвижущая сила индукции. Явление самоиндукции. Взаимная индукция. Токи размыкания и замыкания цепи. Энергия магнитного поля.

Тема 23.Уравнение Максвелла

Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Первое и второе уравнения Максвелла в интегральной форме.

Тема 24. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. Отклонение заряженных частиц электрическим и магнитным полями. Определение заряда и массы электрона. Ускорители заряженных частиц.

Тема 25. Электрический ток в газах и жидкостях

Несамостоятельный и самостоятельный газовые разряды. Процессы, приводящие к появлению носителей тока при самостоятельном разряде. Виды разрядов. Законы Фарадея.

Тема 26. Электрические колебания.

Квазистационарные токи. Свободные затухающие и незатухающие колебания в контуре. Уравнения колебаний. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность. Вынужденные электрические колебания. Переменный ток.

Тема 27. Волны в упругих средах

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении. Волновое уравнение. Скорость упругих волн в твердой среде. Энергия упругой волны. Стоячие волны. Определение скорости распространения звука с помощью стоячих волн.

Тема 28. Электромагнитные волны

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Плоская электромагнитная волна. Энергия, переносимая электромагнитной волной. Импульс электромагнитного поля. Скорость распространения волн в вакууме и в диэлектрической среде. Связь диэлектрической проницаемости и показатели преломления среды.

Тема 29. Интерференция света

Монохроматичность и когерентность световых волн. Разность хода и разность фаз. Методы наблюдения интерференции. Многолучевая интерференция.

Тема 30. Дифракция света

Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция от простейших преград. Дифракция от щели. Дифракционная решетка. Дифракция рентгеновских лучей.

Тема 31. Поляризация света

Естественный и поляризованный свет. Поляризация при отражении и преломлении. Двойное лучепреломление. Интерференция поляризованных лучей. Искусственные плоскости поляризации.

Тема 32. Тепловое излучение

Тепловое излучение. Закон Кирхгофа Закон Стефана-Больцмана и Вина. Квантование энергии. Формула Планка.

Тема 33. Квантовые свойства излучения

Энергия, масса и импульс фотона. Фотоэффекта. Законы Эйнштейна. Давление света. Эффект Комптона.

Тема 34.Боровская теория атома

Закономерности в атомных спектрах. Планетарная модель атома. Постулаты Бора. Правило квантования электронных орбит. Элементарная боровская теория атома водорода.

Тема 35. Элементы квантовой механики

Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де-Бройля. Физический смысл пси-функции. Принцип неопределенности. Уравнение Шредингера.
Квантование энергии. Квантование момента импульса.

Тема 36. Физика атомов и молекул

Следствия из решения уравнения Шредингера для
атома водорода. Квантовые числа. Спин электрона. Мультиплетность спектров. Принцип Паули. Энергия молекулы. Молекулярные спектры.

Тема 37. Зонная теория твердых тел.

Образование энергетических зон. Энергетические зоны для электронов в металлах. Степень заполнения валентной зоны. Энергия Ферми для электронов в металлах. Функция распределения Ферми-Дирака.

Тема 38.Электропроводность металлов и полупроводников

Электропроводность металлов. Квантовые поправки. Сверхпроводимость.

Энергетические зоны в полупроводниках. Собственная и примесная проводимость полупроводников.

Тема 39.Контактные и термоэлектрические явления

Работа выхода. Термоэлектронная эмиссия. Контактная разность потенциалов. Термоэлектрические явления. Исследование температурной зависимости термоэдс.

Тема 40. Атомное ядро

Состав и характеристика атомного ядра. Масса ядра, энергия связи.

Ядерные силы. Радиоактивность. Ядерные реакции.

Тема 41. Элементарные частицы

Виды взаимодействий, классификация элементарных частиц. Космические лучи. Методы регистрации элементарных частиц.

Темы семинарских занятий

Тема. Механическое движение. Кинематика поступательного и вращательного движения.

Цель семинарского занятия : изучить кинематику поступательного и вращательного движения

Основные вопросы:

1.  Системы координат.

2.  Перемещение, скорость, ускорение.

3.  Кинематика вращательного движения материальной точки.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Плешакова, . Механика. Учебное пособие./.-Волгоград: Волгоградский институт бизнеса, 2013.-142 с.

4.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

Тема. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Механика твердого тела.

Цель семинарского занятия : изучить динамику материальной точки и твердого тела.

Основные вопросы:

1.Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона.

2.Упругие силы. Силы трения. Сила тяжести и вес. Консервативные силы.

3.Механическая работа. Законы сохранения.

4.Силы инерции. Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса.

5.Движение центра масс твердого тела.

6.Момент силы, момент инерции, момент импульса.

7.Энергия вращающегося твердого тела.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Плешакова, . Механика. Учебное пособие./.-Волгоград: Волгоградский институт бизнеса, 2013.-142 с.

4.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

Тема. Колебательное движение.

Цель семинарского занятия : изучить механику колебательного движения

Основные вопросы:

1.Гармонические колебания.

2.Маятник. Затухающие и вынужденные колебания.

3.Векторная диаграмма. Сложение колебаний.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Плешакова, . Механика. Учебное пособие./.-Волгоград: Волгоградский институт бизнеса, 2013.-142 с.

4.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

Тема. Гидромеханика.

Цель семинарского занятия : изучить механику жидкостей и газов

Основные вопросы:

1.Линии и трубки тока. Уравнение Бернулли.

2.Силы внутреннего трения. Ламинарное и турбулентное течения.

3.Движение тел в жидкостях и газах.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

4. Трофимова, Т. И.. Курс физики: учебник для студ. вузов./ - М.: Высш. шк., 200

Тема. Идеальный газ.Термодинамика

Цель семинарского занятия : изучить газовые законы и тепловые процессы в газах

Основные вопросы:

1.Масса и размеры молекул.

2.Внутренняя энергия системы. Работа, совершаемая газом в различных процессах.

3.Первое начало термодинамики. Теплоемкость идеального газа.

4.Характер теплового движения молекул.

5.Цикл Карно. Второе начало термодинамики. Энтропия.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

4.Алпатов, . Молекулярная физика. Учебное пособие./, , .- Волгоград: Волгоградский институт бизнеса, 2013.-103 с.

5. Трофимова, Т. И.. Курс физики: учебник для студ. вузов./ - М.: Высш. шк., 200

Тема. Электрическое поле.

Цель семинарского занятия : изучить характеристики электрического поля, движение зарядов в поле

Основные вопросы

1.Закон Кулона. Напряженность и потенциал поля. Градиент потенциала.

2.Теорема Гаусса. Энергия взаимодействия системы зарядов.

3. Электрическое поле в диэлектриках.

4.Проводник во внешнем электрическом поле.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

4. Трофимова, Т. И.. Курс физики: учебник для студ. вузов./ - М.: Высш. шк., 200

Тема. Постоянный электрический ток

Цель семинарского занятия : изучить законы тока

Основные вопросы

1.Электрический ток.

2.Электродвижущая сила. Законы Ома.

3.Правила Кирхгофа.

4.Мощность тока. Закон Джоуля-Ленца.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

4. Трофимова, Т. И.. Курс физики: учебник для студ. вузов./ - М.: Высш. шк., 200

Тема. Электрические колебания. Волны.

Цель семинарского занятия: изучить электрические колебания и основные понятия волновых процессов

Основные вопросы

1.Свободные, затухающие и незатухающие колебания в контуре.

2.Уравнения колебаний. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность.

3.Вынужденные электрические колебания. Переменный ток.

4. Электромагнитные волны

5. Уравнение плоской волны.

6. Скорость упругих волн в твердой среде. Энергия упругой волны.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

4. Трофимова, Т. И.. Курс физики: учебник для студ. вузов./ - М.: Высш. шк., 200

Тема. Оптика.

Цель семинарского занятия : изучить основные законы оптики

Основные вопросы

1.Интерференция света.

2. Дифракция света.

3. Поляризация света.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

4. Трофимова, Т. И.. Курс физики: учебник для студ. вузов./ - М.: Высш. шк., 200

5.Мещерякова, . Оптика. Учебное пособие./.- Волгоград: Волгоградский институт бизнеса, 2013.-70 с.

Тема. Теория атома.

Цель семинарского занятия : изучить состав и строение атома.

Основные вопросы

1.Модели атомного ядра.

2.Элементарные частицы.

3. Радиоактивность. Ядерные реакции.

4. Космические лучи.

Рекомендуемая литература:

1.Курбачев, . Учебное пособие/.-М.: Евраз. Открытый унив.-т, 2011.-216 с.

2.Оболонский, физика. Учебное пособие./ .-Саратов: Научная книга, 2012.-160 с.

3.Дмитриева в примерах и задачах/, , .-М.:Форум, 2010.-512 с.

4. Трофимова, Т. И.. Курс физики: учебник для студ. вузов./ - М.: Высш. шк., 200

5.Милантьев, атома и атомных явлений./ .-М.: Высшая школа, 2012.-399 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Лабораторные работы проводятся в компьютерном классе. Все необходимые указания о ходе проведения находятся во вкладках к соответствующей работе. Данные методические указания являются необходимой составляющей при подготовке к лабораторной работе дома, упрощения понимания задания и дают возможность выполнять задание гораздо быстрее, не тратя время на изучение теоретической части непосредственно на занятиях.

Лабораторная работа № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ

Цель работы: на примере измерения плотности вещества цилиндра освоить методику проведения простейших физических измерений и правила обработки экспериментальных данных.

Краткая теория

Виды измерений и погрешности

Измерение – это экспериментальное сравнение данной величины с другой однородной величиной, принятой за единицу меры.

Измерения могут быть прямыми и косвенными.

При прямых – измеряемая величина непосредственно сравнивается с единицей измерения с помощью приборов и устройств, проградуированных в соответствующих единицах.

К прямым относятся, например, измерение линейных размеров с помощью линейки, микрометра, измерение силы тока амперметром, взвешивание и т. д.

При косвенных – измеряется не сама величина, а другие величины, функционально связанные с измеряемой величиной, сама же искомая величина рассчитывается с помощью этой функциональной зависимости.

К косвенным относятся, например, измерения плотности в данной работе, измерение скорости через путь и время и т. д.

Любое измерение не дает абсолютно точного значения измеряемой величины, так как всегда имеются причины, в той или иной степени искажающие результат, поэтому измеренные значения будут всегда отклоняться от истинного, (исключение составляют измерения дискретных величин, например, подсчёт числа ступенек лестницы и т. п., которые, в принципе, могут быть выполнены абсолютно точно).

Эти отклонения называют погрешностями измерений. Если измеряемая величина не изменяется с течением времени (статические измерения), то в соответствии с характерными признаками возникновения погрешности разделяют на три типа: систематические, случайные и промахи (грубые погрешности). При измерении переменных величин дополнительно возникает так называемая динамическая погрешность, связанная с инерционностью измерительных приборов.

Систематические погрешности не изменяются при многократных измерениях или изменяются по определенному закону (слово «систематические» означает здесь «повторяющиеся от опыта к опыту»). Они вызваны неточностью изготовления самого измерительного прибора (инструментальная погрешность), нарушением его регулировки или возникшей неисправностью. Причиной систематической погрешности может быть и влияние внешних условий на прибор или на измеряемую величину, если это влияние оказалось не учтенным в эксперименте. Например, разные штангенциркули (класса 0,1мм) при измерении одной и той же детали могут дать ошибки измерений в 0,1 мм, так как этот прибор изготавливается с точностью 0,05 мм. Поэтому нельзя с помощью данного измерительного прибора провести измерения точнее, чем это указано на нем. Если точность прибора не указана, то ее обычно принимают равной половине цены наименьшего деления шкалы или определяют экспериментально.

При измерении микрометром может возникнуть систематическая погрешность из-за нарушения установки нуля (нарушение регулировки). Неучет внешних условий может привести к систематической погрешности при измерениях, например, металлической рулеткой на морозе (из-за термического сокращения) и т. д.

Для устранения или уменьшения систематической погрешности проводят периодическую проверку измерительных приборов, тщательно анализируют влияние внешних условий, измеряют одну и ту же величину разными методами. Простой и эффективной мерой может служить проведение так называемых контрольных измерений, то есть измерений заранее известных величин. Такие измерения следует провести и в данной лабораторной работе, проверив нуль штангенциркуля, микрометра и весов перед соответствующими измерениями (для микрометров с диапазоном 25/50 мм используют специальный калибр).

Случайные погрешности носят характер случайной величины и при многократных измерениях изменяются по величине и знаку. Они вызваны случайными колебаниями условий измерения или самой измеряемой величины (такие колебания называются флуктуациями). Так, при измерениях микрометром невозможно, даже при наличии специального устройства-трещотки, обеспечить одинаковую силу сжатия детали, эта случайно изменяющаяся сила вызовет деформацию детали и приведет к неконтролируемой погрешности. Возможно и другое: даже при одинаковой силе сжатия показания микрометра будут разные, если измеряется диаметр цилиндра в разных сечениях, что говорит о колебаниях диаметра из-за неточности изготовления. В этом случае сама измеряемая величина-диаметр не точно определена, то есть содержит случайную погрешность. Уменьшить случайные погрешности можно, стабилизируя условия измерения, ограничивая случайные помехи, но полностью их исключить невозможно. Даже если при многократных измерениях результаты повторяются (например, при измерении высоты цилиндра штангенциркулем), то это не значит, что случайная погрешность исключена. В этом случае не хватает чувствительности и точности измерительного прибора. Повысив точность (взяв микрометр), можно заметить, что появился разброс в значениях высоты цилиндра. Если этот разброс больше 0,01 мм (точность микрометра), то он обусловлен дефектами изготовления самого цилиндра, и дальнейшее повышение точности измерения высоты путем использования других приборов теряет смысл, так как сама измеряемая величина содержит случайную погрешность в сотых долях миллиметра. В этом случае следует увеличить число измерений и учесть случайную погрешность специальной математической обработкой результатов (увеличение числа измерений тоже не устраняет случайную погрешность, но позволяет точнее учесть ее при обработке методами теории вероятностей, при этом достоверность полученных результатов растет с увеличением числа измерений).

Промахи (грубые погрешности) – это резко отклоняющиеся от ожидаемых значений результаты, которые должны быть исключены из расчетов. Возникают промахи из-за ошибок экспериментатора (неверный отсчет по шкале, неверная запись в журнале и т. д.) и обнаруживаются в тех случаях, когда отклонения значительно превышают все возможные погрешности. Если причина промаха установлена, то этот результат просто исключается из экспериментальных данных, лучше, однако, повторить опыт при данных условиях, чтобы не пропустить неизвестное ранее явление.

Обработка результатов прямых многократных измерений

Пусть измеряется величина «а» (высота; диаметр, масса и т. д.) Обозначим значение, полученное в i-ом измерении, аi (i = 1,2,3…). Теория вероятностей доказывает, что ближе всего к истинному значению лежит среднее арифметическое значение результатов.

(1)

Результат каждого измерения при наличии случайной погрешности несколько отличается от среднего значения. Абсолютную величину этого отклонения вычисляют по формуле

Δаср=│аср - аi│. (2)

Показателем точности проведенных (n>1) измерений считается среднеквадратическая погрешность группы измерений

. (3)

Этой величиной пользуются для оценки точности метода измерений (если метод точен, то мала) и для исключения грубых погрешностей (промахов). Если число измерений невелико (10-20), то промахами можно считать значения Δаi > 3, если число измерений n > 100, то вероятность «выйти» за 3 становится заметной, и промахами считают Δаi > 4.

Однако величина среднеквадратической погрешности не характеризует точность полученного результата, то есть степень точности аср, вычисленного по формуле (1). Для этого используют величину ср – среднеквадратическую погрешность среднего (или результата) n измерений.

. (4)

Как видно из (4), погрешность результата уменьшается с ростом числа измерений, в то время как погрешность группы измерений, вычисляемая по формуле (3), стремится к постоянному значению при n→ ∞ (то есть слабо зависит от n).

Зная среднеквадратическую погрешность результата (ср), можно определить доверительный интервал ( Δа ) при заданной доверительной вероятности (Р∂). Доверительная вероятность – это вероятность того, что истинное значение величины (аср) лежит в интервале (аср – Δа; аср + Δа), то есть отклоняется от среднего не более чем на Δа.

Значения доверительной вероятности Р∂ определяется постановкой задачи и принимаются равными 0,5; 0,8; 0,9 или 0,95. Значение Р∂ = 0,5 принято в артиллерии (срединная ошибка), значение Р∂ = 0,8 принято в расчетах на надежность средств автоматики, а значение Р∂ = 0,9 и 0,95 используются при нормировании погрешностей средств измерений. Иногда доверительную вероятность называют надежностью результата. Так, Р∂ = 0,95 соответствует надежность 0,95 или 95% и т. д.

Величина доверительного интервала Δа связана с доверительной вероятностью Р∂ и числом измерений n соотношением

Δа = tn ·ср, (5)

где tn – зависящие от числа n коэффициенты Стьюдента, имеющиеся в таблицах [І].

В данной работе мы будем определять доверительный интервал для случая tn = 1, тогда Δа = ср и доверительная вероятность (при n 5) равна 2/3 67%. Вычисленная таким образом погрешность называется стандартной (или среднеквадратической) погрешностью.

Найденный доверительный интервал Δа характеризует абсолютную погрешность величины а, которая измеряется в тех же единицах, что и а. Очень часто используется относительная погрешность, то есть отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеренной величины.

εа =. (6)

С помощью относительной погрешности удобно сравнивать по точности разные измерения, что требуется при планировании экспериментов и подборе измерительных приборов.

В прямых многократных измерениях результирующая погрешность определяется как погрешностями (флуктуациями) самой измеряемой величины, так и погрешностью измерительного прибора (инструментальная погрешность). Инструментальная погрешность может носить случайный или систематический характер и указывается в паспорте измерительного прибора. Точный учет этой погрешности требует длительного анализа и достаточно сложен. В нашей работе мы примем приближенное, но зато очень простое правило: будем считать, что указанная на приборе точность равна стандартной погрешности .

Для этого уровня надежности хорошо выполняется правило квадратического суммирования погрешностей [2]:

= . (7)

Если точность прибора не указана, то требуется определить ее опытным путем, используя более точный прибор, или приближенно, взяв половину цены деления.

Правила проведения и обработки прямых многократных измерений:

·  проверить измерительные приборы с помощью контрольных измерений (в частности, правильность показаний нуля шкалы), при необходимости отрегулировать или заменить приборы, провести анализ влияния внешних условий (температуры, давления и т. п.);

·  тщательно провести ряд измерений, занося каждый результат в таблицу (обычное число измерений 5–10);

·  если результаты повторяются, записать среднее значение и в качестве абсолютной погрешности взять погрешность прибора ();

·  если наблюдается разброс результатов, проводится расчет среднего значения по формуле (1), при этом в среднем значении надо оставить столько же цифр, сколько их было в экспериментальных данных, остальные отбросить в соответствии с правилами округления;

·  найти абсолютные отклонения отдельных измерений по формуле (2) и записать их в таблицу (обратить внимание на резко выпадающие данные, возможно, это промахи;их надо отбросить или проверить дополнительными измерениями), при расчетах оставлять не более двух значащих цифр в абсолютной погрешности;

·  найти среднеквадратическую погрешность группы измерений по формуле (3);

·  вычислить среднеквадратическую погрешность среднего значения по формуле (4);

·  найти суммарную погрешность с учетом инструментальной погрешности по формуле (7);

·  округлить до одной значащей цифры и записать окончательный результат в виде: а = (аср ± ) единицы, причем в аср отбросить все цифры, выходящие за разряд погрешности .

Вычисление погрешностей косвенных измерений

Пусть искомая величина (А) является функцией ряда величин (x, y,z,...), измеряемых непосредственно, то есть

А = F(x, y,z,...).

Если в прямых измерениях получено: (хср± Δх); (yср±Δy), и т. д., а требуется найти Αср и погрешность ΔА., то используется следующий порядок действий. Сначала находится Аср. Для этого достаточно взять средние значения прямых измерений и подставить в расчетную формулу, то есть

Аср = F ( xср; yср; zср;…). (8)

Затем находится ΔА.

В общем случае это довольно сложная задача, так как прямые измерения содержат случайные и систематические погрешности, которые могут иметь разные законы распределения, возможна взаимная связь погрешностей (корреляции) и т. д.

В лабораторном практикуме по физике будет применяться квадратический метод определения погрешностей косвенных измерений, который, строго говоря, применим только для случайных погрешностей с нормальным законом распределения. При использовании этого метода погрешности отдельных измерений, умноженные на коэффициенты влияния, складываются квадратически, как в формуле (7).

Так как погрешности обычно малы по сравнению с измеряемой величиной, то используют методы дифференциального исчисления. Пусть приращение измеряемой величины равно dх. Тогда приращение (дифференциал) функции F ( х, y, z,…) будет:

dАх=,

где – частная производная по х функции F нескольких переменных, которая вычисляется так же, как и обычная производная, но при этом полагается, что все другие переменные (y, z,… ) являются постоянными. Эта частная производная в теории погрешностей называется коэффициентом влияния, так как она характеризует связь dАх и dх.

Так как на результат влияют все переменные, то полное приращение (полный дифференциал) функции находят как сумму частных приращений:

dА = у +

Полагая dх, dy,… равными стандартным погрешностям ; ... и используя метод квадратического суммирования, получим формулу для определения стандартной погрешности величины А

(9)

Практически для вычисления погрешностей косвенных измерений прибегают к двум способам:

а) Метод прямого дифференцирования. При этом расчёт ведется по формуле (9), и находится абсолютная погрешность .

б) Метод логарифмического дифференцирования (применяется, когда функция F есть произведение переменных). В этом случае сначала находят натуральный логарифм , который затем дифференцируют.

Рассмотрим в качестве примера вывод формулы для вычисления стандартной погрешности измерения плотности материала цилиндра.

Объем цилиндра: V =, где D – диаметр, h – высота.

Масса цилиндра m, диаметр D и высота h определяются прямыми измерениями. Согласно определению плотности:

ρ = . (10)

Подставим средние значения и получим расчетную формулу для средней плотности:

ρ ср = . (11)

Для нахождения погрешности применим логарифмическое дифференцирование. Берём натуральный логарифм от обеих частей (индекс среднего опускаем)

ρ = 4+ m – π – 2 D – h.

Дифференцируя, находим:

.

Заменяем знаки дифференциалов на стандартные погрешности и, производя квадратическое суммирование, получим:

(12)

или через относительные погрешности:

. (13)

Эта формула позволяет вычислить относительную погрешность при определении плотности тела. Абсолютная погрешность в табличных значениях определяется половиной первого отброшенного разряда. Например, если взято π = 3,14, то = 0,005, если π = 3,1415, то = 5·10-5 и т. д.

Имея значения относительных погрешностей измеренных величин, всегда можно выбрать нужное число знаков табличной величины так, чтобы погрешностью этой величины можно было пренебречь.

Анализируя формулы для погрешностей, можно правильно выбрать методику измерения. Основной принцип выбора очень прост: надо, чтобы все прямые измерения давали в суммарную погрешность приблизительно одинаковый вклад.

Именно поэтому в данной лабораторной работе для измерения диаметра применен микрометр, поскольку коэффициент влияния погрешности диаметра равен двум (12,13), и к тому же диаметр меньше высоты (D < h). Высоту цилиндра можно измерять менее точным прибором – штангенциркулем.

Вообще инженер должен знать – любое измерение, любая физическая величина, приводимая в паспорте, отчете, справочнике, имеет смысл только с указанием погрешности.

Иногда задача определения погрешности очень сложна, но ее необходимо решать и этими вопросами занимается специальная отрасль науки – теория измерений [1], [2].

Вычисления с приближенными числами

В результате измерений получаются приближенные числа, последняя цифра которых точно не определена (ее называют сомнительной). Например (25,4 ± 0,1) мм, (0,70 ± 0,01) кг и т. д. Перемножая, складывая или возводя в степень числа, можно получить любое число десятичных знаков, но не все из них несут полезную информацию и лишние должны быть отброшены. Определим понятие значащих цифр – именно тех цифр в числе, которые несут полезную информацию. Значащие цифры – это все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, и до последней, правильность которой еще можно гарантировать. Эта последняя цифра называется сомнительной, и ее разряд совпадает с разрядом абсолютной погрешности. Точность сомнительной цифры гарантируется в пределах доверительного интервала. Все цифры, следующие за сомнительной, не являются значащими и должны быть отброшены с округлением.

Не являются значащими нули слева от первой значащей цифры и все нули справа, полученные в результате округления, эти нули указывают порядок числа и должны быть вынесены в отдельный множитель. Так, например, вместо 0,001200 надо писать 1,2·10-3, а вместо 250000 – 2,5·105, если в обоих числах по две значащих цифры. Нуль в конце числа может быть значащим, но тогда это надо специально указывать. Запись приведенных чисел с тремя значащими цифрами выглядит так: 1,20·10-3 и 2,50·105.

Приближенные вычисления ведутся с соблюдением следующего простого правила: результат вычислений должен содержать столько же значащих цифр, сколько их имеется в исходных данных. Причем берется исходное число, содержащее наименьшее число значащих цифр (имеющее наименьшую точность). В промежуточных расчетах можно использовать и большее число значащих цифр, но результат надо округлить. Пример:

х = .

Величины 3,2 и 5,1 содержат наименьшее число значащих цифр (по две), значит, и в результате следует оставить две значащие цифры. Вычисление произведем с одной запасной цифрой, то есть с тремя

х = .

Округляем и получаем ответ: х = 3,8·10-3

Графическая обработка результатов

Если экспериментально устанавливается или проверяется функциональная зависимость между двумя физическими величинами, то результат обычно представляют графически. При построении графиков надо придерживаться следующих правил:

·  графики выполняются только на миллиметровой бумаге; по горизонтальной оси откладывают значения независимой величины (аргумента), а по вертикальной – значения исследуемой функции;

·  масштаб выбирается из условия максимального использования площади чертежа, то есть каждому значению Х и У должна соответствовать определенная точка кривой. Минимальные деления по осям должны позволить нанести на график абсолютные погрешности измерений. На осях указываются с равномерным шагом значения измеряемых величин, а в конце осей указывается размерность и порядок величины (например, 103кг; 106А и т. д.);

·  результаты измерений наносятся на график в виде точек;

·  абсолютные погрешности измерений должны быть обязательно указаны на чертеже, для этого вверх и вниз (для У) и вправо и влево (для Х) должны быть отложены отрезки, равные по величине доверительному интервалу или точности прибора. Эти отрезки образуют прямоугольник вблизи экспериментальной точки – зону погрешности;

·  искомая зависимость строится в виде прямой или плавной кривой, проходящей через все зоны погрешностей или вблизи их. Резко отклоняющиеся данные надо проанализировать, возможно, это промахи.

Лабораторная работа №2

Изучение законов динамики на машине Атвуда.

Цель работы: экспериментальное определение скорости и ускорения системы в пределах точности, ограниченной условиями эксперимента.

Краткая теория.

Основной частью машины Атвуда является система движущихся тел, состоящая из блока радиуса r с перекинутой через него нитью, к концам которой привязаны грузы одинаковой массы m. Система приводится в движение перегрузком массы m0, который накладывается на один из грузов m. По вертикальной стойке могут перемещаться кольцевая платформа и платформа в виде диска. К машине Атвуда прилагается набор перегрузков различного размера. Небольшие перегрузки (цветные) могут свободно проходить через внутреннее отверстие кольцевой платформы (верхней). Большой перегрузок (серый) массой m0 снимается кольцевой платформой при движении груза массой m .

Пусть на правый груз положен перегрузок m0. При движении грузов на левый груз действует сила тяжести и сила натяжения нити , на правый груз с перегрузком - сила тяжести и сила натяжения нити . На блок действуют силы натяжения нити и , и сила тяжести , где - масса блока. На основании второго закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движения, уравнения движения грузов и блока имеют вид:

(1)

Здесь

	- ускорение свободного падения;
	- ускорение поступательного движения грузов;
	- угловое ускорение, с которым вращается блок;
J	- момент инерции блока;
	- момент силы натяжения нити
	- момент силы натяжения нити
	- момент силы тяжести блока.

Для того чтобы перейти к скалярному виду, определим направление и величину векторов

, , , .

При движении правого груза с перегрузком вниз блок вращается по часовой стрелке (для случая, изображенного на рисунке). Направление вектора углового перемещения и угловой скорости определяется правилом буравчика: вращательное движение буравчика совпадает с направлением вращения твердого тела, а поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора углового перемещения и угловой скорости. В нашем случае вектор углового перемещения и угловой скорости направлены вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости рисунка от нас.

При ускоренном движении вектор углового ускорения сонаправлен вектору угловой скорости , при замедленном - противоположнонаправлен ему. Поскольку в нашем случае угловая скорость увеличивается с течением времени - диск раскручивается - вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости, т. е. направлен от нас.

Определим направление и величину вектора момента силы натяжения нити . По определению, момент силы относительно точки вращения равен

,

где - радиус-вектор, проведенный из точки вращения О к точке приложения силы .

Согласно правилу буравчика вектор совпадает с поступательным движением буравчика при его вращении от радиус-вектора к силе , если они выходят из одной точки. Таким образом, момент силы направлен на нас. Величина момента силы натяжения нити равна:

.

(2)

Используя правило буравчика, находим, что момент силы направлен от нас и по величине равен:

.

(2’ )

Сила тяжести диска приложена к точке О, т. е. к точке вращения диска. Это значит, что радиус - вектор в этом случае равен нулю, а, следовательно, и момент силы тяжести равен нулю:

.

Таким образом, вектора и сонаправлены, а вектор направлен в противоположную сторону. Основное уравнение динамики вращательного движения можно переписать в скалярном виде:

.

Таким образом, систему уравнений (1) в скалярной форме имеет вид:

(3)

Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением на поверхности диска соотношением:

.

Если нить нерастяжима и отсутствует скольжение нити относительно поверхности диска, то можно сказать, что тангенциальное ускорение на поверхности диска at равно ускорению a поступательного движения грузов. Следовательно,

.

(4)

Подставляя это выражение в уравнение системы (3) получаем:

.

(5)

Если момент инерции блока невелик, т. е.

,

то последним слагаемым в знаменателе формулы (5) можно пренебречь:

(6)

Из формул (5) и (6) следует, что груз движется равноускоренно. Ускорение, путь S и время движения t при равноускоренном движении связаны соотношением:

.

(7)

1.  Почему измеренное значение ускорения свободного падения меньше, а не больше 9,8 м/с2?

2.  Запишите уравнение равноускоренного движения в общем виде.

3.  В каком случае ускорение грузов в машине Атвуда можно считать равными?

4.  В каком случае уравнение равноускоренного движения тела при его свободном падении h = gt2/2 становится неверным?

5.  Поясните кратко суть работы машины Атвуда.

6.  Если увеличить высоту h падения груза, то вследствие чего вносится еще одна ошибка в измерение g?

7.  Запишите второй закон Ньютона в общем случае.

8.  Какие силы действуют на грузы и блок в машине Атвуда?

9.  К чему сводится основная задача при определении g в данной работе?

10.  Какой способ определения g реализован в установке машина Атвуда?

Лабораторная работа № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО

ТРЕНИЯ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА

Цель работы: Ознакомление с явлениями переноса.

Краткая теория

В любой макроскопической системе молекулы находятся в беспрерывном хаотическом (тепловом) движении. Характер движения зависит от агрегатного состояния вещества: в газах – это свободный полёт (пробег) между столкновениями, в жидкостях – колебания около случайного центра с частыми перескоками к другому близкому центру, в твёрдых телах – колебания относительно стабильного центра с очень редкими перескоками. Но в любом случае молекулы взаимодействуют между собой и обмениваются энергией, импульсом и другими физическими характеристиками.

Этот постоянный обмен при отсутствии внешних воздействий приводит такую (изолированную) систему в состояние термодинамического равновесия, которое характеризуется пространственной однородностью (одинаковостью) таких физических параметров как температура, давление, плотность, концентрация и др.

Это свойство отражено во втором законе термодинамики, который гласит:

энтропия изолированной системы не может убывать (∆S≥0). Энтропия возрастает (∆S>0) при самопроизвольном движении системы к состоянию равновесия и, достигнув максимума в состоянии термодинамического равновесия, перестаёт изменяться (∆S=0).

Напомним, что энтропия – функции состояния, определяющей меру рассеяния (диссипации) энергии в термодинамической системе. (обозначается буквой S).

Максимум энтропии соответствует максимальному «беспорядку» в системе, при котором всё равномерно «рассеяно» по её отдельным частям и частицам.

Предположим, что за счёт внешнего воздействия в системе нарушено термодинамическое равновесие (например, горячий чайник внесли в комнату). Естественное стремление системы (чайник плюс воздух) прийти к термодинамическому равновесию приведёт к возникновению потока тепла от чайника. В конце концов, чайник остынет, воздух несколько нагреется, и система придёт к равновесию точно в соответствии со вторым законом термодинамики. Обратного процесса (нагрев чайника из воздуха) ждать не следует – он запрещён вторым законом.

Поэтому, процессы, сопровождаемые ростом энтропии, называют необратимыми. Самопроизвольно в обратном направлении они не происходят.

Вообще их можно обратить, т. е. вернуть систему в исходное состояние, но только за счёт внешних воздействий (поставить чайник на плитку и включить кондиционер!)

Итак, любая неоднородность в термодинамической системе создаёт определённые потоки (т. е. направленный перенос) физических величин. Существует целая группа таких явлений, объединяемые общим названием: явления переноса.

Явления переноса – это необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственный перенос какой либо физической величины (электрического заряда, массы, импульса, энергии, энтропии и т. д.)

Ниже мы ограничимся тремя процессами переноса:

- диффузия – перенос массы при разнице в концентрации вещества в пространстве;

-теплопроводность- перенос энергии теплового движения молекул (тепла) при наличии разницы температур;

- вязкость (внутреннее трение)- перенос импульса направленного движения между прилегающими слоями жидкости или газа, движущихся с разной скоростью.

Во всех названных процессах перенос в пространстве физической величины происходит в результате теплового хаотического движения и взаимодействия молекул.

Для формулировки общего закона для явлений переноса определим два понятия:

Плотностью потока физической величины называется вектор, направленный в данной точке по направлению переноса величины, и численно равный количеству величины, переносимой через единицу площади за единицу времени.

Поясним это примером. Пусть от точки А к точке В (рис.1) идёт перенос тепла.

Выделим бесконечно малую площадку dS перпендикулярно

АВ. Пусть через эту площадку за время dt проходит поток

тепла dQ, тогда плотностью потока тепла в точке

расположения dS, будет вектор , численное значение

которого:

(1)

Размерность j: Дж/с∙м2 = Вт/м2

Совершенно аналогично определяются плотности потоков

других величин, достаточно заменить dQ на

соответствующую физическую величину и сменить индекс

у вектора .

Следующее понятие общее для всех явлений переноса это градиент физической величины.

Градиент (от лат. gradientis —шагающий) - вектор, характеризующий изменение физической величины в пространстве.

Вектор градиента показывает направление наиболее быстрого возрастания величины. Модуль этого вектора даёт изменение величины на единицу длины вдоль этого направления.

Обозначается градиент как grad или (оператор градиента), например, градиент температуры: gradT или T, и хотя операторное обозначение сейчас применять предпочтительнее, мы будем использовать grad , чтобы не перепутать его с другими операторами (например с ∆ - оператором приращения).

Рассмотрим пример. Пусть температура различна в разных точках пространства, то есть она является функцией координат Т(x, y,z), тогда

(2)

Здесь: - единичные векторы по осям (орты).

В простых случаях, когда изменение величины происходит только вдоль одной из осей, градиент равен производной только по этой переменной (например, )

Теперь можно сформулировать общий закон для явлений переноса. Мы его запишем в виде словесной формулы потому, что для каждого из явлений приняты свои буквенные обозначения.

плотность потока переносимой величины

градиент величины, вызвавшей поток

коэффициент

 

= ─ ´ (3)

Обратите внимание на знак минус в правой части, он отражает тот факт, что любая величина переносится в сторону противоположную вектору градиента, стремясь выровнять неоднородность, вызвавшую поток.

Теперь рассмотрим несколько подробнее названные выше явления переноса.

Диффузия

Диффузия (от лат. diffusio — распространение, растекание), взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга вследствие теплового движения молекул.

Примеры диффузии:

- распространение запахов в неподвижном воздухе;

- проникновение кислорода из лёгких в кровь и из крови в клетки организма;

- диффузия примесей при производстве полупроводниковых приборов.

Экспериментально закон диффузии был установлен немецким ученым - физиологом

А. Фиком (1855) (закон Фика).

Согласно общему правилу (3) его можно записать так: (напомним, что для простоты мы рассматриваем задачу, когда переменные зависят только от одной координаты – х)

или (4)

Здесь: jm – плотность потока массы (кг/м2·с),

jn – плотность потока числа частиц (частиц/м2·с),

ρ – плотность диффундирующего вещества (кг/м3),

n – концентрация диффундирующего вещества (частиц/м3).

Обе записи закона эквивалентны потому, что между плотностью ρ и концентрацией n существует простая связь: ρ= m0·n, где m0 – масса одной частицы.

D – коэффициент диффузии (м2/с).

Рассмотрим молекулу диффундирующего вещества (например, молекулу воды в воздухе). В результате хаотических столкновений молекула движется по запутанной зигзагообразной линии, но в среднем всё же смещается в пространстве (рис.2)

Средний квадрат смещения по формуле Эйнштейна: (5) Из этой формулы следует, что коэффициент диффузии может служить мерой скорости диффузии. Конечно, эта скорость значительно меньше той, с которой молекула движется между столкновениями, поэтому все явления переноса происходят относительно медленно. Приведём некоторые значения коэффициента диффузии.

 

Рис.2 Движение молекулы (масштаб сильно увеличен)

 

Пары спирта в воздухе – 10-5 м2/с, сахар в воде – 10-10 м2/с, золото в свинце – 10-14 м2/с.

Такие различия коэффициента обусловлены характером движения молекул в этих веществах.

Теплопроводность - один из видов переноса теплоты (энергии теплового движения микрочастиц) от более нагретых частей тела к менее нагретым. При этом перенос энергии в теле осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией.
Математическую форму закона теплопроводности предложил (1822) французский математик Ж. Фурье (закон Фурье):

(6)

Здесь: jQ – плотность потока тепла (Дж/м2·с = Вт/м2),

K - коэффициент теплопроводности (Вт/м∙К),

dT/dx – градиент температуры. (К/м)

Приведём некоторые значения коэффициента теплопроводности.

Воздух: 0,023 Вт/м∙К, Вода: 0,60 Вт/м∙К, Медь: 403 Вт/м∙К.

Низкая теплопроводность газов обусловлена относительно большим свободным пробегом молекул ( λ - см. рис. 2) и как следствие этого, неэффективным обменом кинетической энергией. Поэтому для теплоизоляции применяются пористые материалы (полый кирпич, стекловата, пенопласт и т. д.).

В жидкостях и твёрдых телах молекулы «упакованы» плотно и передача энергии между ними происходит более эффективно.

Самой большой теплопроводностью обладают металлы (серебро, медь, алюминий). В этих веществах в передаче тепла участвуют не только атомы кристаллической решётки, но и свободные электроны (электроны проводимости). Поэтому лучшие теплообменники (например радиатор автомобиля) делаются из меди или алюминия.

Переходим теперь к третьему явлению переноса - вязкости, которое исследуется экспериментально в данной работе.
Вязкость, (внутреннее трение) свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.

Рассмотрим как возникает это сопротивление, то есть сила, направленная по касательной, если соприкасаются два слоя газа (или жидкости), движущиеся с разными скоростями (рис. 3)

Мы для простоты рассуждений будем считать, что два прилегающих тонких слоя движутся с разными скоростями (в действительности изменение скорости от слоя к слою происходит непрерывно).

На хаотическое тепловое движение молекул накладывается направленное движение слоя, каждая молекула имеет в качестве составляющей эту скорость.

Поэтому молекулы из верхнего более быстрого слоя, попадая в медленный нижний слой, будут при соударениях направленно ускорять молекулы этого слоя и наоборот, молекулы нижнего слоя будут «тормозить» верхний слой, попадая в него.

Получается, что тепловое хаотическое движение переносит движение направленное.

Интенсивность переноса в данном случае определяется интенсивностью переноса импульса направленного движения dР/dt∙dS, но согласно второму закону Ньютона, dР/dt=F и получаем, что интенсивность переноса равна силе на единицу площади слоёв dF/dS. Это и есть сила вязкости.

Основной закон вязкости был установлен И. Нютоном (1687).

(7)

Здесь: dF/dS – сила трения (вязкости) на единицу площади соприкасающихся слоёв (Н/м2)

η – коэффициент динамической вязкости (Н∙с/м2 = кг/м∙с),

dv/dz – поперечный градиент скорости.

Этот закон несколько отличается от законов диффузии и теплопроводности: здесь сила направлена перпендикулярно градиенту модуля скорости и векторная запись его усложняется. Мы используем скалярную запись и поэтому градиент взят по абсолютной величине (модулю) и знак минус опущен. Также по этой причине градиент назван поперечным. (поперёк силе вязкости)

Коэффициент в данном законе назван динамическим (определяющим силу) потому, что в гидродинамике часто используется другой, кинематический коэффициент вязкости ν = η/ρ (ρ – плотность жидкости).

И ещё одно «неудобство»: единицы вязкости имеют наименование только в старой системе единиц (СГС) и часто используются в научной литературе

1пуаз (Пз) = 1г/см∙с = 10 кг/м∙с (динамическая),

Ж. Пуазёйль () - французский врач и физик.

1стокс (Ст) = 1см2/с = 10-4 м2/с (кинематическая),

Д. Стокс () - английский физик.

. В СИ единицы пока названий не имеют.

Контрольные вопросы

1.  Что такое явления переноса? Какие явления переноса Вам известны, и какие физические величины « переносятся» молекулами в каждом случае?

2.  Дайте определение плотности потока массы, теплоты, импульса. Назовите единицы их измерения. Сформулируйте общий закон для явлений переноса. Что такое градиент физической величины?

3.  В чём заключается явление диффузии? Приведите примеры. Закон Фика.

Каков смысл коэффициента диффузии? Объясните разницу в скорости диффузии в газах,

в жидкостях и твёрдых телах

4.  В чём заключается явление теплопроводности? Приведите примеры. Закон Фурье.

Каков смысл коэффициента теплопроводности? Какие вещества обладают минимальной

и максимальной теплопроводностью и почему.

5. В чём заключается явление вязкости? Приведите примеры. Объясните молекулярный

механизм явления вязкости. Закон вязкости. Что такое поперечный градиент скорости,

почему он так называется?

5.  В чем суть измерений методом Стокса? Как образуется сила сопротивления при движении шарика в вязкой среде? Какие силы действуют на шарик в методе Стокса?

Лабораторная работа № 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Цель работы: изучение структуры электростатических полей

Краткая теория

Электрическое поле - особая форма материи, возникающая вокруг электрических зарядов, наличие которых в природе установлено опытным путем. Посредством электрического поля осуществляется взаимодействие (притяжение, отталкивание) электрических зарядов. Заряды, измеряемые в [Кл], могут быть положительными или отрицательными; согласно закону сохранения электрического заряда, в любой изолированной системе алгебраическая сумма зарядов остается неизменной.

Напряженность электрического поля - силовая характеристика поля, определяемая как сила, действующая на единичный положительный электрический заряд:

. (1.1)

Напряженность электрического поля измеряется в 1 [Н/Кл] = 1 [В/м]. Если электрическое поле рассматривается в системе отсчета, неподвижной относительно создающего его заряда, то поле является электростатическим.

Если электрическое поле создается системой из i = 1,2... n зарядов, то для нахождения его напряженности (в некоторой точке пространства) применяется принцип суперпозиции: напряженность поля равна векторной сумме Еi - напряженностей, которые создавал бы каждый i - й заряд в отдельности в этой же точке:

. (1.2)

Согласно теореме Гаусса-Остроградского, применяемой для расчета электрических полей, суммарный поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность S равен суммарному электрическому заряду, охватываемому этой поверхностью, деленному на произведение электрической постоянной ε0 = 8,85∙10-12 [Ф / м] и диэлектрической проницаемости среды ε ≥ 1:

. (1.3)

Согласно этой теореме, напряженность поля, создаваемого точечным зарядом Q, легко получить, в силу симметричности поля по полному телесному углу 4π, выбрав в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом r:. В соответствии с (1.1) на заряд q, помещенный в поле заряда Q на расстоянии r, будет действовать сила:

. (1.4)

Это соотношение - закон был установлен экспериментально (1785 г.) Ш. Кулоном и носит его имя. Кулоновская сила F является центральной, т. е. направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, соответствует притяжению (F < 0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F > 0) в случае одноименных.

Графически электрическое поле можно изобразить с помощью линий напряженности, которые проводятся так, что касательная к ним в каждой точке совпадает с направлением вектора . Густота линий или их количество, пронизывающее единицу нормальной к ним поверхности, соответствует численной величине Е.

Потенциал φ - вторая, скалярная энергетическая характеристика электрического поля, есть работа А, необходимая для перенесения единичного заряда из данной точки в бесконечность:

, (1.5)

где работа есть интеграл от силы . Считается, что потенциал электрического поля на бесконечности равен нулю. Работа А есть разность энергии (потенциальной) взаимодействия зарядов П - П∞, поэтому:

. (1.6)

Для центрального (т. е. радиально направленного) электрического поля точечного заряда Q энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна:

, (1.7)

а, соответственно, потенциал точечного заряда Q:

. (1.8)

В случае разноименных зарядов П < 0, т. е. процесс удаления разноименных зарядов друг от друга (на бесконечность) сопровождается повышением их потенциальной энергии - совершается отрицательная работа.

В общем случае для электростатического поля точечного заряда Q работа по перемещению заряда q из точки «1» в точку «2» не зависит от траектории перемещения и равна:

. (1.9)

т. е. электрическое поле является потенциальным, а электростатические силы - консервативными. Из (1.9) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому контуру L равна нулю:

. (1.10)

Формула (1.10) является математической записью теоремы о том, что циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру L равна нулю.

Если воспользоваться известным из механики соотношением между силой и потенциальной энергией F = - grad П, то согласно (1.1) и (1.7) можно записать:

, (1.11)

где grad = - векторная функция скалярной величины, именуемая градиентом. Тогда можно записать:

. (1.12)

Знак « - » определяется тем, что векторнаправлен в сторону убывания потенциала.

В частности, для однородного поля (направленного вдоль оси х) Е = ∆φ/∆х, что соответствует хорошо известной формуле U = E·d для плоского конденсатора.

Конденсатор состоит из двух проводников - обкладок, разделенных диэлектриком. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (φ1 - φ2) между его обкладками:

. (1.13)

Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь, и поле между пластинами считать однородным.

Эквипотенциальные поверхности - поверхности, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение; на плоскости такая поверхность вырождается в эквипотенциальную линию. При перемещении по эквипотенциальной поверхности (линии) работа не совершается (∆φ = 0), а это в свою очередь возможно, только если силовой векторпо всей длине перемещения перпендикулярен поверхности. Следовательно, вектор напряженности электрического поля всегда совпадает с нормалью к эквипотенциальной поверхности.

Исследование электрического поля заключается в нахождении величины и направления напряженности в любой его точке, т. е. построении силовых линий поля. Электростатическое поле, не зависящее от времени, исследуется путем построения эквипотенциальных поверхностей (линий).

Аналитический расчет поля можно осуществить только для ряда простых конфигураций носителей заряда - электродов, на которые подано постоянное напряжение, да и то с определенными допущениями. Поля, созданные электродами сложной конфигурации, исследуются экспериментально либо моделируются (с применением числовых методов) на компьютере.

Контрольные вопросы

1.  Что такое электростатическое поле? Сформулируйте закон Кулона и запишите его.

2.  Дайте определение напряженности и потенциала электростатического поля.

3.  Сформулируйте принцип суперпозиции полей.

4.  Что такое градиент? Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля.

Чем отличается потенциальное поле от непотенциального

Лабораторная работа № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ЛИНЗЫ С ПОМОЩЬЮ КОЛЕЦ НЬЮТОНА

Цель работы: изучение общих закономерностей явления интерференции света и определение радиуса кривизны линзы методом колец Ньютона.

Краткая теория

Волновые явления в природе и технике играют чрезвычайно важную роль. С помощью гармонических волн описываются процессы, происходящие в макромире (например, волнение поверхности воды, звук) и микромире (например, распространение света, колебания кристаллической решетки, движение элементарных частиц).

Уравнение плоской волны для любого волнового процесса, распространяющегося в положительном направлении оси х, имеет вид:

(1)

где - значение колеблющейся величины в момент t в точке с координатой х,

A – амплитуда колебаний, ω = 2πν – циклическая частота, k = 2π/λ - волновое число,

α- начальная фаза колебаний.

Длина волны λ и частота ν связаны уравнением:

v = λν , где v – скорость распространения волны.

Монохроматической (от греч. mоnos-один, и chromatos – цвет) называется волна одной определённой и строго постоянной частоты. Реально таких волн не существует, однако эта идеализированная модель зачастую даёт хорошие результаты при анализе различных волновых явлений.

Две (и более) монохроматических волны x1(t), x2(t) называются когерентными (от лат. cohaerens — находящийся в связи), если разность их фаз , т. е. остается неизменной во времени. Если в окружающее пространство от двух источников излучаются когерентные волны, то при их сложении образуется результирующая волна той же частоты, но с амплитудой, изменяющейся в пространстве в зависимости от условий суммирования.

В точках пространства, где амплитуда минимальна (в пределе равна нулю) достигается минимум интенсивности результирующего колебания, в точках, где амплитуда достигает наибольшего значения - максимум. Устойчивость или постоянство пространственной картины, которая называется интерференционной, напрямую обусловлена когерентностью источников колебаний.

Интерференцией называется сложение в пространстве двух или нескольких волн, вызванных разнесенными когерентными источниками, при котором в разных точках пространства получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны, - соответственно наблюдаются интерференционные максимумы или минимумы.

Ослабление колебаний в одних местах и их усиление в других – это только перераспределение энергии колебаний в пространстве и, разумеется, закон сохранения в энергии в целом не нарушается.

Интерферировать могут любые волны как механические, в том числе и звуковые, так и электромагнитные, к которым, как известно, относятся и световые волны, о которых пойдет речь ниже. Интерференционная картина будет устойчива, если колебания (излучения) генерируются когерентными источниками, т. е. источниками когерентных волн. Картина будет выражена четче, если складывающиеся когерентные колебания имеют близкую или одинаковую (в идеале) амплитуду и направленность.

На рис.1 показаны интерференционные картины, образующиеся при сложении когерентных волн (на поверхности воды) от двух идентичных точечных источников. Варьируется расстояние между источниками (слева - направо) и длина λ складывающихся волн (сверху – вниз). Темные места означают минимумы, светлые - максимумы результирующей волны. При разнесении источников в пространстве или изменении λ характер картины изменяется.

Рис.1 - Интерференция волн от двух точечных когерентных источников

Интерференцию звуковых волн, частота которых ν составляет от 20 Гц (ниже - инфразвук) до 20 кГц (выше - ультразвук), а скорость распространения v (в воздухе при нормальных условиях v ≈ 340 м/с, получить нетрудно, поскольку длина волны относительно велика и составляет не менее λ =v / ν = 2 см, а частота мала. Достаточно подключить два излучателя звука, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, к одному генератору. Интерференция же световых волн предполагает, прежде всего, определиться с тем, что такое свет.

Свет представляет собой физическое явление, имеющее двойственную корпускулярно-волновую природу. В зависимости от условий наблюдения свет в одних случаях проявляет себя как поток частиц (фотонов), в других - как электромагнитная волна, скорость распространения которой в вакууме составляет с ≈ 3·108м/с. В среде с показателем преломления n = эта скорость соответственно в n раз меньше (здесь ε и μ – диэлектрическая и магнитная относительные проницаемости среды).

Величина , где l - геометрический путь от источника до точки наблюдения (сложения волн), п – упомянутый выше абсолютный показатель преломления среды, в которой распространяется свет, называется оптической длиной пути.

Интерференция света - частный случай интерференции электромагнитных колебаний в видимой области спектра частот ν = c/λ = (4…8) ·1014 Гц, при которой происходит перераспределение светового потока, и образование максимумов и минимумов интенсивности. Визуально она наблюдается без оптических устройств или же с их помощью.

Вследствие ряда особенностей светового излучения, о которых будет сказано ниже, получение световой интерференционной картины затруднено. Физически создать два и более разнесенных в пространстве когерентных источников световых волн не представляется возможным, поэтому используются специальные способы разделения излучения от одного источника на два (или более) когерентных световых пучка. Для этой цели используются различные оптические приборы и устройства - линзы, призмы и др. При этом необходима реализация определённых пространственных и временных условий для пучка света, при котором его можно использовать для наблюдения интерференции.

Временн'ая когерентность определяется степенью монохроматичности источника, которая напрямую зависит от времени когерентности τког. Реальная световая волна имеет не равную нулю ширину спектра ∆ω относительно излучаемой частоты ω, при этом:

. (2)

Временнٰٰая когерентность определяет четкость или контрастность интерференционной картины, а также ограничивает возможность наблюдать интерференцию при увеличении оптической разности хода.

Свет излучается возбужденными атомами источника, например, атомами нагретой нити накаливания в лампочке. Длительность излучения возбужденного атома составляет единицы наносекунд, затем атом возвращается в нормальное состояние и излучение прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать световую волну, но уже с новой начальной фазой и т. д., так что излучение возбужденного атома - прерывистое в виде цугов с длительностью порядка 10-8 с.

Волновой цуг - прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов, тем не менее, на несколько порядков превышающих период колебаний (для света ~10-15 с).

Как известно, свет испускается отдельными порциями – фотонами (или квантами), так вот волновой цуг – это волновая модель фотона, используемая для объяснения волновых свойств света (интерференции, дифракции и т. д.). В ряде других процессов (например, фотоэффект, эффект Комптона) фотон ведёт себя как локализованная частица (корпускула) и используется модель корпускулы. Эта двойственность свойств (и моделей) характерна для всего микромира и называется корпускулярно – волновым дуализмом.

Макроскопический источник в общем случае состоит из большого числа атомов, спонтанно излучающих множество независимых цугов волн, начальные фазы которых не связаны между собой. Поэтому эти волны некогерентны. Когерентность может существовать только в пределах длительности цуга Тцуг, поэтому его средняя продолжи­тельность и является верхней границей времени когерентности в обычных условиях:

τког ≈ Тцуг < 10-8 с.

Если волна распространяется в од­нородной среде, то фаза колебаний в определенной точке пространства со­храняется только в течение времени когерентности τког.

Длина когерентности или цуга есть расстояние, на которое волна распространяется в вакуу­ме за время τког:

lког = c·τког. (3)

При прохождении этого расстояния волны утрачивают когерентность, и наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины коге­рентности. Чем ближе волна к монохроматичес­кой, тем меньше ширина ∆ω спектра частот и больше время когерентности согласно (2) и, следова­тельно, длина когерентности lког.

Теперь рассмотрим влияние размеров источника света на интерференционную картину.

Протяженный источник света, даже монохроматический, в общем случае не может являться когерентным, - его можно разбить на большое число точечных независимых излучателей. При этом интерферен­ционные картины от элементов протяженного источника оказываются смещенными друг относительно друга, и в результате их наложения общая интерфе­ренционная картина оказывается раз­мытой. Чем больше размеры источника света, тем меньше пространственная когерентность излучения этого источника.

Пространственная когерентность характеризует наличие взаимной когерентности двух (или более) вторичных световых пучков, взятых (например, с помощью малых отверстий или щелей) из различных точек первичного пучка, создаваемого источником света.

Радиус когерентности (или длина пространственной когерентности) – максимальное поперечное направлению распространения волны расстояние, при котором любые два пучка, выделенные из различ­ных точек внутри этого круга, ос­таются взаимно когерентными. Два пучка, полученных из точек, отстоящих друг от друга на расстоя­ние большее радиуса когерентности, не будут интерферировать.

Радиус когерентности , где λ – длина волны света, φ – угловой размер источника. Например, угловые размеры звёзд, наблюдаемых с Земли, весьма малы (доли угловой секунды), поэтому радиус когерентности излучения звезды весьма велик и это позволяет наблюдать интерференцию от участков волнового фронта, отстоящих на большие расстояния (десятки метров). И, наоборот, угловой размер Солнца, наблюдаемого с Земли относительно велик (~10-2 рад) поэтому

радиус когерентности солнечного излучения на поверхности Земли всего ~0,05 мм и чтобы наблюдать интерференцию от двух щелей в знаменитом опыте Т. Юнга (1802 г), ему пришлось сначала пропустить солнечный свет через первую узкую щель (получился вторичный источник малого размера) и только затем освещать две щели. (см. рис.2б)

Естественный (например, белый) свет есть совокупность огромного числа независимых цугов волн, имеющих случайные сдвиги фаз между собой, в диапазоне λc = 0,35…0,75 мкм. То есть такой свет существенно немонохроматичен (Δω/ω ≈ 1); для него в соответствии с (2) время когерентности должно составлять τког ≈ 10-14 с, при этом длина когерентности составляет ~ 3 мкм. Эти параметры обусловливают возможность наблюдения интерференции в естественном свете только при весьма малых разностях оптических путей (тонкие плёнки)

В результате сложения цугов волн от двух разнесённых источников естественного света, например, ламп накаливания, возникает результирующее колебание с хаотично изменяющейся во времени амплитудой. Глаз человека регистрирует некоторую среднюю интенсивность света, которая по правилу суммирования случайных величин равна сумме квадратов амплитуд или интенсивностей от каждой лампы.

Степень временной когерентности повышают с помощью узкополосных фильтров или источников света с линейчатым спектром, пространственную когерентность повышают, используя источники малых размеров и специальные оптические схемы.

В настоящее время для получения наиболее близких к идеалу когерентных волн используется лазер. Он создает излучение, обладающее высокой монохроматичностью (∆ω/ω ≈ 10-12) и соответственно высокой временной когерентностью τког ≈ 10-2 с за счет вынужденного излучения атомов активного вещества лазера в одной фазе.

Длина «лазерного цуга» может составлять сотни и даже тысячи километров.

Радиус когерентности может составлять несколько метров, если лазерный луч оптически расширить до этих размеров. Эти свойства лазерного излучения позволили осуществить, используя явление интерференции, запись и воспроизведение объёмных изображений – голографию.

Как отмечалось, выше когерентные волны могут быть получены от одного естественного источника света, при этом единое излучение от него разделяется на два (или более) излучения, которые, пройдя различные оптические пути n1l1 и n2l2, накладываются, образуя интерференционную картину. Причина когерентности этих частей излучения состоит в едином «первородном» источнике. Применяются два метода разделения первичной волны: деление фронта волны и деление интенсивности.

Первый метод (деление фронта) основан на том, что когерентные волны получаются от различных участков фронта волны одного источника света. Метод реализуется с помощью щелей Юнга, бипризмы Френеля (рис.2а), зеркал Френеля, билинзы Бийе и др. Бипризма состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников S1 и S2, являющихся когерентными.

а)

б)

Рис.2 а) - Схема лучей в бипризме Френеля; б) для двух равноудаленных щелей

В опыте со щелями свет из точечного источника S направляется на две (или несколько) равноудаленные узкие щели (рис.2б). В них «образуются» вторичные когерентные источники, которые дают на экране интерференционную картину. Конечно, во всех этих случаях радиус когерентности должен «покрывать» используемый оптический прибор, иначе используемые участки фронта волны не будут когерентными и интерференционной картины не получится.

Второй метод (деление интенсивности) использует разделение первичной волны на вторичные путём частичного отражения и преломления. Такое отражение происходит на поверхностях прозрачных диэлектриков (напр. стекло) или на полупрозрачных зеркалах. Отражённая и прошедшая части световой волны проходят затем разные оптические пути и вновь встретившись, образуют интерференционную картину. Так происходит интерференция в тонких плёнках, при образовании колец Ньютона и т. д.

Плоские когерентные волны

Пусть две монохроматические волны (с длиной в вакууме λ0) после прохождения через среды с различными показателями преломления n1 и n2 попадают в некоторую точку Р. Разность фаз колебаний, возбуждаемых в точке этими волнами, возникает в результате прохождения ими различных оптических путей: первая волна проходит геометрический путь l1 за время τ1 со скоростью v1, а вторая проходит геометрический путь l2 за время τ2, со скоростью v2. Колебание в точке Р, вызванное первой волной , колебание, вызванное второй волной, есть: , где ω - циклическая или круговая частота колебаний. Разность фаз колебаний:

, (4)

где- длина волны в вакууме, с - скорость света в вакууме, T = 2π/ω - период колебаний. При сложении двух гармонических колебаний, имеющих одинаковое направление и частоту, получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой А, определяемой по теореме косинусов:

, (5)

где вычисляется по (4). Из (5) следует, что амплитуда результирующего колебания в любой точке пространства зависит от разности оптических путей лучей.

Амплитуда А максимальна, т. е , при этом , что соблюдается, когда оптическая разность хода ∆ кратна четному числу полуволн:

, (6)

где k = 0, ± 1, ± 2,... Значение амплитуды А минимально, когда , в этом случае , что соблюдается, когда оптическая разность хода ∆ кратна нечетному числу полуволн:

, (7)

где k = 0, ± 1, ± 2,... Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то (6) является условием максимума, а (7) - условием минимума освещенности.

Интерференция в тонких пленках

Наблюдается при освещении пленок протяженным источником, например, на мыльных пленках, пленках масла, плавающих на поверхности воды и т. д. в естественных условиях, когда источником света служит участок неба, т. е. рассеянный дневной свет. При этом когерентные волны образуются путем разделения световой волны вследствие отражения от верхней и нижней поверхностей пленки (рис.3). Получаемая интерференционная картина представляет собой либо полосы равного наклона при условии одинаковой толщины пленки на всех ее участках (например, плоскопараллельная пластинка), либо полосы равной толщины при различной толщине пленки на всей ее длине, например, для клиновидной плёнки.

На рис.3 изображены два интерферирующих луча 1 и 2, идущие от удаленного источника в воздухе или вакууме, падающие под углом i на пленку с показателем преломления среды п. На поверхности пленки в точке А луч разделяется на два - один отражается от верхней поверхности пленки, другой преломляется под углом r. Преломленный луч, дойдя до точки D, частично преломится в воздух (n0 = 1), а частично отразится и пойдет к точке С. Здесь луч опять частично отразится (его из-за малой интенсивности не рассматриваем), и частично преломится, выходя в воздух под тем же углом i. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны, если их оптическая разность хода мала по сравнению с длиной когерентности падающей волны. Если на пути лучей поставить собирающую линзу, то они сойдутся в ее фокальной плоскости. В результате возникнет интерференционная картина, вид которой определится оптической разностью хода. Разность хода между двумя интерферирующими лучами равна: , где член ± λ0/2 обусловлен изменением фазы на π=1800 при отражении света от оптически более плотной среды (оптическая плотность определяется абсолютным показателем преломления среды). Такое изменение фазы эквивалентно оптическому пути в λ0/2, поэтому такой путь надо прибавить или отнять (знак выбирается так, чтобы окончательная формула была более простой) от величины оптической разности, вычисленной без учёта изменения фазы при отражении. В оптике принято говорить, что при отражении от оптически более плотной среды происходит «потеря полуволны». При отражении от оптически менее плотной среды «потеря полуволны» не происходит.

Рис.3 - Схема интерференции в тонкой пленке

Учитывая геометрию рис.3 и закон преломления sin(i) = n·sin(r), получим . С потерей полуволны на пленке в точке А (п > 1), оптическая разность хода будет:

. (8)

Интерференционный максимум будет наблюдаться в случае, если

, k = 0,1,2...., (9)

и минимум, если:

, k = 0,1,2

Оптическая разность хода лучей, отразившихся от верхней и нижней поверхности пленки, зависит от ее толщины d, угла падения, и коэффициентов преломления сред.

Полосы равного наклона - светлые и темные интерференционные полосы, полученные, когда на плоскопараллельную тонкую пленку (толщина d = const) падает под разными углами расходящийся (или сходящийся) пучок света. При этом пленка освещается лучами всевозможных направлений, и каждая интерференционная полоса соответствует лучам, имею - щим одинаковый наклон к пленке.

Рис.4 - Схема образования полос равного наклона

Интерференционная картина наблюдается на экране, установленном в фокальной плоскости собирающей линзы (рис.4), или в глазу человека. Каждой интерференционной полосе соответствует определенное значение угла падения.

полос равной т Рис.6 Рис.6. Об разование Рис.6. Об разование. Об разование олщины на клине Рис.6. Об разование полос равной толщины на клине

Рис.5. Образование полос равной толщины на клине

Полосы равной толщины - светлые и темные интерференционные полосы, наблюдаемые на поверхности пластинки переменной толщины, на которую падает параллельный пучок лучей (рис.5). Каждая полоса соответствует местам пластинки с одинаковой толщиной, поэтому интерференционная картина и называется полосами равной толщины. Пути лучей в тонкой пленке малы по сравнению с расстоянием от пленки до источника, поэтому для подсчета разности их хода можно рассматривать источник, находящийся в бесконечности, а любые два интерферирующих луча считать параллельными.

- Каждая интерференционная полоса (равных толщины или наклона) соответствует определенной оптической разности хода интерферирующих лучей. Для двух соседних темных (или светлых) полос эти разности различаются на длину волны λ0.

Явление интерференции находит широкое применение на практике, в частности, для улучшения качества оптических приборов (просветление оптики) на поверхности линз наносится тонкая полимерная плёнка. Толщина её подбирается такой, чтобы в отражённом свете для середины видимого спектра (зелёный, λ0 = 0,55 мкм) был минимум. В сложных оптических системах много линз и «просветление оптики» позволяет значительно увеличить проходящий (рабочий) световой поток. Такие же плёнки наносятся на передние стёкла электропоездов, что значительно улучшает их прозрачность, что важно в ночных условиях. Характерный признак просветлённого стекла – его сиреневый цвет в отражённом свете. Это связано с тем, что условие минимума при отражении точно выполнено только для зелёного цвета, а для краёв видимого спектра красного и фиолетового отражение более существенно. Смесь этих цветов и даёт сиреневый оттенок. Также интерференция применяется для создания узкополосных светофильтров и в различных измерительных приборах, например, интерферометрах. Интерферометры служат для сверхточного измерения длины (например, эталона метра), показателя преломления прозрачных тел. С их помощью можно производить косвенные измерения различных физических величин - вибрации, скорости, концентрации раствора и пр.

В заключение теоретического введения остановимся на одном из важнейших и перспективных применении интерференции света – голографии.

Голография (от греч. hólos-весь, полный и grapho-рисую), метод получения объёмного изображения объекта, основанный на интерференции волн. Идея голографии была впервые высказана Д.Габором (Великобритания, 1948), однако техническая реализация метода тогда оказалась очень сложной. Только с появлением лазеров открылись многочисленные и разнообразные возможности практического использования голографии в радиоэлектронике, оптике, физике и различных областях техники.

Принцип получения следующий: фотографируемый объект освещается широким лазерным световым пучком (он когерентен по всему сечению), рассеянное (отражённое) объектом излучение попадает на фотопластинку (сигнальная волна). Одновременно на фотопластинку направляется волна от того же источника света (опорная волна). На фотопластинке образуется и фиксируется интерференционная картина – сложный узор из светлых и тёмных полос. Невооружённым глазом увидеть структуру голограммы невозможно, так как размеры полос порядка длины волны света (меньше микрометра) и только в микроскоп эти полосы становятся видны. Чтобы получить изображение, голограмму просвечивают тем же лазерным пучком (опорным), который, проходя сквозь голограмму, образует три световых пучка, один из которых полностью соответствует сигнальной волне, т. е. даёт объёмное изображение объекта.

Возможности голографии существенно расширяются, если голограмму записывать на толстослойной эмульсии, что было впервые предложено (СССР, 1962). В этом случае интерференционная картина получается трёхмерной, благодаря чему голограмма приобретает новые свойства. В частности, такая голограмма позволяет наблюдать изображение объекта при освещении её немонохроматическим (белым) светом.

Рис.6 Получение голограммы Рис.7 Получение изображения

точечного объекта точечного объекта

В настоящее время методы голографии нашли широкое применение в области защиты прав производителей. Это так называемые голографические товарные знаки. Простейший «голографический» знак – это штампованная микрорельефная поверхность, например на денежных купюрах. Благодаря специальному периодическому расположению элементов микрорельефа, отражённый свет меняет свой цвет в зависимости от угла наблюдения, может изменяться и само изображение.

Более сложные голографические знаки имеют объёмную структуру (по Денисюку) В отличие от классической голографии, где изображение записывается на фотоэмульсию (фотографируется) при производстве голографических знаков оптическая объёмная структура специально создаётся (с помощью компьютерного моделирования) для получения заданного изображения. Подделать качественный голографический знак практически невозможно.

Голограммы музейных редкостей уже сделались довольно обычной вещью: они не только экспонируются на выставках, но и продаются в сувенирных ларьках. Начинают появляться, хотя и очень редко, объемные книжные иллюстрации. А голографическое кино и телевидение, несмотря на многолетние исследования и экспериментальные съемки, возникнет, видимо, нескоро.

Контрольные вопросы

5.  Характеристики волновых гармонических колебаний. Уравнение волны.

6.  Что такое монохроматическая волна, когерентные волны?

7.  Пространственная и временная когерентность. Методы получения когерентных источников волн. Особенности лазерного излучения.

8.  Интерференция волн, условия ее наблюдения, примеры

9.  Что такое оптическая разность хода? Условия максимума и минимума света при интерфе­ренции.

10.  Что представляют собой полосы равной толщины и равного наклона?

11.  Как образуются кольца Ньютона?

Как изменятся кольца, если линзу освещать источником не красного (как в работе), а зеленого света (λ0 ≈ 0,5 мкм). Какая картина будет наблюдаться, если убрать светофильтр? Зачем он используется в работе?

12.  Что такое голография? Принцип получения объёмных изображений. Применение голографии.

Лабораторная работа № 6

ИЗМЕРЕНИЕ РАДИОАКТИВНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ

Цель работы: изучение основных понятий ядерной физики, явления радиоактивности и методов регистрации ядерных излучений. Элементы дозиметрии.

Теоретическое введение.

Явление радиоактивности было открыто в 1896 году А. Беккерелем. Оно заключается в самопроизвольном распаде атомных ядер с испусканием различных элементарных частиц. Состав этих частиц (радиоактивных излучений) был позднее установлен в работах Э. Резерфорда и М. Кюри. Было показано, что радиоактивные излучения делятся на три вида: α, β, γ. Альфа (α) распад – это испускание ядер гелия , при этом исходное ядро теряет два протона и два нейтрона и превращается в ядро элемента, находящегося на две позиции левее в таблице Менделеева.

(1)

Получившийся элемент Th - торий (точнее его изотоп с массовым числом 234) тоже радиоактивен и распадается. Таким образом образуются цепочки распадов ( р/а семейства).

В природе существует всего три таких семейства, родоначальниками которых служат ; Конечными продуктами всех цепочек служат стабильные изотопы свинца. За время существования Земли в различных породах установилось равновесие между компонентами цепочек и поэтому в любой породе, растениях, в живых организмах существует определенная концентрация р/а элементов, создающих так называемую естественную радиоактивность. По относительному содержанию свинца и урана в горной породе можно оценить время её существования. Такой (урановый) метод даёт наибольшее время для древнейших горных пород 4,5-5 млрд. лет, что совпадает со временем существования Земли, полученными другими методами.

Напомним значение символов, применяемых для обозначения атомных ядер и элементарных частиц, - в этом выражении:

Х - символ химического элемента в таблице Менделеева или символ элементарной частицы; U - уран, Не – гелий, е – электрон, n - нейтрон и т. п.

Z – порядковый номер элемента в таблице, а также число протонов в ядре и, следовательно, электрический заряд ядра в единицах элементарного заряда (Кл):

Это же число показывает число электронов, движущихся вокруг ядра в нейтральном атоме элемента.

А - массовое число, показывает число нуклонов в ядре.

( т. е. протонов и нейтронов вместе, их общее название - нуклон ). Это же число даёт приближённо массу ядра (и атома) в атомных единицах массы (1 а. е.м.= кг).

Количество нейтронов в ядре равно разности (А - Z).

При записи ядерных превращений (реакций) суммы верхних и нижних индексов до и после реакции должны быть одинаковы, что отражает законы сохранения числа нуклонов и электрического заряда соответственно.

Изотопы – это химические элементы с одинаковым числом протонов, но с разным числом нейтронов. Они располагаются в одной клетке таблицы Менделеева и обладают одинаковыми химическими свойствами, отличаясь несколько по массе. Это различие по массе используется для разделения изотопов в промышленных масштабах путём диффузии или центрифугирования. В небольших количествах, например, для определения концентрации некоторых веществ используют приборы, называемые масспектрометрами, в которых для разделения изотопов используется различие траекторий движения ионизированных атомов в электрическом и магнитном полях.

Бета – распад – это испускание электронов β- = е (или позитронов β+) Происходит он по схеме:

(2)

Элемент при β- - распаде смещается на одну позицию вправо в таблице Менделеева (или влево, если испускается позитрон, β+ - распад).

Присутствующая в схеме (2) частица - антинейтрино, обладающая нулевой массой покоя, нулевым зарядом, но отличной от нуля энергией и моментом импульса была обоснована теоретически в 1934 году Э. Ферми, исходя из законов сохранения энергии и момента импульса (спина).

Особенностью этой частицы является очень слабое взаимодействие её с веществом, она свободно проходит сквозь Землю и Солнце, поэтому зарегистрировать её экспериментально удалось только в 1953 году вблизи от ядерного реактора, где поток нейтрино огромен. В настоящее время учёные научились надёжно регистрировать нейтрино на очень сложных и громоздких установках, располагаемых глубоко под землёй. Появилась даже целая наука: нейтринная астрономия, которая должна позволить учёным проникнуть в новые тайны Вселенной.

Третий вид излучения, γ – излучение – это коротковолновое электромагнитное излучение ( γ – кванты или γ – фотоны), оно обычно сопровождает α и β распады, т. к. ядра после распада находятся в возбужденном состоянии. Переходя в основное состояние, ядро испускает γ – квант.

Позднее были открыты другие виды радиоактивности: нейтронная, протонная, спонтанное (самопроизвольное) деление и пр., но всё же наиболее широко встречаются и используются именно «классические» три вида: α, β и γ.

В настоящее время, облучая нейтронами в ядерных реакторах различные вещества, получают искусственные радиоактивные изотопы (радионуклиды), которые применяются в науке, медицине, промышленности. Большое количество радионуклидов образуется при реакции деления в ядерных реакторах и ядерных взрывах, что ставит серьезную проблему безопасности использования ядерных установок.

Рассмотрим теперь основные характеристики радионуклидов:

Постоянная распада - λ (с-1).

Эта величина характеризует скорость распада р/а ядер. Она равна вероятности распада данного ядра в единицу времени. Обратная величина:

τ = 1/λ (с)

дает среднее время жизни ядра. Так как в любом заметном количестве изотопа ядер очень много (N), то произведение λ· N дает среднее число ядер, распадающихся в единицу времени. Таким образом:

(3)

Это закон р/а распада в дифференциальной форме. Знак минус означает, что число ядер убывает. Разделив переменные, и взяв интеграл, получим закон в интегральной форме.

N = N0 ·е-λt (4)

где N0 - начальное число ядер,

N - число ядер через время t.

Величина скорости распада называется активностью р/а источника и имеет свои единицы измерения:

(5)

В СИ единицей активности служит беккерель (Бк = с-1) , т. е. активность такого источника, в котором происходит 1 распад в секунду.

Ранее использовалась внесистемная единица Кюри (Ки). (1 Ки =3,7·1010 Бк)

Довольно часто радионуклиды характеризуют периодом полураспада (Т1/2), т. е. временем, в течение которого распадается половина имевшихся ядер. Из (4), положив N = N/2 и t = Т1/2, легко получить:

(6)

Периоды полураспада у радионуклидов лежат в широких пределах от долей секунды до миллиардов лет.

Если известна масса радионуклида (m) и постоянная распада (λ), то активность можно подсчитать по формуле:

(7)

Здесь: М – атомная масса радионуклида NA= 6,023·1023 моль-1 – число Авогадро.

Для характеристики концентрации радионуклидов в веществе вводят понятие удельной активности, т. е. активности на единицу массы вещества (Бк/кг или Ки/кг). Например, удельная активность строительных материалов для жилых помещений не должна превышать 370 Бк/кг, породы, содержащих уран, имеют удельную активность ~ 105 Бк/кг, чистый изотоп радия - 103 Ки/кг, отработавшее ядерное топливо до 103 Ки/кг.

Радиоактивные излучения, взаимодействуя с веществом, вызывают ионизацию его атомов и молекул (поэтому их также называют ионизирующими излучениями) и, если эта ионизация происходит в клетках живого организма, то образовавшиеся ионы искажают протекание биохимических реакций и могут привести к гибели клетки. Возможно также непосредственное повреждение генетической структуры клетки (радиационная мутация), после чего может образоваться раковая клетка или, если облучению подверглись половые клетки, то искажения произойдут в потомстве. Первый механизм (лучевое поражение) важен при больших дозах облучения (аварии, γ- терапия), второй (мутагенный) при малых дозах, но т. к. этим малым дозам могут подвергаться большие группы населения (повышенный фон местности, массовые рентгеновские обследования населения и др.), то именно этот эффект представляет наибольшую угрозу для человечества в целом.

Рассмотрим основные понятия дозиметрии – науки об измерении и расчетах тех характеристик ионизирующих излучений, от которых зависят радиационные эффекты в облучаемых объектах живой и неживой природы. [4]

Поглощённая доза (D) – энергия ионизирующего излучения, поглощенная единицей массы вещества Единица поглощенной дозы в СИ является грей (Гр), соответствующий поглощению 1 джоуля энергии на 1 кг вещества: 1Гр = 1 Дж/кг.

Ранее использовалась единицы «рад» и «рентген»:

1 рад (≈ 1рентгену) = 0,01 Гр;

Скорость накопления дозы характеризуется мощностью дозы - Р

; Р - это доза за одну секунду или другую единицу времени, поэтому она измеряется в Гр/с; Гр/час; рад/с и т. д.).

Однако сама по себе доза не полностью характеризует лучевое воздействие на организм, т. к. повреждающий эффект зависит и от вида частиц (R) и от облучаемого органа или ткани (Т). Например, α – частицы вызывают более плотную ионизацию, чем электроны. Нейтроны вступают в ядерные реакции, и возникает вторичное излучение. Из органов и тканей организма наиболее чувствительны к облучению половые клетки, наименее – кожа и поверхностные клетки костей. Поэтому для характеристики радиационного воздействия на орган или ткань вводят эквивалентную дозу (НТ,R). Она равна поглощенной дозе в данном органе или ткани (DТ, R), умноженной на взвешивающий коэффициент излучения WR

НТ, R = DТ, R · WR (8)

Взвешивающие коэффициенты для разных излучений имеется в таблицах. [4]

Для γ – излучения и электронов WR = 1, для нейтронов 5 - 20, для α – частиц 20 и т. д. Поэтому, чтобы определить эквивалентную дозу излучения надо знать его состав.

Единица эквивалентной дозы в СИ – зиверт (Зв)

Ранее использовалась единица «бэр»: 1бэр = 0,01 Зв

Эффективная доза (Е) характеризует воздействие излучения на организм в целом.Она равна сумме эквивалентных доз для главных органов и тканей с учётом взвешивающих коэффициентов для этих органов и тканей WT (есть таблицы).

Е = ∑ НТ, R∙WT (9)

Теперь несколько цифр, которые полезно помнить: радиационный фон на территории России: (0,04-0,2) мкЗв/час ≈ 0,4-2 мЗв/год: (радиоактивность Земли, атмосферы, строительных материалов, космическое излучение).

Следует отметить, что набольший вклад (до 50%) в эффективную дозу естественного облучения даёт радиоактивный газ радон , который, являясь продуктом распада урана, постоянно выделяется из земли и «любит» накапливаться в непроветриваемых помещениях, особенно в подвалах и на первых этажах зданий.

Допустимая доза для персонала, работающего с излучением 20 мЗв/год;

Разовая доза общего облучения до 0,5 Зв не вызывает серьезных последствий.

Разовая доза общего облучения 5-6 Зв вызывает смерть приблизительно в 50% случаев.

Для защиты от излучений используют различные методы (защита временем, расстоянием, веществом, медикаментами, комбинированная защита).

Рассмотрим защиту веществом, основанную на том, что все р/а излучения в той или иной мере поглощаются в веществе. Заряженные частицы (электроны, протоны, α – частицы и др.) теряют энергию на ионизацию и останавливаются, нейтральные – ( γ – кванты, нейтроны) вступают во взаимодействие с электронами или ядрами вещества и также в конце концов останавливаются. Например, γ – квант может полностью поглотиться электроном внутри вещества (фотоэффект), преобразоваться в пару электрон + позитрон (для высоких энергий), рассеяться на электроне, передав ему только часть своей энергии (комптон – эффект).

Таким образом, при распространении γ – квантов (и других излучений) в веществе, находящемся в естественном, невозбужденном состоянии, образуются вторичные частицы, но в целом поток ослабляется.

Приближенно закон ослабления излучений можно записать так (закон Бугера):

J = J0· е-μd (10)

где J0 – интенсивность пучка до защиты, (Вт/м2)

J – интенсивность пучка прошедшего защиту толщиной «d»,

μ – линейный коэффициент поглощения (м-1).

В таблицах часто используют массовый коэффициент поглощения (он меньше отличается для разных веществ)

(м2/кг)

где ρ – плотность вещества (кг/м3).

Для качественной оценки защитных свойств материала широко используют понятие

слоя половинного ослабления d1/2, представляющего собой слой вещества, который ослабляет излучение в 2 раза. Из (10), положив J = J0/2, можно получить:

(11)

Зная интенсивность излучения и коэффициент поглощения, можно найти мощность поглощенной дозы

(12)

Бывает, что известна плотность потока частиц излучения JN (частиц/м2·с),

Тогда для вычисления мощности дозы надо знать среднее значение энергии данных частиц . Эти данные имеются в таблицах. В этом случае:

(Гр/с) (13)

Контрольные вопросы

1.  Что называется явлением радиоактивности? Какие виды ионизирующих излучений при этом встречаются?

2.  Радиоактивные излучения в природе, науке и технике (привести примеры).

3.  Что означают буквы в символе ядра ? Какие законы сохранения выполняются при ядерных превращениях? (написать пример ядерной реакции)

4.  Характеристики радионуклидов: постоянная распада, период полураспада, активность, удельная активность (определение и единицы).

5.  Закон радиоактивного распада (дифференциальная и интегральная форма).

6.  Биологическое действие радиоактивных излучений.

7.  Дозиметрические характеристики ионизирующих излучений: доза поглощённая, эквивалентная, эффективная (определение; единицы). Мощность дозы. Некоторые числовые значения (естественный фон и др.)

8. Поглощение излучений веществом. Закон Бугера. Линейный и массовый коэффициенты поглощения. Слой половинного ослабления.

9. Принцип действия счетчика Гейгера. Электрическая схема установки, назначение элементов.

Лабораторная работа №7

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы: проверить экспериментально выполнение основного закона динамики вращательного движения.

Краткая теория

Кинетические и динамические параметры
вращательного движения

Вращательным движением называется движение, при котором векторы линейных скоростей всех точек тела касательны к окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения.

Вращательное движение характеризуется следующими кинематическими параметрами: вектор угла поворота , вектор угловой скорости и вектор углового ускорения .

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, и его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота тела относительно некоторого начального положения. Угол поворота – величина векторная, так как существенно, в какой плоскости и в какую сторону происходит поворот. Направление вектора угла поворота и траектории материальных точек связаны правилом буравчика: если поворачивать рукоятку буравчика по направлению движения материальных точек тела, то буравчик будет вкручиваться по направлению . Если ось вращения неподвижна, вектор угла поворота параллелен оси вращения. Единицей измерения угла поворота в системе СИ является радиан (рад.).

Первая производная вектора угла поворота по времени называется мгновенной угловой скоростью (или просто угловой скоростью)

(рад/с

Она характеризует скорость изменения вектора угла поворота. Из этого определения следует, что вектор угловой скорости направлен так же, как и вектор , то есть по оси вращения. Направление также определяется по правилу буравчика. Если угловая скорость переменна, то для оценки скорости ее изменения вводится вектор углового ускорения , определяемый как первая производная вектора угловой скорости по времени или вторая производная вектора угла поворота по времени

(рад/с2) (2)

При ускоренном вращении вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором , при замедленном вращении – противоположен вектору .

Соотношения между линейными (для точки) и угловыми кинематическими параметрами определяются формулами:

; (3)

; , (4)

где v – линейная скорость точки; R – расстояние точки от оси вращения (радиус вращения); – касательная составляющая ускорения точки (тангенциальное ускорение); – нормальная составляющая ускорения точки (центростремительное ускорение).

Понятия равномерного и равнопеременного движений применимы также и к вращательному движению.

Уравнения равномерного и равнопеременного движений выражаются соответственно формулами:

, (5)

. (6)

Если обозначить число оборотов в единицу времени – n (частота вращения), а время одного оборота (период обращения) – Т, то при равномерном вращательном движении справедлива формула

. (7)

Динамическими параметрами вращательного движения являются: вектор момента силы относительно точки (или оси), момент инерции тела и вектор момента импульса .

Вектор момента силы относительно точки О определяется формулой

, (8)

где – вектор, соединяющий точку О с точкой А приложения силы; – сила, действующая на тело в этой точке; – векторное произведение двух векторов.

Модулем вектора момента силы или просто моментом силы относительно точки О называется величина М, численно равная произведению модуля силы на длину перпендикуляра (на плечо силы), опущенного на линию действия силы из точки О, или момент силы равен произведению силы на плечо:

. (9)

Направление вектора определяется по правилу буравчика (рис. 1).

Рис. 1

Для тел с закрепленной осью вращения сумма всех внешних сил (с учетом реакции опор) сводится к силе, перпендикулярной оси вращения. Для таких тел вводится понятие момента силы относительно оси вращения. Моментом силы относительно оси вращения называется величина, численно равная произведению проекции силы на плоскость, проходящую через точку А приложения силы перпендикулярно оси вращения, на плечо этой проекции (рис. 2), то есть

(10)

Рис. 2

Рассмотрим следующий динамический параметр вращательного движения: момент инерции (I). Момент инерции является мерой инертности при вращательном движении (аналогично массе m при поступательном движении). Количественно он определяется как сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от оси вращения.

, (). (11)

Если тело состоит из отдельных небольших частей (материальных точек), то вычисление его момента инерции по формуле (11) производится суммированием, если тело сплошное, то производится интегрирование по объёму.

. (12)

Как следует из формул (11) и (12), момент инерции зависит не столько от массы тела, сколько от расстояния отдельных частей тела до оси вращения, поэтому, меняя расположение масс относительно оси (например, сдвигая грузики на маятнике Обербека), можно значительно изменить момент инерции, не меняя общей массы. По этой же причине для тела неизменной формы момент инерции зависит от направления оси и её расстояния от центра масс. Если обозначить момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс (центральный момент) Ic, то для любой другой параллельной оси, отстоящей от центральной на расстояние d, момент инерции может быть определён по теореме Штейнера:

I = Ic + md

Центральные моменты инерции геометрически простых тел (шар, цилиндр, стержень и т. п.) имеются в таблицах.

Наконец, рассмотрим последний (из трёх названных выше) динамических параметров: – вектор момента импульса. Этот вектор определяется формулой

(14)

где I – момент инерции, – вектор угловой скорости.

Закон сохранения момента импульса.

Полный момент импульса изолированной (замкнутой) системы не изменяется с течением времени. Этот закон, вместе с законами сохранения импульса и энергии, составляют группу самых фундаментальных законов природы, связанных со свойствами пространства-времени, они выполняются во всех изученных явлениях от микрочастиц до астрофизических объектов. Сохраняемость момента импульса приводит к тому, что для свободного от внешних сил тела остаётся неизменной не только величина угловой скорости, но и направление оси вращения в пространстве. Это используется в приборах, называемых гироскопами, где быстро вращающееся тело (обычно якорь специального электродвигателя) задаёт направление в пространстве, относительно которого производится ориентация объекта (ракеты, спутника, ствола движущегося орудия и т. д.). Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать также на следующем примере: фигурист, вращающийся на коньках, для увеличения угловой скорости прижимает руки к телу или поднимает их над головой, уменьшая тем самым момент инерции относительно оси вращения. Так как произведение (14) должно остаться неизменным, то уменьшение I приводит к увеличению .

Очень важную роль момент импульса играет в атомной физике.

Оказывается микрочастицы обладают собственным моментом импульса – спином (от английского spin- крутиться). Спиновый момент определяет поведение микрочастиц в атомных системах, сохраняется в ядерных реакциях и т. д.

Рассмотрим теперь основной закон динамики вращательного движения.

В математической формулировке он выглядит следующим образом:

(15)

По своей сути он аналогичен 2-му закону Ньютона для поступательного движения (), выраженному через параметры вращательного движения. Именно этот закон экспериментально проверяется в данной работе.

Описание прибора и метода измерений

Экспериментально момент инерции тела может быть определен на установке, получившей название маятника Обербека, схема которой представлена на рис. 3. Маятник Обербека состоит из четырех стержней, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу.

На той же втулке насажен шкив, радиус которого r. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре (по одному на каждом стержне) груза (цилиндра) одинаковой массы.

Вся эта система может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси под действием грузов, прикрепленных к концу нити, намотанной на шкив.

Под действием натяжения Т нити маятника он будет вращаться равноускоренно с угловым ускорением ε, а гиря – опускаться с линейным ускорением а, причем движение гири будет

Рис. 3

равноускоренным, поэтому ускорение а может быть найдено по времени t опускания гири с высоты h из уравнения

h = , откуда а = . (16)

Натяжение Т нити можно определить, рассматривая силы, действующие на гирю при движении. На гирю действуют две силы: сила тяжести, равная mg, и натяжение нити Т. Силы действуют вдоль одной прямой и направлены в противоположные стороны. Разность этих сил создает ускорение гири, то есть

Mg – T = ma, (17)

Откуда

T = m (g – a

Вращающий момент этой силы

М = = . (19)

Подставляя в формулу (18) величину а из уравнения (16), получим:

М = (20)

Тогда момент инерции I будет равен:

I = . (21)

Это уравнение получено без учета момента силы трения в оси маятника. Чтобы исключить это влияние, гирьки берутся достаточно тяжёлыми, а на оси устанавливается шариковый подшипник.

Контрольные вопросы

1.  Дайте определение вращательного движения.

2.  Дайте определение кинематических параметров вращательного движения.

3.  Напишите соотношения между линейными и угловыми кинематическими параметрами.

4.  Дайте определение момента силы относительно точки и оси вращения.

5.  Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения.

6.  Что такое момент инерции тела и как он определяется?

7.  Сформулируйте теорему Штейнера.

8.  Сформулируйте закон сохранения момента импульса и приведите примеры его проявления.

Лабораторная работа № 8

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: изучить затухающие колебания, определить коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

Оборудование: физический маятник, секундомер.

Введение

Если маятник вывести из положения равновесия и отпустить, то он будет совершать свободные колебания под действием возвращающей силы. При малых колебаниях возвращающую силу можно считать пропорциональной смещению маятника . Здесь – коэффициент упругости.

Собственные колебания являются затухающими, т. е. их амплитуда со временем уменьшается. Это обусловлено действием сил сопротивления движению. Примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости тела: . Так бывает при движении тел с малой скоростью в жидкости или газе.

Тогда уравнение движения маятника, полученное из второго закона Ньютона, будет иметь вид

, (1)

или, обозначив и , получим:

. (2)

Решением этого дифференциального уравнения является функция

. (3)

Это уравнение затухающих колебаний. Здесь – коэффициент затухания, – циклическая частота затухающих колебаний, которая при малом затухании близка к частоте незатухающих колебаний.

Выражение перед функцией синуса имеет смысл амплитуды затухающих колебаний:

. (4)

Со временем амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 1).

Для характеристики колебательной системы, у которой происходят затухающие колебания, используют несколько параметров. Во-первых, коэффициент затухания , который характеризует уменьшение амплитуды колебаний со временем. За время , называемое временем релаксации, амплитуда, как видно из (4), уменьшается в = 2,71828 раза.

Другим параметром затухания является логарифмический декремент затухания, который, по определению, равен натуральному логарифму отношения амплитуды некоторого колебания к амплитуде последующего:

. (5)

Если подставить в это отношение амплитуды двух следующих друг за другом колебаний (4), то получим

, (6)

где – период колебаний.

Уравнение для амплитуды (4) можно переписать как функцию числа колебаний при :

, (7)

так как – это число колебаний. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание в зависимости от числа совершенных колебаний. За число колебаний амплитуда уменьшается в = 2,71828 раза.

Описание метода

Логарифмический декремент затухания можно экспериментально определить по уравнению (7). Если его прологарифмировать, то оно сводится к линейному:

(8)

с угловым коэффициентом, равным логарифмическому декременту затухания (рис. 2):

. (9)*

Зная логарифмический декремент затухания и, измерив период колебаний , можно определить величину коэффициента затухания по формуле (6).

Контрольные вопросы

1.  Какие колебания называются затухающими?

2.  Каким уравнением описываются затухающие колебания?

3.  Какую величину называют периодом затухающих колебаний?

4.  Что такое логарифмический декремент затухания?

5.  Что такое добротность колебательной системы?

6.  Как коэффициент затухания связан с вязкостью среды в которой происходят колебания?

Лабораторная работа №9

Измерение напряжения и токов

Цель работы - ознакомление с принципом действия и устройством приборов для измерения напряжения и тока, исследование их основных метрологических характеристик и приобретение практических навыков работы с измерительными приборами.

Общие сведения.

Основные технические характеристики приборов для измерения напряжения и тока: диапазон измерения напряжения и тока, погрешность измерения, диапазон рабочих частот, входное сопротивление, время одного измерения или число измерений в единицу времени, чувствительность или цена деления.

Диапазон измерений представляет собой область значений напряжения или тока, измеряемых прибором с нормированной погрешностью.

Для многопредельных приборов диапазон измерений указывают на каждом пределе с различной нормированной погрешностью.

Переключение пределов измерений производится вручную или автоматически. Способность приборов работать при сигналах, превышающих предел измерения, называют их перегрузочной способностью. Перегрузочная способность современник цифровых вольтметров достигает 300%.

Различают полный и рабочий диапазоны измерений. Полный диапазон определяют по формуле