Классические и квантово-механические аксиомы

в формализме высших производных[1]

Тимур Камалов[2]

Модель механики Ньютона, по существу, это модель точечного тела в инерциальной системе отсчета. Как описать протяженные тела в неинерциальной (вибрирующей) системе отсчета со случайными начальными условиями? Один из наиболее общих способов описания (известный как формализм высших производных) состоит в учете бесконечного числа производных по времени от координат, как аргументов функции Лагранжа. Такой формализм, описывающий физические объекты в бесконечномерном пространстве, не противоречит квантовой механике и бесконечномерному пространству Гильберта.

1. Введение

Классическая механика Ньютона по существу представляет собой самый простой способ описания механической системы с помощью дифференциальных уравнений второго порядка, когда производными координат по времени более высоких порядков можно пренебречь. Расширенная модель механики Ньютона с более высокими производными по времени от координат основана на обобщении законов Ньютона на произвольные системы отсчета (как инерциальные, так и неинерциальные) с динамикой описывающей тело дифференциальными уравнениями высших порядков. Законы Ньютона, составляющие с математической точки зрения аксиоматику классической физики, фактически постулируют утверждение, что уравнения, описывающие динамику тел в инерциальных системах отсчета – это дифференциальные уравнения второго порядка. Однако, реальное пространство-время почти без исключения является неинерциальным, так как почти всегда существуют (по крайней мере слабые) поля, волны или силы, возмущающие идеальные инерциальные системы отсчета. Это соответствует принципу Маха [1] в его общей формулировке: «Локальные физические законы определяются крупномасштабной структурой Вселенной». Неинерциальная природа действительного пространства-времени подтверждается и наблюдениями практической астрономии, что расширение Вселенной происходит с ускорением. Другими словами, на самом деле любая реальная система отсчета не являются инерциальной, и физическая реальность может быть описана дифференциальным уравнением с производными по времени от координат порядка более чем два, которые играют роль дополнительных переменных. Физика Аристотеля считала, что скорость пропорциональна приложенной силе, следовательно, динамика тела описывается дифференциальным уравнением с первой производной. Классическая физика в инерциальных системах отсчета описывает свободное тело как сохраняющее постоянную скорость поступательного движения. В этом случае динамика тела описывается дифференциальным уравнением второго порядка, с ускорением, пропорциональным силе [2]. Это соответствует функции Лагранжа зависящей от координат и их первых производных (скоростей) тела, и уравнению Эйлера-Лагранжа, полученному из принципа наименьшего действия. Эта модель физической реальности достаточно хорошо описывает макромир, но она не подходит для описания микрочастиц. Ньютоновская аксиоматика, а с ней и второй закон Ньютона не действуют в микромире. Только усредненные значения наблюдаемых физических величин дают в микромире приблизительный аналог второго закона Ньютона, это так называемая теорема Эренфеста. Уравнение Эренфеста дает усредненное, а не точное, соотношение между второй производной по времени от координаты и силой, в то время как для описания разброса квантовых наблюдаемых требуется аппарат теории вероятности. Ньютоновская динамика ограничена производными второго порядка, в то время как микрообъекты необходимо описывать уравнениями с дополнительными переменными, в результате чего устремление постоянной Планка к нулю соответствует пренебрежению этими переменными. Таким образом, предлагая модель расширенной ньютоновской динамики, мы рассматриваем классическую и квантовую теории с дополнительными переменными, описывая динамику тела дифференциальными уравнениями высокого порядка. В нашей модели лагранжиан считается зависящим не только от координат и их первых производных по времени, но и от производных от координат по времени более высоких порядков. Классическая динамика движения пробной частицы с производными от координат по времени более высокого порядка была впервые описана в 1850 году Остроградским [3] и известна как формализм Остроградского. Будучи математиком, Остроградский рассматривал системы координат, а не системы отсчета. Это как раз и есть случай, соответствующий реальной системе отсчета, содержащей в себе как инерциальные так и неинерциальные системы отсчета. В общем случае функция Лагранжа принимает вид

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

. (1)

Попытки построить единую теорию для квантовой и классической механики, например, Гибридная теория классической и квантовой механики [4], являются естественными и осмысленными. Однако, построение теории без согласования аксиоматических систем обеих теорий напоминает строительство без фундамента. Дело в том, что системы аксиом классической и квантовой теорий не совместимы друг с другом и даже противоречат друг другу. Очевидно, что математические конструкции единой теории могут оказаться сомнительными, не представляя собой основу, которая концептуально соответствовала бы и классической, и квантовой механике. Например, возникает закономерный вопрос: «Может ли использоваться фазовое пространство и может ли импульс и координата существовать одновременно в квантовой механике?» Принцип неопределенности Гейзенберга говорит нам, что это не возможно.

В то же время, квантовая теория описывает объекты в гильбертовом пространстве, т. е. в терминах бесконечного числа переменных, и, таким образом она дает более подробное описание по сравнению с классической теорией. Таким образом, на претензии о том, что квантово-механическое описание является неполным следует ответить так, что любая теория в качестве модели физической реальности является неполной следуя теореме Геделя.

Классическое описание физической реальности содержит несравненно меньшее количество переменных. В этой связи возникает вопрос: «Как классическое описание можно сделать полным?» В то время как возможность дополнения квантово механического описания («скрытыми») переменными обсуждается уже давно, вопрос о том, как сделать полным классическое описание, чтобы оно оказалось совместимым с квантово механическим описанием не получил должного внимания.

Классическая и квантовая теория могут быть основаны обе на следующих общих аксиомах:

1. Любая система отсчета подвержена случайным внешним воздействиям. Таким образом, каждая система отсчета является индивидуальной и переход от одной к другой системе отсчета может привести к скачкообразным изменениям. Инерциальные системы отсчета в классической механике существуют только как средние от реальных систем отсчета и, соответственно, относительность Галилея является средним понятием также. То есть, имеется множество траекторий частиц, соответствующих различным системам отсчета; принцип неопределенности Гейзенберга может быть понят как следствие несуществования идеальных инерциальных системах отсчета, а теорему Эренфеста можно рассматривать как следствие того, что инерциальная система - среднее понятие. Соответственно, свободное тело сохраняет производную по времени того порядка, которая определяется кинематическими параметрами данной системы отсчета, например, в равномерно ускоренной системе отсчета свободное тело сохраняет свое ускорение.

2. В Гибридной теории [4] обобщенные соотношения Эренфеста для квантово-механических наблюдаемых определяются через усредненные координаты. Сравним процедуру усреднения в [4] с усреднением по времени. Согласно сказанному выше, идеальные инерциальные системы отсчета не существуют, и мы можем рассматривать усреднение классических уравнений движения на интервале времени Δt:

.

Используя разложение в ряд Тейлора

функция может быть представлена в виде ряда

,

где - обозначена n-я производная по времени от импульса. Это и есть Расширенный Закон Динамики в произвольной системе отсчета, включая случай вибрирующих неинерциальных систем отсчета. Соответственно, свободное тело сохраняет производную по времени того же порядка, что и порядок производной сохраняющихся кинематических параметров данной системы отсчета. Например, в равномерно ускоренной системе отсчета свободное тело сохраняет свое ускорение.

3. Де-Бройлевские волны с функциями действия могут рассматриваться как имеющие гравитационно-инерциальную природу следующую из того факта, что каждая система отсчета вибрирует вследствие влияния случайных гравитационных полей и волн так, что каждая свободная частица оказывается осциллирующей.

4. Так как функция действия являет собой сходящийся ряд по высоким степеням производных q, то разность конечна и может быть идентифицирована с константой h. В рамках представляемой картины, переменные (высокого порядка) фазового пространства делают полным описание динамики частиц, но они не могут быть измерены в силу того, что идеальные инерциальные системы отсчета не существуют в действительности. Бесконечно мерное Гильбертово пространство может также пониматься как следствие существования всех высших производных, учитываемых при описании динамики.

2. Насколько полно квантово-механическое описание?

Если утверждение Эйнштейна, Подольского и Розена о неполноте квантово-механического описания природы верно, то мы можем рассматривать квантовую механику как теорию с методикой косвенных вычислений. Проблема в том, является ли теория неполной или сама природа не допускает полное описание? И если первый вариант правильный, то возможно ли сделать полным квантово-механическое описание? Здесь мы попытаемся дополнить идею де-Бройля волны-пилота, придав ей инерциально-гравитационный смысл. Мы предполагаем, что де-Бройлевская волна-пилот является стохастической инерциально-гравитационной волной, содержащей высшие производные, и мы будем рассматривать микрообъекты как классические пробные частицы подверженные влиянию стохастических инерциально-гравитационных волн де-Бройля. Квантовая теория существует на протяжении многих десятилетий. Но все ли в порядке у нее с полнотой [5]? На наш взгляд, не все так просто. Неполнота квантово-механического описания порождает различные парадоксы, такие как парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена (ЭПР), парадокс кошки Шредингера, парадокс квантовой нелокальности и парадокс квантовой телепортации. В этом исследовании мы будем называть явление квантовой нелокальности и телепортации квантовых состояний как парадоксы, потому что они следуют из стохастической гравитационной модели квантовой механики. Не трудно заметить, что эти парадоксы вызваны недостатками в квантовой теории, а не фактическими свойствами природы. Это связано с тем, что время в квантовой теории играет роль не соответствующую физической реальности. В частности, квантовая теория использует концепцию гильбертова пространства, в котором время выступает в качестве параметра. Поэтому этот параметр (т. е. время) может быть одинаковым в разных точках пространства Гильберта. Это свойство времени в гильбертовом пространстве вызывает эффект одновременных квантовых состояний микрообъектов в различных точках пространства (или перенос состояния из одной точки гильбертова пространства в другую точку со скоростью, превышающей скорость света). Эти эффекты квантовой теории, которые являются псевдо реальными, здесь мы называем парадоксом квантовой нелокальности. Парадокс квантовой телепортации является разновидностью парадокса квантовой нелокальности. Эти парадоксы не существуют ни в классической физике, ни в стохастической гравитационной модели Квантовой Механики, ни в общей теории относительности (использующей 4-мерное пространство), в которой различным точкам пространства-времени соответствуют различные значения времени. И еще один вопрос: является ли полной интерпретация квантово-механической волновой функции микрообъектов? Выберем гармонические координаты (условие гармоничности координат означает выбор сопутствующей системы, в которой ) и будем считать, что удовлетворяет уравнениям гравитационного поля

□, (2)

которые следуют из общей теории относительности; здесь - тензор энергии-импульса источников гравитационного поля, □ – даламбериан и G – гравитационная постоянная. Тогда решение его можно записать в форме

, (3)

где - возмущение метрики, - поляризация, - 4-мерный волновой вектор.

Будем считать, что это возмущение метрики распределено в пространстве с неизвестной функцией распределения . Относительные колебания ℓ двух частиц в классических гравитационных полях описываются в общей теории относительности уравнениями девиации, которые мы можем написать для стохастического случая как

, (4)

где - тензор Римана гравитационного поля номер j среди всех стохастических гравитационных полей и F(j) – стохастическая константа (для не стохастического случая она равна нулю).

В частности, уравнения девиации дают уравнения для двух осциллирующих частиц

, . (5)

Решение этого уравнения

, (6)

индекс a=1,2,3. Каждое гравитационное поле или волна с индексом j и тензором Римана соответствуют величине со стохастично модулированной фазой . Если сложить все поля, то можем записать стохастическую фазу , где t – координатное время.

4. Корректные неравенства Белла в случайных гравитационно-инерциальных полях

Рассмотрим физическую модель со случайным инерциально-гравитационным фоном [т. е. с фоном из инерционно-гравитационных полей и волн]. Это означает, что мы предполагаем, что неинерциальные вибрирующие системы отсчета благодаря существованию флуктуаций инерциально-гравитационных волн и полей математически выражаются возмущениями метрики.

Описывая запутанные фотоны в случайном искривленном пространстве, мы будем принимать во внимание тот факт, что скалярное произведение двух 4-векторов и равно , где для слабых инерционно-гравитационных полей можно использовать параметр , являющийся решением уравнения Эйнштейна для случая слабого инерциально-гравитационного поля в гармонических координатах.

Коэффициент корреляции M случайных величин [6], соответствующих высшим производным по времени от координат является проекцией на направления и , определяемые поляризаторами (все эти векторы единичные), и равен

. (7)

Дифференциальная геометрия дает

здесь индексы i, k, m, n принимают значения 0, 1, 2, 3; θ – угол между поляризаторами, тогда

, (8)

где интеграл от функции распределения метрики ρ нормирован так, что.

Наконец, действительная часть коэффициента корреляции получается

.

Тогда получим максимальное значение наблюдаемой Белла S в пространстве Римана при

которое довольно хорошо согласуется с экспериментом. Неравенство Белла в римановом пространстве будем брать в форме

Таким образом, мы показали, что классическая физика со случайным инерциально-гравитационным фоном дает значение наблюдаемой Белла находящееся в согласии, как с экспериментальными данными, так и с квантово механическим значением наблюдаемой Белла. Подводя итог, отметим, что описание микрообъектов классической физикой с учетом эффектов вызванных инерциально-гравитационным фоном эквивалентно квантово-механическому описанию и оба описания согласуются с экспериментальными данными.

4. Выводы

Мы рассматриваем инерциально-гравитационный фон изотропных полей и волн как скрытые переменные. Инерциально-гравитационный фон кажется незначительным и не влияющим на поведение квантовых микрообъектов. Проверим - так ли это. Количественные оценки влияния инерциально-гравитационного фона на поведение квантовых микрообъектов ранее не были рассмотрены. Квантовые эффекты малы, но их количественные ограничения известны и определяются неравенством Гейзенберга. Мы показали, что инерциально-гравитационный фон, будучи случайным и изотропным, влияет на фазы микрообъектов. Наш случай соответствует функции Лагранжа , зависящей от координат, скоростей и высших производных по времени, которые мы называем дополнительными переменными, дополнительными слагаемыми или скрытыми переменными. В произвольных системах отсчета (в том числе неинерциальных) дополнительные переменные (слагаемые), появляются в виде более высоких производных по времени от координат и дополняют как классическую, так и квантовую физику. Мы называем их дополнительными слагаемыми или переменными, соответствующими более высоким производным по времени от координат; скрытыми переменными или скрытыми параметрами, дополняющими описание частиц. Современная физика предполагает преимущественное использование инерциальных систем отсчета, однако такие системы очень трудно получить, так как всегда существуют внешние возмущающие эффекты, например, гравитационные силы, поля или волны. В этом случае принцип эквивалентности позволяет перейти от гравитационных сил или волн к силам инерции. Если факт о том, что реальные системы отсчета не являются инерциальными и, следовательно, существуют дополнительные переменные в виде инерциально-гравитационного эффекта, будет проигнорирован, то нелокальная корреляция квантовых состояний и квантовая нелокальность будут казаться странными. Инерциально-гравитационное природа квантово-механических волновых функций в виде нелокальных скрытых переменных, описано в [7-9].

References (Ссылки)

[1] Mach E 1897 Die Mechanik in ihrer Entwicklung: Historisch-Kritisch Dargestellt (Leipzig: F A Brockhaus)

[2] Newton I S 1687 Philosophiae naturalis principia mathematica (London: S Pepys)

[3] Ostrogradski M V 1850 Memoires de l'Academie Imperiale des Sciences de Saint-Peterbourg 6 385

[4] Elze H T 2012 Phys. Rev. A;

Hall M J W and Reginatto M 2005 Phys. Rev. A;

Radonjic M, Prvanovic S and Buric N 2012 Phys. Rev. A;

Heslot A 1985 Phys. Rev. D

[5] Einstein A, Podolsky B and Rosen N 1935 Phys. Rev.

[6] Bell J S 1964 Physics 1

[7] Kamalov T F 2001 Journal of Russian Laser Research

[8] Kamalov T F 2009 Journal of Russian Laser Research

[9] Kamalov T F 2003 in Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2 ed A Khrennikov (Sweden: Vaxjo Univ. Press) pp 315-322

[1] Classical and quantum-mechanical axioms with the higher time derivative formalism

Timur Kamalov 2013 J. Phys.: Conf. Ser. 442 012051. Перевод: Олег Кириллов.

[2] Московский государственный открытый университет им. , кафедра физики.

Московский политехнический институт при Московском государственном инженерно-механическом университете.

E-mail: *****@***com