Погрешности измерений физических величин

Погрешности измерений физических величин

Физика — это наука опытная. Все фундаментальные закономерности в физической науке получены в результате измерения. Основной задачей физического опыта является определение численных значений физических величин и установление количественных зависимостей между ними. На практике различают два способа измерения:

прямые измерения, при которых числовое значение измеряемой величины получают либо прямым сравнением с мерой (например, длины, массы), либо с помощью приборов, градуированных в единицах измеряемой величины (например, сила тока);

косвенные измерения, при которых определяют величины, связанные известной закономерностью с измеряемой величиной (например, измерив путь и время движения можно вычислить скорость тела при равномерном движении).

Однако результат измерения никогда не бывает абсолютно точным: при любом измерении неизбежно возникает та или иная погрешность (неточность).

Погрешность – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Существуют два основных вида погрешностей:

1. систематические – обусловлены неисправностью измерительного прибора, влиянием внешних факторов на изучаемое явление, неправильной установкой измерительных приборов или их отдельных частей; в результате серии измерений погрешность сохраняет свой знак и величину;

2. случайные – зависят от индивидуальных особенностей экспериментатора: аккуратности и тщательности выполнения измерений, внимательности и практического опыта и т. д.; в результате серии измерений погрешность не сохраняет свой знак и величину.

Систематической погрешности можно избежать, «убрать» ее, например, заменой прибора, метода измерения. От случайной погрешности избавиться нельзя.

Можно также выделить и другие виды погрешностей:

- промах – результат измерения, который значительно отклоняется от истинного значения измеряемой величины, при вычислении погрешности измерения им пренебрегают;

- приборная погрешность (обусловлена заложенной при изготовлении прибора степенью точности его показаний):

а) погрешность класса точности;

б) погрешность цены деления (отсчета);

- погрешность метода.

1. Случайные погрешности измерений

Наличие случайных погрешностей приводит к тому, что результат конкретного измерения может отличаться как в большую, так и в меньшую сторону от истинного значения, поэтому для их учета следует применять теорию вероятности. При однократном измерении обнаружить случайную погрешность невозможно. Поэтому к результату однократного измерения следует относится с определенной долей сомнения. Чем больше проводится повторных измерений, тем больше надежность полученного результата. Даже если время на проведение измерений ограничено, то следует постараться сделать не менее трех повторных измерений в одних и тех же условиях.

Принято считая, что результаты измерений, полученные в ходе выполнения лабораторных работ подчиняются, законам нормального распределения случайных величин, т. е. когда число погрешностей измерения искомой величины является симметричной функцией от величины случайной погрешности отдельного измерения, убывающей в обе стороны от максимума. Подобная закономерность довольно часто проявляется в практике измерений. Основные закономерности нормального распределения случайных величин:

1)  чем больше сделано повторных измерений, тем ближе к истинному значению оказывается вычисленное среднее арифметическое значение результатов всех измерений;

2)  значения измеряемой величины, полученные в каждом конкретном измерении, с равной вероятностью могут превышать истинное значение или оказываться меньше него;

3)  при правильном проведении измерений, большие отклонения результата конкретного измерения от истинного менее вероятны, чем малые отклонения.

При оценке случайной погрешности придерживаются следующих правил:

1.  Должна быть проведена серия из n повторных измерений в одних и тех же условиях.

2.  За измененное значение физической величины А принимается среднее арифметическое ее значений, полученных в каждом измерении , где i = 1,2,3,4,5,…,n.

3.  За случайную погрешность каждого измерения принимается модуль разности между значением, измеренным в данном опыте, и средним арифметическим: .

4.  Среднее арифметическое значение погрешностей отдельных измерений вычисляют по формуле .

5.  Случайную погрешность результата серии измерений считают равной произведению некоторого коэффициента k на среднее арифметическое значение погрешностей отдельных измерений и вычисляют по формуле . Коэффициент k зависит от числа повторных измерений (см. таблицу 1).

Таблица 1.

Число повторных

измерений

k

Формула для оценки случайной погрешности

10 и более

1

7

2

5

3

3

10

2. Упрощенный способ обнаружения промаха при сравнении результатов серии измерений

Оценка границы случайной погрешности позволяет отметить один из упрощенных способов выявления промахов: следует отбросить те результаты, абсолютная погрешность которых более чем в три раза превышает среднюю арифметическую погрешность серии измерений: если , то .

Если промах обнаружен, то этот результат следует исключить и пересчитать среднее арифметическое оставшихся результатов и случайную погрешность заново.

3. Приборная погрешность

Приборные погрешности не следует путать с систематическими, которые может внести сам прибор. Систематическая погрешность в показаниях прибора возникает из-за неисправности прибора. Приборная погрешность обусловлена заложенной при изготовлении прибора степенью точности его показаний. Изготовление сверхточных измерительных приборов требует значительных материальных затрат. Поэтому часто, оказывается, выгодно применять менее точные, но более дешевые, простые и надежные измерительные приборы. При этом на заводе-изготовителе указывают границы допускаемой этим прибором погрешности.

Таблица 2. Характеристики некоторых мер и средств измерения.

Меры и средства измерения

Цена деления

Погрешности класса точности

1

Линейка или угольник деревянные ГОСТ или ГОСТ 5094-67

От 200 до 400 мм

1 мм

0,1 мм на каждые 100 мм

2

Линейка металлическая ГОСТ 427-56

150 мм, 300мм, мм

1 мм

0,10 мм

0,15 (0,20) мм

3

Линейка или угольник деревянные

До 400 мм

1 мм

Половина цены деления

4

Линейка или угольник пластмассовые

До 400 мм

1мм

Цена деления

5

Штангенциркуль ГОСТ 166-63

Цена деления по нониусу

6

Микрометр 1 класс точности

0-25 мм

4 мкм

7

Термометр лабораторный ртутный

(0-100) 0C

1 0C

1 0C

8

Термометр жидкостный (не ртутный)

(-20—100 )0C

1-5 0C

Цена деления

9

Термометр жидкостный (не ртутный) ГОСТ 9177-59

(-20—100)0C

0,2-0,5 0C

Две цены деления

10

Динамометр учебный

До 4 Н

0,1 Н

0,05 Н

11

Барометр-анероид

720-780

1 мм. рт. ст.

3 мм. рт. ст.

12

Измерительный цилиндр

До 500 мл

Цена деления

13

Груз по механике

100 г

2 г

14

Секундомер механический 2 (3) Кл. точн. ГОСТ 166-63

Калибр. механизма 42 мм.

До 30-60 мин.

0,1 с

0,2 с

Ср. погр. за 30 мин. 0,4 с (0,7 с); за 60 с 0,2-0,6с (0,9 с)

0,3с

Погрешность класса точности (инструментальная погрешность)

Овал: 1,5



Для большинства электроизмерительных приборов допускаемая погрешность задается при помощи специального числа, называемого классом точности. Приборная погрешность, связанная с классом точности прибора называется погрешностью класса точности прибора . (или инструментальной погрешностью). Класс точности указывается на шкале прибора и в его паспорте. Наиболее часто встречаются два вида обозначения класса точности:

Если класс точности указан обычным числом, например, 1,5, то это означает, что абсолютная погрешность измерения не зависит от полученного на приборе показания и равна 1,5% от верхнего предела шкалы:

, т. е.

.

Если обозначение класса точности взято в окружность, то постоянной остается относительная погрешность, которая в нашем примере равна 1,5% от полученного на приборе значения:

, т. е.

.

Если погрешность прибора не указана в паспорте и класс точности прибора определить не удается, то абсолютную инструментальную погрешность произвольно принимают равной половине цены деления шкалы прибора (или цене деления шкалы прибора ) о чем делают специальную запись в отчете.

Погрешность цены деления (погрешность отсчета, погрешность округления при снятии показаний прибора)

Погрешность цены деления (погрешность отсчета) возникает из-за дискретности (а не непрерывности) отметок на шкале прибора. Обычно указатель на шкале измерительного прибора не совпадает с отметками на шкале, а находится ближе к той или иной отметке, в этих случаях за измеренное значение , принимают то, которое соответствует ближайшей к указателю отметке шкалы. В этом случае мы допускаем ошибку не более чем на половину цены деления шкалы. Это и есть погрешность цены деления . Однако, для приборов, показания которых измеряются скачкообразно (например, механический секундомер) погрешность цены деления принимают равной цене деления. Не следует делить цену деления и в том случае, когда завод-изготовитель указывает погрешность цены деления прибора в явном виде (обычно внизу шкалы или в паспорте). При использовании электронных приборов погрешность цены деления (если в паспорте не указано иначе) принимают равной последнему высвечиваемому на индикаторе разряду числа (т. е. ели высвечивается число 34,6, то погрешность цены деления равна 0,1).

Правило сложения погрешностей

Полная приборная погрешность с учетом законов вероятностного распределения значений погрешностей вычисляется по формуле , или упрощенно .

 

Правило поглощения малых погрешностей

Если одна из складываемых погрешностей составляет менее 1/3 чем другая, то меньшей погрешностью можно пренебречь.

4. Совместный учет случайной и приборной погрешности измерений

Если значения случайной и приборной погрешностей измерений соизмеримы, то с учетом их вероятностного характера погрешность измерений можно приблизительно оценить по формуле , или упрощенно .

– абсолютная погрешность измерения.

Относительная погрешность измерения – отношение абсолютной погрешности к среднему арифметическому : .

Результаты измерений записывают одним из трех способов:

,

или

,

или

, .

При построении графиков область допустимых значений изображают в виде эллипсов, учитывая вероятностный характер погрешностей. Для величин, найденных графическим способом погрешность не оценивают.

5. Абсолютная погрешность взвешивания

При измерении массы тела взвешиванием используют два инструмента: весы и набор гирь, поэтому погрешность класса точности при взвешивании оценивается по формуле или упрощенно .

Погрешность весов зависит от нагрузки. Графики зависимости погрешности весов от нагрузки для двух типов учебных весов представлены на рисунках 1а и 1б. Легко заметить, что если масса взвешиваемого тела больше или равна 10 г, то погрешность весов школьных для лабораторных работ не превышает пяти тысячных его массы, т. е. 0,5%. В школьных экспериментах обычно погрешности измерения других физических величин оказываются существенно больше, поэтому, для упрощения расчетов в большинстве случаев можно принять .

Рис. 1а. Погрешность весов Рис. 1б. Погрешность весов

школьных для лабораторных работ. технических ВЛТ-200.

Погрешность гирь из различных наборов определяют по специальным таблицам.

Таблица 3. Абсолютная погрешность гирь из набора Г4-211.

Номинальное значение массы гири

Абсолютная погрешность массы гири

Номинальное значение массы гири

Абсолютная погрешность массы гири

10 мг 100 мг

200 мг

500 мг

1 г

2 г

1 мг

2 мг

3 мг

4 мг

6 мг

5 г

10 г

20 г

50 г

100 г

8 мг

12 мг

20 мг

30 мг

40 мг

Погрешность подбора гирь (погрешность отсчета при взвешивании) не превышает половины значения массы наименьшей гири, выводящей весы из равновесия, в тот момент, когда на них лежит взвешиваемое тело, уравновешенное гирями.

Таким образом, абсолютную погрешность измерения массы на весах следует оценивать по формуле , а во многих случаях и даже . При использовании упрощенных формул получаем , или .

6. Погрешности косвенных измерений

Многие физические величины приходится измерять косвенным образом. При это, если измеряемая величина А является функцией тот величин x, y, z, …, найти которые можно путем прямых измерений (например, ). В этом случае сначала измеряют аргументы этой функции: x, y, z, находят средние значения результатов их измерений: и абсолютные погрешности: а затем решают вопрос о выборе метода подсчета величины и погрешности . Чаще всего используют метод верхней и нижней границы.

Метод верхней и нижней границ

Метод верхней и нижней границ является одним из наиболее простых методов приближенных вычислений при косвенных измерениях.

При оценке погрешностей методом верхней и нижней границ определяют два значения физической величины : одно заведомо (если не были допущены промахи) меньше истинного, называемое нижней границей (НГ) величины , другое заведомо больше истинного, называемое верхней границей (ВГ) величины . Между верхней и нижней границами находится истинное значение искомой величины. Согласно методу верхней и нижней границ за измеренное значение искомой величины принимают среднее арифметическое между его наибольшим и наименьшим значениями: а абсолютную погрешность вычисляют как полуразность верхней и нижней границ .

Таблица 4. Некоторые формулы для вычисления верхней и нижней границ погрешностей результатов косвенных измерений

Вид расчетной формулы

Верхняя граница

Нижняя граница

Следует отметить, что этот простой метод оценки погрешности косвенных измерений имеет два существенных недостатка. Во-первых, полученные значения верхней и нижней границ результата измерений оказываются слишком расширенными, т. к. не учитывают вероятностного характера погрешностей (мало вероятно, что при измерении каждого из аргументов функции были получены только максимально завышенные или только максимально заниженные). Во-вторых, среднее арифметическое верхней и нижней границ может не совпадать со значением, которое получается при прямой подстановке значений аргументов в расчетную формулу (например, если искомая величина вычисляется как частное от двух других). Однако, если погрешности прямых измерений аргументов малы, то это отличие оказывается незначительным. Несмотря на указанные недостатки, простота этого метода позволяет считать его основным для вычисления погрешностей при косвенных измерениях.

Результаты измерений записывают одним из трех способов (см. пункт 4).

7. Число цифр при вычислении и записи конечного результата

Значащие цифры. Все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля до последней, за правильность которой можно ручаться, считаются значимыми цифрами. Например, если число 0,0568 точное, то оно имеет три значащие цифры; если число 1000 получено без округления (например, оно получено при подсчете каких-либо частиц) то все четыре его цифры являются значимыми; если число 1000 при округлении до десятков числа 1000), то оно имеет три значащих цифры; если число 1000 при округлении до тысяч числа 1000), то оно имеет одну значащую цифру; если приближенное число записано в виде и не указана точность его вычисления, то считают, что оно имеет две значащие цифры (т. е. с точностью до тысяч); чтобы подчеркнуть, что число записано с точностью до двух значащих цифр его записывают в виде .

Запись приближенных чисел. Значащие цифры приближенного числа делятся на верные, сомнительные и неверные. Цифра n-го разряда приближенного числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины единицы последнего разряда, цифра, следующая за последней верной цифрой, считается сомнительной, остальные признаются неверными и отбрасываются. В справочниках все значения величин даются с верными цифрами.

Правило одной – двух значащих цифр в абсолютной погрешности. Абсолютную погрешность приближенного числа принято записывать не более чем с двумя значащими цифрами, поскольку уже первая их этих цифр определяет сомнительную цифру результата измерения. Обычно абсолютную погрешность записывают с одной значащей цифрой. Две значащие цифры оставляют, если вторая цифра 5, если первая цифра 1, если первая цифра 2, а вторая цифра больше единицы.

Правило значащих цифр в записи результата измерений. Результат измерений и расчетов округляется до того разряда, до которого была округлена его абсолютная погрешность.

Правило запасной цифры при записи промежуточного результата. При записи промежуточного результата принято оставлять на одну цифру больше, чем это требуют правила округления приближенных величин.

Правила округления при арифметических действиях с приближенными числами.

При сложении и вычитании приближенных чисел в полученном результате следует отбрасывать по правилам округления (или заменять их незначащими нулями в случае целого числа) цифры тех разрядов справа, которых хоты бы нет в одном из данных приближенных чисел.

При умножении и делении приближенных чисел в полученном результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

При возведении приближенного числа в степень (или извлечения из него корня) в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Если одно из чисел является точным, то число значащих цифр в произведении или частном определяется количеством значащих цифр в приближенных числах.

Вопросы.

1.  Какие способы измерения величин вы знаете? Дайте определения. Приведите примеры.

2.  Дайте определение погрешности. Какие виды погрешностей вы знаете?

3.  Сформулируйте правило нахождения случайной погрешности.

4.  Упрощенный способ обнаружения промаха.

5.  Приборная погрешность. Способы нахождения погрешности класса точности и погрешности цены деления.

6.  Сформулируйте правило сложения погрешностей.

7.  Сформулируйте правило поглощения малых погрешностей.

8.  Абсолютная и относительная погрешности измерения.

9.  Абсолютная погрешность взвешивания.

10.  Метод верхней и нижней границ.



Подпишитесь на рассылку:

Понятие погрешности

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.