Построение алгоритмов сетевого управления с итеративным обучением на основе моделей с двумерной динамикой

УДК 681.51

Ю. П. ЕМЕЛЬЯНОВА[1]
(Арзамасский политехнический институт Нижегородского государственного технического университета имени , Арзамас)

ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ СЕТЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ С ИТЕРАТИВНЫМ ОБУЧЕНИЕМ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ С ДВУМЕРНОЙ ДИНАМИКОЙ

Рассматривается сетевая система управления, состоящая из множества объектов, каждый из которых должен воспроизводить заданную траекторию движения с требуемой точностью в условиях неопределенности и возможных информационных нарушений в сети. Построена двумерная (2D) модель динамики такой системы. Для достижения требуемой точности предлагается использование алгоритма управления с итеративным обучением. Задача сходимости такого алгоритма в указанных условиях неопределенности и возможных нарушений сведена к исследованию глобальной асимптотической устойчивости в среднем квадратическом (ГАУСК) вспомогательной 2D модели. На основе полученных условий ГАУСК построен сходящийся алгоритм сетевого управления с итеративным обучением. Эффективность алгоритма продемонстрирована на примере упрощенной модели динамики вертикального канала группы портальных роботов.

Введение

В [1,4] решалась задача управления с итеративным обучением для одного объекта. Рассматривались случаи с обратной связи по состоянию и по выходу.

В данной работе дается развитие результатов [1,4] на случай сетевого управления, когда одновременно обучаются несколько связанных систем, обменивающихся информацией друг с другом.

Такая постановка задачи является естественной, поскольку существует большое количество производственных систем, в которых объекты должны периодически повторять одинаковые операции. Обмен информацией между системами в этом случае позволяет повысить качество управления и надежность.

Постановка задачи

Рассматривается множество линейных дискретных систем с неопределенными параметрами:

(1)

где - вектор состояния -й системы, - вектор управления -й системы, - вектор выходных переменных -й системы, - вектор неопределенных параметров, - действительные постоянные матрицы параметров системы, - номер системы, - число систем.

Для описания неопределенностей используется аффинная модель.

,

где - нижняя и верхняя граница элемента , – известные матрицы,

Обозначим :

конечное множество вершин множества неопределенностей .

Информационные нарушения в сети моделируются однородной марковской цепью с заданным конечным числом состояний и заданными вероятностями перехода

Системы (1) работают в повторяющемся режиме на заданном конечном интервале времени с известными начальными условиями. Задача состоит в том, чтобы все системы повторяли заданную траекторию движения на конечном интервале с требуемой точностью .

При этом предполагается, что только одна из систем (лидер или ведущий) получает информацию о заданной траектории непосредственно, остальные получают эту информацию от лидера (ведомые).

Предположим, что в какой-либо из систем произошли нарушения, вызванные недостаточной надежностью информационной структуры сети. Тогда эта система начинает получать информацию от другой, информация от которой в данный момент ей доступна. Если доступ к информации от лидера восстанавливается, то система вновь переключается на получение информации от лидера.

При таких условиях для достижения требуемой точности можно предложить следующий подход. Используя информацию с одного или нескольких предыдущих шагов построить алгоритм изменения входной переменной (управления), который позволил бы повысить точность на текущем повторении. Этот подход, активно развивающийся в современной литературе, особенно в задачах робототехники, получил название управления с итеративным обучением [2, 3]. Следуя концепции итеративного обучения входную переменную (управление) на -м повторении (шаге) зададим в виде

(2)

где - корректирующая добавка к управлению на текущем -м шаге для формирования управления для следующего -го шага.

Таким образом, система (1) с законом управления (2) может быть представлена как 2D система

(3)

со следующими с граничными условиями

Введем в рассмотрение вектор ошибки с координатами

где - ошибка обучения ведущей системы, - вектор выходных переменных ведущей системы, - ошибка обучения -ой ведомой системы, - вектор выходных переменных -ой ведомой системы, - индекс информационной структуры сети, который может принимать любые значения от 1 до , исключая свое собственное состояние , в зависимости от состояния марковской цепи .

Очевидно, что для достижения требуемой точности корректирующая добавка к управлению должна выбираться из условия сходимости алгоритма управления (2):

.

С учетом стохастического характера системы введем следующее определение сходимости.

Определение 1 Алгоритм управления с итеративным обучением (2) называется сходящимся в среднем квадратическом, если для любых начальных условий и для любой начальной управляющей последовательности он задает такую последовательность для системы (1), что при , , где - оператор математического ожидания.

Условия сходимости алгоритмов управления с итеративным обучением

Для дальнейшего анализа введем следующие вспомогательные переменные:

,

В терминах переменных и система (1) опишется моделью с двумерной динамикой в стандартной форме линейного дискретного повторяющего процесса:

(4)

где , ,

матрицы имеют случайную структуру, определяемую нарушениями. Если каждая система получает информацию от соседней, эти матрицы имеют вид

.

где зависимость от для компактности не указана. При нарушениях элементы и будут оставаться на своих позициях, а другие элементы будут менять значения и позицию на соответствующей строке в зависимости от значения .

Рассмотрим случай, когда переменные состояния доступны измерению и сформируем корректирующую поправку в виде

(5)

где

Тогда уравнения замкнутой системы (4), (5) запишутся в виде:

(6)

Граничные условия для системы (4) задаются в виде

,

где и - векторы, удовлетворяющие условиям:

, . (7)

Определение 2 Систему (4) назовем глобально асимптотически устойчивой в среднем квадратическом (ГАУСК), если при любых граничных условиях и , удовлетворяющих (7):

.

Если поправка (5) обеспечивает ГАУСК системы (6), то это будет гарантировать сходимость алгоритма управления (2).

Для получения условий ГАУСК воспользуемся методом векторной функции Ляпунова. Рассмотрим векторную функцию

(8)

Определим оператор , являющийся дискретным аналогом оператора дивергенции:

(9)

Теорема 1 Рассмотрим систему (6) с граничными условиями, удовлетворяющими (7). Пусть существуют положительные постоянные такие, что функция (8) и ее оператор (9) в силу системы удовлетворяют неравенствам

Тогда система (6) глобально асимптотически устойчива в среднем квадратическом.

Доказательство теоремы ввиду ограниченного объема работы не приводится.

Выбирая компоненты векторной функции Ляпунова в виде квадратичных форм:

,

где , получим условия ГАУСК в виде билинейных матричных неравенств.

(10)

Эти билинейные неравенства сводятся к линейным матричным неравенствам, из которых находятся матрицы усиления, гарантирующие ГАУСК системы (6) и соответственно сходимость алгоритма управления с итеративным обучением (2).

Численный пример

На базе полученных результатов было проведено моделирование для упрощенной модели динамики вертикального канала портального робота. Этот робот установлен в Университете Саутгемптона, Великобритания и данные о нем были предоставлены коллегой. На рисунке 1 представлена фотография робота, на рисунке 2 - желаемая траектория робота вдоль вертикальной оси.

Будем предполагать, что таких роботов три и они связаны локальной сетью. При этом один из роботов (лидер или ведущий) получает информацию о заданной траектории непосредственно, остальные либо от лидера, либо в случае потери связи с лидером, друг от друга.

Матрицы параметров ведомых систем имеют отклонения в пределах 10% от матриц параметров ведущей системы .

Рис. 1. Портальный робот Рис. 2. Желаемая траектория

на выходе вдоль вертикальной оси

В результате моделирования были получены следующие графики (рисунок 3). На этих графиках представлен случай, когда обе ведомые системы берут информацию у лидера. Первая ведомая система теряет связь с лидером с 5й по 7й шаг и на этом интервале берет информацию у второй ведомой. Вторая же ведомая теряет связь с 10-го по 15-й шаг, на этом интервале берет информацию у первой ведомой.

Из графиков видно, что сходимость сохраняется, но по мере удаления от ведущей системы скорость сходимости снижается. В случае потери связи с лидером нарушается монотонность убывания ошибки, чего не наблюдается в случае, если связь с лидером не теряется.

а) выходной сигнал (справа) и ошибка обучения (слева, вид сбоку) ведущей системы

б) выходной сигнал (справа) и ошибка обучения (слева, вид сбоку) первой ведомой системы при потере связи с лидером с 5-го по 7-ой шаг

в) выходной сигнал (справа) и ошибка обучения (слева, вид сбоку) второй ведомой системы при потере связи с лидером с 10-го по 15-й шаг

Рис. 3 – Результаты моделирования упрощенной модели динамики вертикального канала группы портальных роботов

Заключение

В работе построена 2D модель динамики сетевой системы управления с итеративным обучением в условиях неопределенности и нарушений информационной структуры сети. Доказана теорема о глобальной асимптотической устойчивости в терминах векторных функций Ляпунова, которая затем применена для получения условий сходимости таких систем и решения задач синтеза управления. Решен численный пример, который определил направление дальнейших исследований, которые будут заключаться в построении алгоритмов, обеспечивающих монотонность сходимости ошибки при информационных нарушениях. Такие алгоритмы должны быть переключаемыми в зависимости от нарушений и содержать прогнозирующие составляющие. В настоящий момент ведется работа по решению задачи сетевого управления с ОС по выходу.

Работа проводилась при поддержке гранта РФФИ .

ЛИТЕРАТУРА

1.  Емельянова, Ю. П. Алгоритмы обучения с итеративным обучением системами с неопределенными параметрами и возможными нарушениями // Навигация и управление движением: Материалы докладов XIII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". - СПб.:ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 20с.

2.  Hyo-Sung, Ahn. Iterative Learning Control: Brief Survey and Categorization // Hyo-Sung Ahn, Yang Quan Chen, and Kevin L. Moore. - IEEE Transactions on systems, man, and cybernetics - part C: Applications and reviews, 2007, Vol. 37, no. 6. - p. .

3.  Kurek, J. E. Iterative learning control synthesis based on 2D system theory // J. E. Kurek and M. B. Zaremba - IEEE Transactions on Automatic Control, 1993, no. 38, p. 121-125.

4.  Pakshin, P. Iterative Learning Control under Parameter Uncertainty and Failures // P. Pakshin, Emelianova J., et alIEEE Multi-conference on Systems and Control, Croatia, October 3-5, 2012, ISBN: 4504-0.

Текст доклада согласован с научным руководителем.

д. ф.-м. н., профессор //

[1] Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор, .