Практическая работа № 1. Определение координат базовой станции и их ковариационных матриц в общеземной системе WGS-84 (стр. 3 )

1. Найдите геодезические координаты B, L, H пункта А в системе WGS-84. Для этого используйте формулы (9)-(12) из задания 1.

2. Вычислите компоненты матрицы RA по геодезическим координатам пункта A. найдите координаты E, N,U в локальной геодезической системе. Проконтролируйте вычисления по модулю вектора базовой линии

. (39)

3. Найдите ковариационную матрицу . Проконтролируйте ее вычисление через нормы матриц:

. (40)

4. Найдите средние квадратические погрешности sE, sN, sU, используя диагональные элементы ковариационной матрицы .

5. Вычислите разность геодезических высот DH и найдите высоту точки В над эллипсоидом HB .

6. Найдите геодезические координаты пункта В по его прямоугольным координатам. Убедитесь в том, что геодезическая высота совпала с ее значением, полученным в п. 5.

7. Найдите геодезический азимут с пункта А на пункт В вначале без поправки , затем отдельно вычислите эту поправку и введите ее.

8. Вычислите угол qAB между радиусами нормальных сечений и найдите длину геодезической линии.

9. Рассчитайте матрицу В, используя метод численного дифференцирования и вычислите ковариационную матрицу для параметров A, DH, S.

10. Найдите средние квадратические погрешности sA, sDH, sS.

11. Сделайте сводку средних квадратических погрешностей и сделайте заключение о точности параметров базовой линии.

Контрольные вопросы

1. Почему EAB¹-EBA, NAB ¹-NBA, UAB¹-UBA?

2. Входят ли ошибки центрирования в sE, sN?

3. Входит ли ошибки измерения высоты антенны в sU или в sDH?

4. Что такое «точность по внешней сходимости» и «точность по внутренней сходимости»? Как эти понятия связаны с оценкой точности ГНСС наблюдений?

5. На какой из компонент базовой линии преимущественно действуют ошибки учета тропосферной рефракции?

6. Почему в ГНСС измерениях погрешности определения высоты (или разности высот) превышают по абсолютной величине погрешности в плановых компонентах?

Практическая работа № 5.

Трансформирования координат при использовании GPS-технологий

в геодезии

Общие теоретические сведения.

Связь между координатами точки в двух пространственных системах может осуществляться с помощью трех операций: переноса начала, разворота и масштабирования. Для этого необходимо иметь не менее семи параметров перехода, которыми являются трехмерный вектор переноса начала, три угла поворота (обычно это углы Эйлера или углы Кардано) и коэффициент m, учитывающий различие в масштабах координатных основ [1]. Однако при использовании космической навигации для решения задач геодезии достаточно часто применяется преобразование плоских координат. Примером может служить ситуация, когда результаты тахеометрической съемки, выполненной в некоторой условной системе координат (УСК), необходимо трансформировать в государственную систему координат, например, СК-95 (рис. 6).

Рис. 6. Системы плоских координат

Связь между координатами точки xуск, yуск и x95, y95 в системах УСК и СК-95, выражается формулой:

, (41)

где dx, dy – параметры сдвига систем, g - угол поворота. Если известно приближенное значение угла поворота , то считая что

(42)

в линейном виде функции угла поворота записывается как

(43)

После подстановки формулы (42) в (41) и с учетом разложений (43) переходим к уравнениям поправок, пренебрегая при этом коэффициентом масштаба и членами 2-го порядка:

(44)

где

(45)

Таким образом, для определения параметров перехода необходимо иметь несколько опорных точек, имеющих координаты в обеих системах. Каждая точка дает два уравнения поправок с тремя неизвестными (при учете масштаба будет четыре неизвестных). Чтобы определить dx, dy и g, необходимо иметь не менее двух опорных точек. В том случае, когда число уравнений поправок превышает число неизвестных, применяется уравнивание по методу наименьших квадратов.

Бюджет времени: 6 часов аудиторных занятий и 6 - самостоятельно.

Цель работы: усвоить принцип определения параметров связи координатных систем, научиться находить параметры трансформирования между системами плоских координат.

Задача работы. В процессе тахеометрической съемки в условной системе координат (УСК) были определены координаты 4-х точек. Для двух из них были определены координаты в системе СК-95 в проекции Гаусса-Крюгера. Определить параметры связи УСК и СК-95 и преобразовать координаты всех точек в систему СК-95.

Таблица 8

Исходные данные к лабораторной работе № 5

№№ вар	№№ точ	XУСК	YУСК	XСК42	YСК42
1	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6114868.83 6112681.22	564295.103 562693.542
2	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6115434.39 6114303.39	562357.64 565295.04
3	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6112606.71 6114885.82	564356.21 563362.62
4	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6114328.56 6111001.48	564362.87 565621.708
5	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6111466.38 6113762.49	566311.68 565358.02
6	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6113712.73 6114868.83	562381.165 564295.103
7	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6113164.03 6112129.84	563371.17 563674.45
8	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6114885.82 6113729.23	563362.62 566290.04
9	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6114328.56 6111001.48	564362.87 565621.708
10	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6112554.99 6110424.61	568264.80 566587.87
11	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6113712.73 6115974.14	56238.165 561347.950
12	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6115974.14 6114868.83	561347.950 564295.103
13	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6115974.14 6112681.22	561347.950 562693.542
14	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6113164.03 6115434.39	563371.17 562357.64
15	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6114303.39 6112129.84	565295.04 563674.45
16	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6113164.03 6112129.84	563371.17 563674.45
17	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6113729.23 6111569.91	566290.04 564650.54
18	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6112606.71 6111569.91	564356.21 564650.54
19	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6114885.82 6113729.23	563362.62 566290.04
20	1 2 3 4	121048.55 123151.06 122450.78 120068.23	46575.12 45248.09 48316.81 47022.95	6112040.75 6111001.48	5655336.34 565621.708

Методика выполнения работы

1. Вычислите дирекционные углы в системах СК-95 и УСК:

, (46)

где символы 1 и 2 относятся к началу и концу опорной линии.

2. Найдите предварительное значение угла поворота g0.

. (47)

3. Вычислите коэффициенты и свободные члены уравнений поправок для указанных в варианте двух точек (четыре уравнения), сформируйте матрицу коэффициентов уравнений поправок A и вектор свободных членов l:

, . (48)

4. Решите переопределенную систему уравнений поправок и найдите три неизвестных: . Для этого составьте систему нормальных уравнений

, (49)

в которой , , X – вектор неизвестных,

. (50)

Переведите поправку в угол поворота dg из радианной меры в секунды дуги, и вычислите угол g по формуле (42). В процессе решения найдите корреляционную матрицу Q, ошибку единицы веса m и средние квадратические погрешности неизвестных :

, ,

. (51)

5. Выполните перевод координат всех точек из системы УСК в систему СК-95 по формулам (41). На двух исходных точках сделайте контроль преобразования координат.

6. Сделайте оценку точности преобразованных координат.

Примечание: рекомендуется уменьшить координаты опорных точек в системе СК-95 на 6000000м, а после вычисления координат всех точек – восстановить их у всех определяемых точек.

Контрольные вопросы

1. Сколько нужно иметь опорных точек для определения семи параметров перехода между пространственными системами координат?

2. Что представляют собой углы Кардано?

3. Что такое «параметры Гельмерта»?

4. Влияет ли взаимное расположение точек на плоскости на точность определения параметров перехода?

5. Влияет ли взаимное расположение точек в пространстве на точность определения параметров перехода между трехмерными системами координат?

6. Какие параметры перехода можно определить по одной опорной точке?