Учебно-методический комплекс дисциплины «Логика» (стр. 3 )

Законы логики классов.

Законы коммутативности выражают свойство логической операции давать устойчивый результат вне зависимости от того, в каком порядке берутся высказывания.

Законы коммутативности выражают свойство логической операции давать устойчивый результат вне зависимости от того, в каком порядке берутся высказывания.

Закон коммутативности для конъюнкции
; (AÇB)=(BÇA).

Закон коммутативности для дизъюнкции
; (AÈB)=(BÈA).

Закон ассоциативности для конъюнкции
; (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC).

Закон ассоциативности для дизъюнкции
; (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC).

Законы дистрибутивности умножения относительно сложения
и сложения относительно умножения
;

Закон идемпотентности для умножения
; AÇA=A.

Закон идемпотентности для сложения
; AÈA=A.

Закон элиминации для умножения относительно сложения
AÇ(AÈB)=A.

Закон элиминации для сложения относительно умножения
AÈ(AÇB)=A.

СУЖДЕНИЯ

Термин считается распределенным, если он взят в полном объеме. Термин считается нераспределенным, если он взят в части объема. Распределенность термина можно выразить в виде круговых схем и таблицы (табл.1).

Таблица 1

Распределенность терминов простых невыделяющих
и выделяющих суждениях

Термины	Вид суждения
A	E	I	O
S	+	+	-	-
P	-	+	-	+
P выделяющих суждений	+	+	+	+

Таблицы истинности позволяют устанавливать логическое значение суждения (истинность, ложность) в зависимости от значений, образующих его суждения.

Число всех возможных наборов значений n переменных равно , что соответствует числу строк в соответствующей таблице.

Составим комплексную таблицу истинности для суждений, образованных следующими логическими союзами: – конъюнкция, – дизъюнкция, – строгая дизъюнкция, – материальная импликация, – материальная эквиваленция, – отрицание (табл.2).

Таблица 2

Таблица истинности высказываний

A	B
и	и	и	и	л	и	и	л
л	и	л	и	и	и	л	и
и	л	л	и	и	л	л
л	л	л	л	л	и	и

Запись суждений в языке логики предикатов:

– общеутвердительное суждение (A),

– общеотрицательное суждение (E),

– частноутвердительное суждение (I),

– частноотрицательное суждение (O).

ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Непосредственные умозаключения (превращения, обращения, противопоставления предикату). Непосредственными называют такие умозаключения, вывод в которых получен логическим преобразованием одной посылки.

Превращение – преобразование суждения в противоположное по качеству с предикатом, противоречащим предикату исходного суждения.

Схемы превращения: , где S, P – термины субъекта и предиката суждения; a, e,i, o – обозначения для общеутвердительного, общеотрицательного, частноутвердительного, частноотрицатель-ного суждений; P’ – противоречащее понятие.

Обращение – преобразование суждения, в котором субъект и предикат исходного суждения в заключении меняются местами.

Схемы обращения с ограничением: .

Обращение без ограничения для выделяющих суждений:

.

Примечание. Частноотрицательные суждения (O) не обращаются.

Противопоставление предикату – преобразование суждения, в результате которого субъектом заключения становится понятие, противоречащее предикату исходного, а предикатом его субъект.

Схемы противопоставления предикату: .

Примечание. Частноутвердительные суждения (I) противопоставлением предикату не преобразуются.

Умозаключения по логическому квадрату. Четыре простых суждения (A, E, I, O) образуют вершины квадрата, а его стороны и диагонали – отношения между суждениями, позволяющие для всякой пары суждений устанавливать функциональную истинность (иcтина/ложь) (рис. 2).

Рис. 2. Логический квадрат.

Отношения функциональной истинности представлены в таблице 3.

Таблица 3

Отношения функциональной истинности простых суждений в логическом квадрате.

	A	E	I	O
Аи	-	л	И	л
Eи	Л	-	Л	и
Iи	?	л	-	?
Oи	Л	?	?	-
Ал	-	?	?	и
Eл	?	-	И	?
Iл	л	и	-	и
Oл	и	л	И	-

Опосредованные умозаключения. Простой категорический силлогизм (ПКС). ПКС – это умозаключение, в котором заключение следует из двух посылок, называемых большей и меньшей. Содержащийся в обеих посылках средний термин (M) связывает два крайних термина: больший (P) и меньший (S). Меньший термин становится субъектом заключения, а больший его предикатом.

Фигурой называется порядок употребления в ПКС большего, меньшего и среднего терминов. В формальной логике выделяют четыре фигуры. Модусом называют типы простых суждений (A, E, I, O), употребляемых в качестве посылок в фигурах. Всего возможны 256 модусов по всем четырем фигурам и по 64 модусам в каждой из фигур. Из них выделяют две группы модусов: правильные (заключающие) и неправильные (незаключающие). Заключающим называют модус, вывод в котором с необходимостью следует из истинных посылок. Большинство авторов выделяют 19 модусов такого рода. Незаключающим называют модус, не гарантирующий истинного вывода из истинных посылок. Заключающие модусы ПКС сведены в табл. 4.

Аксиома силлогизма. Все, что утверждается (или отрицается) относительно всех предметов класса, то утверждается (или отрицается) относительно любого отдельного предмета и любой части предметов этого класса.

Таблица 4

Заключающие модусы ПКС

Фигуры Модусы	1.	2.	3.	4.
1.	Barbara	Cesare	Darapti	Bramantip
2.	Celarent	Camestres	Disamis	Camenes
3.	Darii	Festino	Datisi	Dimaris
4.	Ferioque	Baroco	Felapton	Fesapo
5.			Bocardo	Fresison
6.			Ferison

Дедуктивные умозаключения, образованные на основе ПКС

Энтимема. Силлогизм, образованный на основе ПКС, у которого опущена одна из посылок или заключение. Из модусов четвертой фигуры ПКС энтимемы не образуют. В случае если посылки энтимемы сливаются в одно выражение, образуется энтимематическое изречение. Пример – смертный, не питай бессмертной ненависти.

Полисиллогизм – умозаключение, где вывод предшествующего силлогизма становится большей или меньшей посылкой последующего.

Прогрессивным называют полисиллогизм, в котором вывод предшествующего силлогизма становится большей посылкой последующего.

Регрессивным называют полисиллогизм, где вывод предшествующего силлогизма становится меньшей посылкой последующего.

В прогрессивном и регрессивном полисиллогизмах субъект и предикат вывода – соответственно субъект меньшей посылки и предикат боль-шей посылки последнего силлогизма.

Сорит представляет собой сокращенную форму прогрессивных и регрессивных полисиллогизмов.

Прогрессивный (гоклениевский) сорит образуется исключением из прогрессивного полисиллогизма выводов предшествующих и больших посылок последующих силллогизмов. Субъект заключения гоклениевского сорита – это субъект последней меньшей посылки, а предикат заключения – это предикат первой большей посылки. Схема: A–B, C–A, D–C, E–D/ E–B.

Регрессивный (аристотелевский) сорит образуется из регрессивного полисиллогизма исключением выводов предшествующих силлогизмов и меньших посылок последующих силлогизмов. Субъект заключения – это субъект 1-й посылки, а предикат заключения – это предикат большей посылки последнего силлогизма. Схема: A–B, B–D, D–E/ A–E.

Эпихейрема – сложносокращенный силлогизм, посылки которого есть энтимемы.

Дедуктивные умозаключения из сложных суждений.

Чисто условный силлогизм (ЧУС) – это умозаключение, посылки и вывод в котором – условные суждения. ЧУС имеет два модуса.

Схема первого модуса:

Схема второго модуса:

Условно категорический силлогизм (УКС). УКС – это силлогизм, посылки которого условное и категорическое суждения, а заключение категорическое суждение. УКС имеет четыре модуса из них два правильных или заключающих.

Схемы заключающих модусов:

modus ponens (утверждающий модус) ;

modus tollens (отрицающий модус) .

Схемы незаключающих модусов: , .

Категорические разделительные умозаключения (КРУ). КРУ - это силлогизмы, посылки которых суждения строгой или нестрогой дизъюнкции и категорическое суждение, а заключение категорическое суждение. КРУ имеет два правильных модуса modus ponendo tollens (утверждающе отрицающий модус) modus tollendo ponens (отрицающе утверждающий модус).

Схемы КРУ:

, – modus ponendo tollens;

, – modus tollendo ponens.

Лемматические умозаключения. Лемматическими умозаключениями или леммами называют силлогизмы, включающие условные, разделительные и категорические посылки. Число условных посылок определяет будет ли это дилемма, трилемма, тетралемма, полилемма.

Дилеммы. Чаще всего мы встречаемся с дилеммами четырех видов: простая конструктивная дилемма (1), сложная конструктивная дилемма (2), простая деструктивная дилемма (3), сложная деструктивная дилемма (4).

Схемы дилемм: простая конструктивная дилемма,

– сложная конструктивная дилемма,

– простая деструктивная дилемма,

– сложная деструктивная дилемма.

Выводы в логике высказываний. Вывод – это процедура получения нового высказывания на основе одного или более уже принятых высказываний. Правило вывода – это предписание, позволяющее из истинных посылок одной логической формы получить новые истинные посылки другой формы. Правильным называется вывод, соответствующий правилам вывода. Рассмотрим важнейшие дедуктивные выводы, где истинность заключения полностью определяется истинностью посылок и правильностью выполнения процедуры вывода.

Правило введения конъюнкции .

Правило удаления конъюнкции .

Правило введения дизъюнкции .

Правило удаления дизъюнкции .

Правило введения материальной импликации – последняя посылка.

Правило удаления материальной импликации .

Правило введения отрицания .

Правило исключения отрицания .

К числу важных тождественно-истинных формул (т. е. тех, которые при любых значениях переменных принимают значение истина) относятся следующие:

1.   ØØa Éa.

2.   (aÙb)É(bÙa).

3.   (aÙb)Éa.

4.   a É(bÉ(aÙb)).

5.   ((aÉb)Ù(b Éc))É(aÉc).

6.   (aÚb)É(bÚa).

7.   (aÚb)É(Øa É b).

8.   a É(aÚb).

9.   ((a Éb)Ùa)Éb.

10.   ((aÚb)ÙØa)Éb.

Законы взаимовыразимости пропозициональных связок.

(AÉB)º(ØAÚB),

(AÉB)ºØ(AÙØB),

(AÙB)º Ø(AÉØB),

(AÙB)º Ø(ØAÚØB),

(AÚB)º( ØAÉ B),

(AÚB)ºØ(ØAÙØB),

(AÚB)º((AÉB)ÉB).

ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Индуктивные умозаключения, полученные методами установления причинных связей Дж. Ст. Милля.

Метод сходства:

При условиях А В С D возникает событие а

При условиях Е G A R возникает событие а

При условиях F K A T возникает событие а

Вероятно, фактор А есть причина события a

Метод различия:

При условиях А В С D возникает событие а

При условиях В С D не возникает событие а

Вероятно, фактор А есть причина события a

Объединенный метод сходства и различия:

При условиях ABC возникает событие а

При условиях MFA возникает событие а

При условиях MBA возникает событие а

При условиях BC не возникает событие а

При условиях MF не возникает событие а

При условиях MB не возникает событие а

Вероятно, фактор А есть причина события a

Метод сопутствующих изменений:

При условиях А’ В С D возникает событие а’

При условиях А’’ В С D возникает событие а’’

При условиях А’’’ В С D возникает событие а’’’

Вероятно, фактор А есть причина события a

Метод остатков:

При условиях А В С возникают события аbc

В вызывает событие b

C вызывает событие c

Вероятно, фактор А есть причина события a

[1] ВНИМАНИЕ! Большое число источников по логике в рекомендуемом списке связано с тем, что весь учебный материал для не полного семестрового (18/34 часа) курса взаимно дополнителен и студент может использовать любой учебник! Ни один из приведённых в списке учебников по логике с учётом объема выделенных часов не устарел ни в научном, ни в учебно-методическом отношениях!

[2]

[3]