Информатика (стр. 2 )

e при e>0.

Метод Зейделя отличается от изложенного метода простой итерации тем, что при вычислении используются уже найденные на ом шаге значения , т. е. если то

где.

Пример.

Решить систему линейных уравнений методом Зейделя

e =0,0001

Решение.

Приведем систему к виду (2):

Нулевое приближение

Используя формулу итерационного процесса Зейделя, приведем систему к виду:

Получим приближение

Затем проведем последующие вычисления, сведя результаты в таблицу 4.2:

Таблица 4.2

Итерации	Х1	Х2	Х3
0	0	0	0
1	0.1000Е+01	0.1333Е+01	0.1133Е+01
2	0.1050Е+01	0.9473 Е+00	0.9889 Е+00
3	0.9896 Е+00	0.1005 Е+01	0.9999 Е+00
4	0.1001 Е+01	0.9999 Е+00	0.1000 Е+01
5	0.1000 Е+01	0.1000 Е+01	0.1000 Е+00

Как видно из таблицы, требуемая точность достигнута уже на пятом шаге. Это показывает, что метод Зейделя сходится довольно быстро.

ЗАДАЧА 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Рассмотрим один из наиболее известных и широко применяемых прямых методов решения систем линейных уравнений. Обычно этот метод называют методом исключения или методом Гаусса.

Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим сначала систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

(4.27)

В такой системе по крайней мере один из коэффициентов ,,должен быть отличен от нуля, иначе бы мы имели бы дело в этих трех уравнениях только с двумя неизвестными. Если , то можно переставить уравнения так, чтобы коэффициент при в первом уравнении был отличен от нуля. Очевидно, что перестановка уравнений оставляет систему неизменной: ее решение остается прежним.

Теперь введем множитель .

Умножим первое уравнение системы (4.27) на и вычтем его из второго уравнения системы. («Первое» и «второе» уравнения берем уже после перестановки, если она была необходима). Результат вычитания равен:

Так как

,

фактически исключается из второго уравнения (именно для достижения такого результата и было выбрано значение ).

Определим теперь новые коэффициенты

.

Тогда второе уравнение системы приобретает вид

(4.28)

Заменим второе из первоначальных уравнений уравнением (4.28) и введем множитель для третьего уравнения

.

Умножим первое уравнение на этот множитель и вычтем его из третьего. Коэффициент при снова становится нулевым, и третье уравнение приобретает вид

(4.29)

где

.

Если теперь в исходной системе уравнений (4.27) заменить третье уравнение на (4.29), то новая система выглядит так:

(4.30)

Эти новые уравнения полностью эквивалентны исходным уравнениям с тем преимуществом, что входит только в первое уравнение и не входит ни во второе, ни в третье. Таким образом, два последних уравнения представляют собой систему из двух уравнений с двумя неизвестными; если теперь найти решение этой системы, т. е. определить и , то результат можно подставить в первое уравнение и найти . Иначе говоря, задача сведена к решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Попытаемся теперь исключить из двух последних уравнений. Если, то снова мы переставим уравнения так, чтобы было отлично от нуля (если и , то система вырождена и либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесчисленное множество решений).

Введем новый множитель

.

Умножим второе уравнение полученной системы (4.30) на и вычтем его из третьего. Результат вычитания равен

В силу выбора

.

Полагая, что

окончательно получим

(4.31)

Третье уравнение полученной системы (4.30) можно заменить уравнением (4.31), после чего система уравнений приобретает следующий вид:

(4.32)

Такая система уравнений (4.32) иногда называется треугольной из-за своего внешнего вида.

Для решения необходимо определить из третьего уравнения системы (4.32), подставить этот результат во второе уравнение и определить. Полученные значения и подставить в первое уравнение и определить. Этот процесс, который обычно называется обратной подстановкой (обратный ход), определяется формулами:

(4.33)

.

Необходимо отметить, если , то система уравнений вырождена.

Пример.

Дана система уравнений:

Найти решение системы уравнений.

Решение.

Легко убедиться, что множители для второго и третьего уравнений равны 2 и 1. После исключения из второго и из третьего уравнений, новый множитель, исключающий из третьего уравнения, равен –2. Треугольная система уравнений имеет вид

Из последнего уравнения , из второго , из первого. Можно подставить эти значения в исходные уравнения и убедиться, что они точно удовлетворяютcя.

Теперь можно обобщить этот метод на случай системы из n – уравнений с n-неизвестными. Ниже записана система уравнений, приведенная к треугольному виду (4.34).

(4.34)

Формулы для вычисления неизвестных (обратный ход) будут иметь вид:

(4.35)

ЗАДАЧА 7. ЗАДАЧА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ УЧАСТКА

Задачу вычисления площади участка сведем к задаче вычисления определенного интеграла вида: .

В этом случае площадь участка S должна ограничиваться осью X, двумя отрезками, проведенными из точек a и b перпендикулярно оси Х, и произвольной кривой , соединяющей концы отрезков (рис.4.7).

 

Рис.4.7.

В реальной жизни подобная площадь может быть площадью садового участка, ограниченного просекой и боковыми линиями разграничения с соседями, а с тыльной стороны - ручьем или оврагом, или склоном холма и т. п.

Для вычисления площади подобного участка первоначально необходимо определить математическую функцию, описывающую линию ручья (оврага). Найти математическую функцию, абсолютно точно описывающую произвольную кривую, как правило, невозможно, поэтому постараемся найти функцию, вид которой максимально приближается к фактической кривой.

Нахождение такой математической зависимости называется аппроксимацией функции. Найденную математическую функцию называют эмпирической, а значения, вычисленные по этой функции, называют теоретическими.

Искомую функцию построим в декартовых координатах (для упрощения построения можно считать, что начало координат находится на линии пересечения просеки с боковой стороной).

Первоначально необходимо выполнить несколько замеров от линии просеки до границы участка по ручью (оврагу). При этом, чем сложнее линия границы, тем большее должно быть количество замеров. Линии замеров должны быть строго параллельны оси Y. Результаты замеров сведем в таблицу 4.3:

Таблица 4.3

Точки по просеке, X	Xo	X1	X2	…	Xn-1	Xn
Расстояние до ручья, Y	Yo	Y1	Y2	…	Yn-1	Yn

В этом случае нахождение математической функции, описывающей наши данные, называется аппроксимацией функции заданной таблично.

Чаще всего для аппроксимации таблично заданной функции используется метод наименьших квадратов, тогда искомая аналитическая зависимость будет иметь вид:

, (4.36)

где искомые коэффициенты эмпирической функции F.

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов разности между вычисленным теоретическим значением функции в точке Xi и фактическим (измеренным) значением Yi в этой точке будет минимальна. Поясним геометрический смысл этого метода.

Рис.4.7

Каждая пара чисел (Xi,Yi ) из исходной таблицы определяет точку Мi на плоскости XOY (рис.4.Используя формулу (4.36) с различными значениями коэффициентов , можно построить множество кривых, которые будут являться графиками эмпирических функций .

Разности называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек Mi до графика эмпирической функции.

Как было сказано выше, по методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной теоретической функции от заданных фактических значений минимальна. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов (т. е. в выборе одной кривой из множества) таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

(4.37)

Построение эмпирических формул состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

На первом этапе большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат. По положению точек можно примерно угадать вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

На втором этапе для того, чтобы найти набор коэффициентов , при которых достигается минимум, определяемый формулой (4.37), используют необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получают нормальную систему для определения коэффициентов ai (i=1, 2, ...m):

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (4.36) линейна относительно параметров ai. Тогда для определения коэффициентов ai необходимо решить систему из m-линейных уравнений, в которую искомые коэффициенты входят в качестве неизвестных.

В случае аппроксимации табличных данных простыми, широко известными математическими зависимостями, для построения графика эмпирической функции и вычисления коэффициентов ai можно воспользоваться средствами табличного процессора MS Excel. Решение этой задачи в MS Excel называется построением линии тренда. Построив в MS Excel на точечном графике огибающую линию, выбрав тип аппроксимирующей функции и построив линию тренда с выводом на экран аппроксимирующей функции, мы получаем фактически график нашего участка и подынтегральную функцию для вычисления площади участка.

Вычисление интеграла следует провести численным методом (методом трапеции или методом Симпсона) по программе, составленной самостоятельно. Проверить правильность вычисления, проведя ручной счет или вычислив интеграл в среде MathCad (MathSoft Apps).

Существует довольно много численных методов вычисления определенного интеграла. Предлагаемые методы: метод трапеций и метод Симпсона сводятся к вычислению конечных сумм и, с точки зрения вычислительного алгоритма, являются довольно простыми.

Как известно, величина определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией , осью абсцисс и двумя прямыми x=a и x=b.

При вычислении интеграла методом трапеций отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных частей, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей образовавшихся прямолинейных трапеций и вычисляется, соответственно, по формуле:

, (4.38)

где величина отрезка разбиения , значение аргумента в i-той точке определяется по формуле , значение подынтегральной функции в точках разбиения .

Таким образом, вычисление приближенного значения определенного интеграла по методу трапеций при заданном числе разбиений n сводится к вычислению конечной суммы.

При вычислении приближенного значения интеграла методом Симпсона отрезок интегрирования [a, b] также разбивается на n равных частей, при этом количество частей должно быть обязательно четным, и на каждом отрезке [] подынтегральная функция заменяется параболой, проходящей через точки .

Записав уравнение параболы в виде интерполяционной формулы Ньютона и проинтегрировав это выражение, окончательно получим формулу:

, (4.39)

известную под названием формулы Симпсона.

Как и в методе трапеций, величина отрезка разбиения , значение аргумента в i-той точке определяется по формуле , значение подынтегральной функции в точках разбиения . Значения подынтегральной функции в точках разбиения должны суммироваться (по формуле Симпсона) с различными коэффициентами: в четных точках с коэффициентом 2, а в нечетных с коэффициентом 4. Это достигается за счет использования переменной , которая принимает значения по правилу:

Можно видеть, что вычисление приближенного значения определенного интеграла по методу Симпсона при заданном числе разбиений n сводится к вычислению конечной суммы.

5. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

ЗАДАЧА 1.

ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Каждый вариант содержит два задания: А и В.

Вариант 1

А) X1 = 4608.35 Y1 = 4159.05

X2 = 5267.01 Y2 = 2501.18

В) X1 = 4299.05 Y1 = 10859.16

X2 = 2727.40 Y2 = 10590.88

Вариант 2

А) X1 = 5119.94 Y1 = 6157.33

X2 = 7182.27 Y2 = 4976.39

В) X1 = 10932.84 Y1 = 6112.26

X2 = 9115.24 Y2 = 4903.68

Вариант 3

А) X1 = 6043.54 Y1 = 5872.27

X2 = 3906.25 Y2 = 6112.51

В) X1 = 5344.70 Y1 = 5822.16

X2 = 7059.24 Y2 = 4924.57

Вариант 4

А) X1 = 6237.20 Y1 = 4199.42

X2 = 7911.41 Y2 = 3185.12

В) X1 = 4420.58 Y1 = 6084.74

X2 = 2573.32 Y2 = 5163.12

Вариант 5

А) X1 = 4608.35 Y1 = 4159.05

X2 = 5267.01 Y2 = 2501.18

В) X1 = 4299.05 Y1 = 10859.16

X2 = 2727.40 Y2 = 10590.88

Вариант 6

А) X1 = 10539.37 Y1 = 9193.08

X2 = 10323.90 Y2 = 11613.77

В) X1 = 2019.52 Y1 = 2839.30

X2 = 1300.40 Y2 = 4821.91

Вариант 7

А) X1 = 7837.27 Y1 = 3002.65

X2 = 8906.52 Y2 = 1540.51

В) X1 = 7933.79 Y1 = 7152.79

X2 = 6430.38 Y2 = 7849.55

Вариант 8

А) X1 = 8520.94 Y1 = 2400.47

X2 = 8182.44 Y2 = 4596.56

В) X1 = 11637.02 Y1 = 6391.67

X2 = 11907.65 Y2 = 4022.91

Вариант 9.

А) X1 = 6813.83 Y1 = 8994.60

X2 = 7582.40 Y2 = 7617.18

В) X1 = 8711.50 Y1 = 10594.55

X2 = 9372.01 Y2 = 8228.44

Вариант 10

А) X1 = 7176.03 Y1 = 4569.23

X2 = 6931.29 Y2 = 6097.46

В) X1 = 9204.90 Y1 = 11810.88

X2 = 7532.72 Y2 = 11589.42

ЗАДАЧА 2.

Прямая угловая засечка. Вычисление координат точек из трех комбинаций

Вариант 1

№ пп	X, м	Y, м	B1, DDD MM SS	B2, DDD MM SS
1	5960.42	5412.21	80 42 57
2	5639.25	5101.87	40 46 47	55 14 43
3	5194.43	5474.52		76 23 55

Вариант 2

№ пп	X, м	Y, м	B1, DDD MM SS	B2, DDD MM SS
1	5935.51	5441.24	98 4 30
2	5687.41	5172.76	63 0 12	41 54 46
3	5142.93	5460.08		54 19 48

Вариант 3