Теория случайных процессов (стр. 4 )

Определение 5 (слабая сходимость). Последовательность распределений () случайных величин называется слабо сходящейся к случайной величины и обозначается , если имеем

.

Определение 6 (сходимость по вариации). Говорят, что сходится по вариации к при , если

7.2. Среднеквадратическая сходимость из группы А

Используемые типы сходимости случайных величин позволяют ввести в пространстве всевозможных случайных величин вероятностную метрику , такую, что сходимость последовательности случайных величин эквивалентна сходимости .

Определение 7. Вероятностной метрикой в называется каждый неотрицательный функционал , определенный на множестве совместных распределений пар случайных величин и обладающий следующими свойствами

1) ;

2) ;

3) .

Рассмотрим множество случайных величин (на некотором вероятностном пространстве ), для которых . Это множество случайных величин образует гильбертово пространство H со скалярным произведением, определяемым по формуле

. (3.1)

Введем норму случайной величины по формуле:

. (3.2)

Если взять в качестве случайной величины , то определяет расстояние между и в рассматриваемом гильбертовом пространстве. Кроме того, определяет так называемую среднеквадратическую метрику (с. к. метрику):

. (3.3)

Определение 8. Говорят, что последовательность случайных величин сходится к в среднеквадратическом смысле, если

.

Перейдем к рассмотрению сходимости случайных процессов.

Определение 9. Пределом последовательности случайных процессов (если таковой существует) называется случайный процесс

. (3.4)

Определение 10. Пределом случайного процесса при в смысле с. к. сходимости называется случайная величина

. (3.5)

Предельный переход можно понимать в смысле Гейне, т. е. рассматривать произвольную последовательность и вводить последовательность случайных величин . Тогда предел в (1.5) можно записать в виде

.

Теорема 1. Если существует предел скалярного случайного процесса при , , равный случайной величине , то существует предел скалярной функции при , и этот предел равен .

Доказательство.

нужно доказать, что

.

Имеем

Здесь мы применили известное неравенство .

Напомним, что гильбертово пространство есть полное нормированное пространство (норма определяется скалярным произведением (3.1)) , т. е. всякая фундаментальная последовательность случайных величин имеет в H предел.

Теорема 2 (необходимое и достаточное условие существования предела для случайного процесса). Скалярный случайный процесс , имеет предел при тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

Контрольные вопросы для самопроверки

1.  В каком случае говорят, что случайные величины относятся к одному классу эквивалентности?

2.  Какие процессы называются стохастически эквивалентными?

3.  Что понимают под термином «вероятностная метрика»?

4.  Как вводится среднеквадратическая метрика?

5.  Что есть предел последовательности случайных процессов?

6.  Что понимают под термином «предел случайного процесса»?

7.  Каковы необходимые и достаточные условия существования предела случайного процесса?

§8. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайных процессов

8.1. Стохастическая непрерывность случайных процессов

Определение 11. Скалярный случайный процесс второго порядка , (т. е., ) называется непрерывным в точке , если существует предел

. (3.6)

Или

,

т. е. случайный процесс сходится в точке к случайной величине .

Определение 12. Говорят, что скалярный случайный процесс второго порядка , непрерывен на , если он непрерывен в каждой точке .

Пример 1. Покажем, что пуассоновский случайный процесс непрерывен.

Покажем его непрерывность в некоторой точке .

Для дальнейшего упрощения полученного выражения найдем сумму ряда . Для этого проинтегрируем его почленно

.

Отсюда

.

Таким образом,

и, согласно определению 11, пуассоновский процесс непрерывен в любой точке множества и, следовательно, согласно определению 12, непрерывен на .

Теорема 3 (необходимое и достаточное условие непрерывности случайного процесса). Скалярный случайный процесс второго порядка непрерывен на тогда и только тогда, когда на непрерывно его математическое ожидание и на диагонали декартового произведения непрерывна его корреляционная функция .

8.2. Дифференцируемость случайного процесса

Определение 13. Скалярный случайный процесс второго порядка называется дифференцируемым в точке , если существует такая случайная величина , для которой

. (3.7)

При этом случайная величина называется его производной в этой точке.

Определение 14. Если скалярный случайный процесс второго порядка является дифференцируемым в каждой точке открытого множества , то его называют дифференцируемым на множестве .

Теорема 4 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости случайного процесса). Для того, чтобы скалярный случайный процесс второго порядка был дифференцируемым в точке , а для случайной величины существовало математическое ожидание и дисперсия, необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируема в этой точке и существовала вторая обобщенная смешанная производная от корреляционной функции при .

Следствие 1. Для дифференцируемого на множестве T скалярного случайного процесса второго порядка с математическим ожиданием и корреляционной функцией определен скалярный случайный процесс , и при этом, если скалярный случайный процесс есть процесс второго порядка, то

1) ;

2) .

Если к тому же еще и стационарный процесс, то

1) ;

2) .

Пример 2. Покажем, что пуассоновский процесс стохастически непрерывен, но не дифференцируем.

Действительно, пусть = - пуассоновский случайный процесс с параметром . Согласно определению, пуассоновского процесса имеет место независимость случайных величин и , которые распределены по Пуассону с параметрами и соответственно.

Если существует предел (3.7), а пространство полное, то по критерию Коши последовательность фундаментальна, если и только если она сходится.

Проверим, является ли последовательность фундаментальной, т. е. выполняется ли условие

. (3.8)

Возводя разность дробей в квадрат (3.8), можно переписать в виде суммы трех пределов. Учитывая, что, а пуассоновский процесс – процесс с независимыми приращениями, математическое ожидание от произведения дробей (случайных величин, пропорциональных приращениям случайного процесса на непересекающихся временных интервалах) в (3.8) «разваливается» на произведение соответствующих средних величин, которое, как нетрудно видеть, равно . Два оставшихся члена однотипны, и могут быть вычислены достаточно просто

Учитывая, что

находим

Суммируя все сказанное, приходим к следующему выражению для математического ожидания в левой части (3.8)

Следовательно, можно выбрать последовательность с и не являющуюся фундаментальной. Тогда, согласно критерию Коши, предела (3.8) не существует, и следовательно, процесс не дифференцируем.

8.3. Интегрируемость случайного процесса

Определение 15. Скалярный случайный процесс второго порядка =[a,b] называется интегрируемым на T с весом , где - неслучайная (регулярная) функция, определенная на декартовом произведении , если существует скалярный случайный процесс : разбиения , диаметр которого , и выборки выполняется условие

(3.9)

или, что то же самое, если

.

При этом случайную функцию обозначают как

. (3.10)

Теорема 5 (необходимое и достаточное условие интегрируемости случайного процесса). Скалярный случайный процесс второго порядка интегрируем на множестве T с весом тогда и только тогда, когда интегрируемо с весом его математическое ожидание и на декартовом произведении с весом интегрируема его корреляционная функция.

Следствие 1. Если , =[a,b] с весом интегрируемый на T скалярный случайный процесс второго порядка, и

,

то

,

,

.

Следствие 2. Если , - скалярный случайный процесс, представляемый в виде

,

где - интегрируемый случайный процесс второго порядка, то - дифференцируемый процесс на множестве T, и при этом .

Следствие 3. Если скалярный случайный процесс второго порядка , интегрируем на множестве T с весом , то взаимная корреляционная функция имеет вид

,

причем

.

Вывод (из пунктов : линейные операторы умножения на неслучайную функцию, дифференцирование и интегрирование с весом коммутируют (перестановочны) с оператором математического ожидания.

8.4. Эргодичность случайных процессов

Определение 16. Скалярный случайный процесс второго порядка , =[0,l], интегрируемый на множестве T с весом = и обладающий постоянным математическим ожиданием, называют эргодическим по отношению к математическому ожиданию , если справедливо

, (3.11)

т. е., если

. (3.11а)

Эргодические процессы играют большую роль в различных приложениях. Фактически соотношения (3.11), (3.11а) означают, что среднее во времени для таких процессов - равно среднему по ансамблю реализаций - . Т. е., для нахождения среднего достаточно продолжительного наблюдения за одной реализацией случайного процесса, что бывает удобно при различного рода экспериментальных исследованиях.

Теорема 6 (критерий интегрируемости с весом скалярного случайного процесса). Пусть =[0,l] - скалярный случайный процесс второго порядка, интегрируемый на множестве T с весом , где - неслучайная функция, определенная на T. Тогда

,

если и только если существует и равен нулю предел

.

Следствие. Пусть в условии теоремы =, , тогда необходимым и достаточным условием эргодичности случайного процесса в отношении является

.

Контрольные вопросы для самопроверки

1.  Какие процессы называются стохастически непрерывными?

2.  Должны ли стохастически непрерывные процессы иметь непрерывные реализации? Приведите пример.

3.  Сформулируйте необходимое и достаточное условие стохастической непрерывности случайного процесса.

4.  Какие случайные процессы называются дифференцируемыми?

5.  Сформулируйте необходимое и достаточное условие дифференцируемости случайного процесса.

6.  Чему равно математическое ожидание производной стационарного случайного процесса?

7.  Где в доказательстве недифференцируемости пуассоновского процесса используется то, что он является процессом с независимыми приращениями?

8.  Сформулируйте критерий Коши. Какая последовательность случайных величин является фундаментальной?

9.  Какой случайный процесс называется интегрируемым с весом?

10.  Верно ли, что оператор математического ожидания коммутирует с оператором интегрирования с весом?

11.  Какие случайные процессы называются эргодическими по отношению к математическому ожиданию?

12.  Сформулируйте необходимое и достаточное условие эргодичности случайного процесса.

§9. Стохастическая мера и стохастический интеграл

9.1. Стохастическая мера

Определение 17. Пусть T – конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида задана случайная функция со значениями в гильбертовом пространстве H случайных величин : . И пусть далее обладает следующими свойствами:

1)  для двух непересекающихся полуинтервалов и случайные величины и ортогональны, т. е. (,)=0 или

;

2) (дизъюнктивное объединение);

3) .

Обобщим соотношение в 3). Рассмотрим

(Ǿ ).

Отсюда

.

Введем теперь понятие стохастического интеграла от неслучайной функции по стохастической мере. Мы определим этот интеграл как предел последовательности интегралов от кусочно-постоянных функций , аппроксимирующих , показав перед этим, что такие интегралы существуют.

1)  Пусть - вещественная кусочно-постоянная функция (т. е. при ). Определим интеграл от кусочно-постоянной функции как стохастическую сумму

. (3.12)

Тогда квадрат нормы такого интеграла равен обычному риманову интегралу

(3.13)

Попутно заметим, что

.

Отметим, что все вышесказанное верно и для случая комплексной функции . Если функция комплексная, то нужно лишь использовать комплексное сопряжение.

2)  Определим теперь такой же интеграл для произвольной неслучайной функции на T, (интегрируема на T), допускающей аппроксимацию кусочно-непрерывными функциями

. (3.14)

Если выполняется (3.14), то согласно критерию Коши последовательность фундаментальна, и имеет место предел

.

Рассмотрим теперь последовательность интегралов . Докажем, что эта последовательность имеет предел. Для этого покажем, что это последовательность фундаментальна. Имеем

Следовательно, действительно фундаментальная последовательность. Но тогда, согласно критерию Коши, она имеет предел.

Определение 18. Стохастическим интегралом от неслучайной функции по стохастической мере будем называть предел

(3.15)

где- диаметр разбиения – .

9.2. Стохастический интеграл Ито и стохастический дифференциал

Распространим понятие стохастического интеграла (3.15) на случай случайной функции

. (3.16)

Кроме того, стохастическую меру будем выбирать так, чтобы выполнялось условие

. (3.17)