1) Введем случайную кусочно-постоянную функцию на полуинтервалах 
:
. (3.18)
Тогда определим для функций (3.18) стохастический интеграл как сумму
. (3.19)
2) Рассмотрим случайную функцию 
, которая может быть аппроксимирована последовательностью 
кусочно-постоянных функций.
Для таких функций имеем
.
Рассмотрим некоторую последовательность интегралов 
. Для нее справедливо:
.
Действительно, по аналогии с (3.13) можно показать, что
.
Следовательно, рассмотренная последовательность интегралов фундаментальна, и значит, согласно стохастическому критерию Коши, имеет предел. Этот предел и называется стохастическим интегралом от случайной функции по стохастической мере с ортогональными значениями
. (3.20)
Пусть стохастическая мера определена соотношением
, (3.21)
т. е. равна приращению винеровского процесса. Если в (3.20) заменить 
на 
, то интеграл в (3.20) будет называться стохастическим интегралом от случайной функции по винеровскому процессу.
Стохастические интегралы Ито и Стратоновича
Рассмотрим стохастический интеграл, образованной суммой вида
, (3.22)
где значение подынтегральной функции берется на левом конце интервала разбиения, а 
- стандартный винеровский процесс. Такой интеграл будем называть интегралом Ито. Отметим, что в отличии от стохастических интегралов от неслучайной функции, рассмотренных нами в п.9.1, значение стохастического интеграла от случайной функции зависит от выбора выборки: если брать значения функции 
на левом или правом краях полуинтервала 
, то соответствующие значения интегралов будут разными.
В качестве альтернативы интегралу Ито наиболее часто рассматривают интеграл Стратоновича, определяемый по формуле:
(3.23)
Удобство интеграла Стратоновича заключается в том, что с ним можно обращаться как с обычным римановым интегралом: интегрировать по частям, дифференцировать по параметру и т. д.
Можно показать [4], что стохастический интеграл от винеровского процесса, вычисленный по Ито и Стратоновичу принимает следующие значения
Мы будем использовать обозначения: dw(s) для дифференциала в интеграле Ито и d*w(s) для дифференциала в интеграле Стратоновича.
Стохастический дифференциал и его связь с задачей об эволюции состояния динамической системы при случайных внешних воздействиях
Эволюцию состояния детерминированной динамической системы при заданных внешних воздействиях 
обычно описывают в виде задачи Коши для вектора состояния 
, компонентами которого являются изменяющиеся во времени параметры системы:
(3.24)
В реальных задачах часто не удается с достаточной степенью точности описать внешние воздействия. Отклонения реальных воздействий от их модельных значений задают в виде случайной функции – шума 
, записывая динамическое уравнение (3.24) в виде
. (3.25)
Далее обращаются к моделям шумов. Наибольшее распространение (далее станет понятно почему) получила модель белого шума – случайного процесса, интеграл по интервалу времени для компонент которого определяется приращением винеровского процесса
. (3.26)
Объединяя (3.25) и (3.26), для малых 
получаем
(3.27)
Полученное уравнение называют стохастическим дифференциальным уравнением или стохастическим дифференциалом.
Определение 19. Говорят, что случайная функция 
имеет стохастический дифференциал и пишут
, (3.28)
если 
представима в виде
.
9.3. Спектральное представление стационарных случайных процессов
Будем рассматривать стационарные в широком смысле процессы, допускающие интегральное (спектральное) представление вида
,
где 
- стандартная стохастическая мера с ортогональными значениями на прямой 
и
, 
. (3.30)
Неслучайная функция 
удовлетворяет условиям
Таким образом, (3.29) – стохастический интеграл, представляющий собой сумму гармоник 
, взятых с неслучайным весом . Стохастику же 
порождает стохастическая мера .
- регулярная функция параметра 
получила название спектральной плотности случайного процесса .
Если
,
т. е. - центрированный случайный процесс, тогда
.
Последнее равенство получено с помощью (3.29),(3.30), и представляет собой комплексное преобразование Фурье для спектральной плотности случайного процесса . Другими словами, корреляционная функция и спектральная плотность процесса связаны друг с другом преобразованием Фурье
(3.31)
Если случайный процесс вещественный, то 
и
. (3.31а)
Формулы (3.30) и (3.31а) отражают содержание теоремы Винера-Хинчина, связывающей корреляционную функцию со спектром.
9.4. Стохастические дифференциальные уравнения и уравнение Колмогорова для марковских процессов с непрерывным пространством состояний
Рассмотрим случайный процесс такой, что:
. (3.32)
Здесь
и 
- некоторые известные функции, обладающие рядом перечисленных ниже свойств. Сформулируем без доказательства важную теорему, описывающую свойства процесса .
Теорема 7 (Дуба). Пусть функции и измеримы и удовлетворяют локальному условию Липшица, т. е.
имеем 
.
Тогда решение (3.32) с начальным условием 
единственно с точностью до стохастической эквивалентности.
При этом:
1) непрерывна почти наверное,
2) - марковский случайный процесс,
3) если и непрерывны по t, то - диффузионный процесс.
Диффузионный процесс – непрерывный марковский процесс с переходной плотностью вероятности, удовлетворяющей следующим условиям: существуют функции 
и 
, называемые соответственно коэффициентами сноса и диффузии, такие, что для любого 
выполняются соотношения
Важнейшим представителем этого класса процессов является процесс броуновского движения, впервые рассмотренный как математическая модель процессов диффузии, и определивший название всего класса.
Для всякого диффузионного марковского процесса с непрерывным пространством состояний можно построить уравнение Колмогорова – Фоккера – Планка подобно тому, как это делалось для процессов с дискретным спектром.
Т. е. для переходной вероятности имеет место дифференциальное уравнение
Если известно 
, то, используя очевидное соотношение
,
можно перейти к уравнению Колмогорова – Фоккера – Планка для плотности вероятности обнаружения процесса в состоянии 
. (3.33)
Таким образом, в ряде случаев, описываемых теоремой 7, мы можем получить информацию (безусловно, не всю) о свойствах решения стохастического дифференциального уравнения (3.32), решая более простую задачу, связанную с решением дифференциального уравнения второго порядка в частных производных.
Контрольные вопросы для самопроверки
1. Перечислите свойства, которыми обладает стохастическая мера.
2. Как вводится стохастический интеграл от неслучайной функции по стохастической мере?
3. Как вводят стохастическую меру для интеграла Ито?
4. Чем стохастический интеграл Стратоновича отличается от интеграла Ито?
5. Что представляет собой стохастический дифференциал?
6. Как выглядит спектральное представление случайного процесса?
7. Что называют спектральной плотностью случайного процесса?
8. Сформулируйте содержание теоремы Винера-Хинчина.
9. Какой случайный процесс называют диффузным?
10. Сформулируйте основные результаты теоремы Дуба.
11. Запишите уравнение Колмогорова – Фоккера – Планка для переходной вероятности.
12. Проделайте переход к уравнению Колмогорова – Фоккера – Планка для плотности вероятности обнаружения процесса в заданном состоянии.
Литература
1. А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986.
2. , А. Н. Теория случайных процессов. - М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний, 2003.
3. Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Физматлит, 1975.
4. , , Теория случайных процессов. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.
5. , В. Введение в теорию случайных процессов. -
М.: Наука, 1965.
6. В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1969.
7. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М.: МИР, 1971.
8. Кемени Джон Дж., Снелл Дж. Лори. Конечные цепи Маркова. - М.: Наука, 1964.
9. , Л. Теория восстановления. - М.: Сов. радио, 1967.
10. , Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. - М.: Физматлит, 2002.
11. С. Теория случайных функций. - М.: Физматлит, 1962.
12. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. - М.: Наука, 1989.
13. А. Случайные процессы. Краткий курс. - М.: Наука, 1971.
14. Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова. - М.: Мир, 1964.
Оглавление
Глава 1 | Основные понятия и определения……………………………... | 3 | ||
§1. | Основные понятия теории вероятностей……………………. | 3 | ||
1.1 | Вероятностное пространство…………………………… | 3 | ||
1.2 | Аксиоматическое определение вероятности (аксиоматика Колмогорова)…………………………….. | 4 | ||
1.3 | Случайные величины……………………………………. | 5 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки……………… | 6 | |||
§2. | Случайные функции и случайные процессы………………… | 7 | ||
2.1 | Определение случайного процесса……………………… | 7 | ||
2.2 | Предварительная классификация случайных процессов.. | .7 | ||
2.3 | Способы задания, описания случайных процессов…….. | 8 | ||
2.4 | Стохастически эквивалентные случайные процессы….. | 10 | ||
2.5 | Элементарные случайные процессы……………………. | 10 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки……………… | 12 | |||
§3. | Числовые характеристики случайного процесса……………. | 12 | ||
3.1 | Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса…………………………………………………… | 12 | ||
3.2 | Корреляционная функция случайного процесса……….. | 14 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки………………. | 16 | |||
§4. | Основные классы случайных процессов……………………… | 17 | ||
4.1 | Стационарные случайные процессы…………………… | 17 | ||
4.2 | Гауссовы (нормальные) случайные процессы…………. | 18 | ||
4.3 | Процессы с независимыми приращениями……………. | 20 | ||
4.4 | Марковские случайные процессы……………………… | 22 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки……………… | 23 | |||
Глава 2 | Марковские процессы с дискретным пространством состояний……………………………………………………………. | 23 | ||
§5. | Цепи Маркова…………………………………………………... | 23 | ||
5.1 | Определение цепи Маркова……………………………… | 23 | ||
5.2 | Уравнение Маркова……………………………………… | 24 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки………………. | 28 | |||
§6. | Дискретные марковские процессы…………………………… | 28 | ||
6.1 | Уравнение Колмогорова для дискретных марковских процессов…………………………………………………. | 28 | ||
6.2 | Типовые дискретные марковские процессы……………. | 32 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки………………. | 37 | |||
Глава 3 | Элементы стохастического анализа……………………………… | 37 | ||
§7. | Сходимость случайных процессов……………………………. | 38 | ||
7.1 | Сходимость случайных величин. Виды сходимости….. | 38 | ||
7.2 | Среднеквадратическая сходимость из группы А……….. | 39 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки……………… | 41 | |||
§8. | Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайных процессов………………………………………….. | 41 | ||
8.1 | Стохастическая непрерывность случайных процессов… | 41 | ||
8.2 | Дифференцируемость случайного процесса…………… | 42 | ||
8.3 | Интегрируемость случайного процесса………………… | 44 | ||
8.4 | Эргодичность случайных процессов…………………….. | 46 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки………………. | 47 | |||
§9. | Стохастическая мера и стохастический интеграл…………… | 48 | ||
9.1 | Стохастическая мера…………………………………….. | 48 | ||
9.2 | Стохастический интеграл Ито и стохастический дифференциал……………………………………………… | 50 | ||
9.3 | Спектральное представление стационарных случайных процессов…………………………………………………. | 52 | ||
9.4 | Стохастические дифференциальные уравнения и уравнения Колмогорова для марковских процессов с непрерывным пространством состояний……………………… | 54 | ||
Контрольные вопросы для самопроверки……………… | 55 | |||
Литература……………………………………………………………………… | 56 | |||
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
