Полигонометрические работы (стр. 3 )

Суммируя отдельные смещения конечной точки хода, получим поперечную невязку u'.

u'=∆u1'+∆u2'+….+∆un'. (13)

Подставим в выражение 13 значения отдельных смещений(12), получим

u'= (S1+ S2+…+ Sn)+ (S2+ S3+…+ Sn)+…+ Sn. (14)

Предположим

S1= S2=…= Sn =S.

Тогда (14) примет вид

u'= S∙n+S(n-1) +….+S. (15)

Переходя к СКО получим срюквю значение поперечной невязки

(mu')2=S2{n2+(n-1)2+…+12}, (16)

но 12+22+…+n2=. (17)

Тогда

(mu')2= , (18)

Преобразуем выражение. Умножим числитель и знаменатель правой части на n и положим, что

S∙n = L, тогда формула 18 примет вид

mu'= L (19)

Ср. кв. поперечная невязка зависит от длины хода, количества линий и точности измерения углов.

Лекция 7 Предварительные вычисления в полигонометрии:

1 Обработка результатов полевых измерений.

2

1ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛЕВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Начинают работу с проверки всех записей в полевых журналах включая и все вычисления, затем составляют рабочие схемы ходов.

При обработке журналов линейных измерений вычисляют длины линий по соответствующим формулам в зависимости от способа их измерения. Далее вычисляют горизонтальные проложения путём введения в измеренные линии поправки за наклон местности, вычисляемой по формуле

∆Sh= - (),

где h – превышение между конечными точками измеряемой линии;

l – длина измеряемой линии.

Полученные горизонтальные проложения линий необходимо спроектировать на плоскость в проекции Гаусса и привести к уровню моря.

Для получения линий в проекции Гаусса в горизонтальные проложения вводятся поправки, которые вычисляют по формуле

∆Sy = ,

где S'- горизонтальное проложение линии;

Ym – берётся с карты на район работ);

Rm – радиус земного шара = 6371 км.

Поправки ∆Sy всегда положительны, т. к. линия в проекции Гаусса больше, чем её измеренное значение на эллипсоиде.

Для приведения линии к уровню моря используют формулу

∆SH = -

где Hm – средняя высота измеренной линии над уровнем моря (берётся с карты на район работ).

Для большей части территории России поправка ∆SH отрицательна, а в районах, расположенных ниже уровня моря (Прикаспийская низменность) она положительна.

При обработке журналов измерения углов подсчитывают окончательные значения углов или средние значения приведённых направлений и производят оценку точности. При необходимости вводят поправки за центрировку и редукцию.

Предварительные вычисления в полигонометрии

Лекция 8 Передача и вычисление координат

Уравнивание полигонометрического хода любой формы, опирающегося на исходные пункты и направления

1 Определение числа избыточных измерений в полигонометрическом ходе.

2 Определение весов и обратных весов.

3 Уравнивание полигонометрического хода любой формы, опирающегося на исходные пункты и направления

Рисунок - Схема полигонометрического хода

Измерения: n – число сторон;

n+1 – число углов.

1 Определение числа избыточных измерений в полигонометрическом ходе.

Уравнивание начинают с подсчета числа избыточных измерений (условий), возникающих в ходе.

Как известно число избыточных измерений может быть подсчитано по формуле

r = n΄ - k, (1)

где n΄ - число всех измерений;

k – число необходимых измерений (число неизвестных)

При проложении полигонометрического хода измеряют n – сторон и n+1 углов, то есть производят всего измерений

n΄ = 2n + 1

Неизвестными, подлежащими определению в ходе, являются координаты его вершин. Всего пунктов в ходе n+1, но координаты двух из них Tн и Tк известны, следовательно, надо определить n + 1 - 2 = n – 1 пунктов.

Для каждого пункта надо найти X и Y – два неизвестных. Тогда общее число неизвестных будет равно:

k = 2 (n - 1)

Подставим найденные значения n΄ и k в формулу (1) и получим:

r = 2 n +1 – 2 (n – 1) = 3

То есть будет три избыточных измерения: это измерения улов и линии

2 Определение весов и обратных весов

3 Уравнивание полигонометрического хода любой формы, опирающегося на исходные пункты и направления

Каждое избыточное измерение приводит к математическому состоянию между истинными значениями измеренных величин, то есть в геодезической сети возникает r условий:

j=1, 2…r

т. е. здесь r функций или r уравнений:

Это исходная система условных уравнений связи.

Первое условие возникает из связи углов поворота с исходными начальным и конечным дирекционными углами. Оно может быть выражено так:

(1)

Второе и третье условие вытекают из связи приращений координат с исходными начальными и конечными координатами:

(2)

(3)

Штрихи y невязок и обозначают, что эти невязки получены по приращениям, вычисленным по измеренным углам.

В общем виде три условных уравнения поправок выглядят так:

(4)

где - неизвестные поправки к результатам измерений, которые надо найти, решив систему (4),

- коэффициенты при поправках.

Обозначили:

Частные производные от 1-ой функции

от 2-ой функции

от 3-ей функции

То есть

, где

- результаты измерений (n+1) углов и n сторон

т. е. для углов и

для сторон S

Найдем каждые частные производные от 1-ой функции:

(т. е. ) (5)

Тогда первое уравнение из системы (4) представим в виде:

(6)

Из (5) вытекает, что

;

Тогда формула (6) примет вид

(7)

Уравнение вида (7) называется условным уравнением поправок дирекционных улов.

Второе уравнение связи:

(8)

Величины , тогда уравнение (8) примет вид

(9)

; где

- это уравнение (9), а

- результаты измерений:

для углов i = 1, 2, 3…n+1,

для сторон i = 1, 2, 3…n.

В формуле (9) распишем значения . Их иначе можно представить как:

учитывая этот вывод и то, что , получим

Следовательно

(11)

Уравнение вида

в развернутом виде представим как

(12)

С учетом формул (10) и (11) выражение (12) примет вид:

(13)

Третье уравнение связи

(14)

представим в виде

(15)

(16)

3-е условное уравнение поправок в общем виде представим

где (17)

где - это уравнение (16),

а - результаты измерений

Если принять во внимание, что:

и что то

(18)

(19)

Уравнение (17) в развернутом виде:

По условным уравнениям вида:

Составляют таблицу коэффициентов условных уравнений. В графу 1 этой таблицы выписывают (n+1) – поправок в углы и n – поправок в линии; в графу 2 – обратные веса измеренных углов и линий.

и , в графы 3, 4 и 5 – коэффициенты условных уравнений при поправках, которые обозначают в 1ом уровне через , во втором – через , в третьем – через .

Общий вид таблицы коэффициентов условных и нормальных уравнений коррелат при уравнивании полигонального хода.

Поправки
		+1 +1 +1 . . . +1	. . .	. . .
		0 0 . . . 0

Далее в этой же таблице по коэффициентам условных уравнений составляют таблицу коэффициентов нормальных уравнений коррелат, общий вид которых представим как:

Выражения для коэффициентов нормальных уравнений коррелат должны включать в себя сумму произведений коэффициентов при поправках в углах и сумму произведений коэффициентов при поправках в линии, поэтому они состоят из двух слагаемых и имеют вид, представленный в таблице.

Нормальные уравнения коррелат решаются методом последовательного исключения неизвестных или другим способом и находят коррелаты и .

Установим веса:

Обратные веса

Так как число уравнений r = 3, то уравнение поправок выглядит следующим образом:

Установлено

То

Установлено:

То

Поправки в дирекционные углы получаются по поправкам по формуле

Уравненные углы, дирекционные углы и линии находят путем введения поправок в соответствующие измеренные значения.

Уравненные приращения координат находят по уравненным дирекционным углам и линиям.

Заключительным контролем при этом являются равенства