Методические указания и задания для выполнения контрольных работ для студентов всех специальностей и направлений заочной формы обучения (стр. 3 )

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

211.-220. Найти неопределенные интегралы.

211. а) ò exp(- 8x3)x2 dx ; б) ò xtg2x dx ; в) ò dx/(6x3–7x2–3x) .

212. а) ò tg(5x+3) dx ; б) ò ln(x2+1) dx ; в) ò (x3–1)/(4x3–x) dx .

213. а) ò ctg(2x–3) dx ; б) ò ln2x dx ; в) ò x2/(x3+5x2+8x+4) dx.

214. а) ò cos2(1+lnx)/x dx; б) ò arcsin2x dx ; в) ò (x3+1)/(x3–x2) dx .

215. а) ò cos4x×sin2x dx ; б) ò xarctgx dx ; в) ò (x2 + 1)/(x3+x2–x–1) dx .

216. а) б) ò ln3/x2 dx ; в) ò (x4+1)/(x3–x2+x–1) dx .

217. а) ò x/(3x + 2) dx ; б) в) ò x/(x3 – 3x + 2) dx.

218. а) ò ex/(e2x + 4) dx ; б) ò x∙ln((1 + x)/(1 – x) ) dx ; в) ò x/(x3- 1) dx.

219. a) ò e –x(e2x–1) dx ; б) ; в)

220. а) ò (3x – 1)/(x2 + 9) dx ; б) ò expdx ; в) ò x2/(x3 + x2 +x+1) dx.

221.-230. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

221. 222.

223. 224.

225. 226.

227. 228.

229. 230.

231.-240. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых даны.

231. y = 1/(1 + x2) , y = x2/2. 232. y = x2 , y = x3/3 .

233. y = ex , y = e – x , x = 1. 234. y2 = 2x + 1, x – y – 1 = 0.

235. y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48 . 236. y = x(x – 1)2, y = 0.

237. (y – x – 2)2 = 9x, x = 0, y = 0. 238. y = (x2 + 2x)e – x, y = 0.

239. x = y2(y – 1), x = 0. 240. y = x – x5/2, y = 0.

241.-250. Вычислить длины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.

241. y = x2/4 – 0,5lnx, 1 £ x £ 2.

242. x = 5(t – sint), y = 5(1 – cost), 0 £ t £ p.

243. r = ej, - p/2 £ j £ p/2.

244. y = –ln(cosx), 0 £ x £ p/6.

245. x = 3(2cost – cos2t), y = 3(2sint – sin2t), 0 £ t £ 2p.

246. r = 1 – sinj, - p/2 £ j £ - p/6 .

247. y = ln(x2 – 1), 2 £ x £ 3.

248. x = 4(cost + t∙sint), y = 4(sint – t cost), 0 £ t £ 2p.

249. r = 8cosj, 0 £ j £ p/4.

250. y = (e2x+e-2x+3)/4, 0 £ x £ 2.

Дифференциальные уравнения

251.-260. Найти общее решение дифференциального уравнения.

251. xy'-2y = x3ex. 252. (x+1)y'-2y = (x+1)4.

253. x2y'+2xy = cosx. 254. xy'+y = x+1.

255. y'cosx – ysinx = 4x3. 256. y'-ycosx = esinx.

257. x2 y'+2xy = 1. 258. y'+2xy = 2x exp(-x2).

259. 2xy'-y = 2x3/2cosx. 260. y'+ytgx = 2xcosx.

261.-270. Найти общее решение дифференциального уравнения.

261. y"y3=1. 262. y"'=(y")3.

263. y" (x-1)-y'=x(x-1)2. 264. (1+x2)y"+1+(y')2=0.

265. yy"+(y')2=0. 266. xy"=y'ln(y'/x).

267. (1-x2)y"=xy'. 268. y"x+y'=x2.

269. xy"'+y"=1+x. 270. y"=-(x/y').

271.-280. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

271. y"-9y=e-2x; y(0)=0, y'(0)=0.

272. y"-4y=x-1; y(0)=0, y'(0)=0.

273. y"+2y'+y=cosx; y(0)=0, y'(0)=0.

274. y"+3y'+2y=1+x+x2; y(0)=0, y'(0)=1.

275. y"+2y'+5y=13e2x; y(0)=1, y'(0)=4.

276. y"+2y'-8y=16x+4; y(0)=2, y'(0)=6.

277. y"+4y'-12y=8sin2x; y(0)=0, y'(0)=0.

278. y"-4y'+13y=26x+5; y(0)=1, y'(0)=0.

279. y"+y=cos3x; y(p/2)=4, y'(p/2)=1.

280. y"-4y'+3y=e5x; y(0)=3, y'(0)=9.

281.-290. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения.

281. x1'+x1-3x2=0, x2'-2x1=0. 282. x1'-4x1+x2=0, x2'+2x1-5x2=0.

283. x1'-x1+2x2=0, x2'+3x1-6x2=0. 284. x1'+5x1+4x2=0, x2'+2x1+3x2=0.

285. x1'-6x1-3x2=0, x2'+8x1+5x2=0. 286. x1'-3x1+2x2=0, x2'-2x1-8x2=0.

287. x1'+5x1+8x2=0, x2'+3x1+3x2=0. 288. x1'-x1+x2=0, x2'-x1-x2=0.

289. x1'+4x1-x2=0, x2'+2x1+x2=0. 290. x1'+x2=0, x2'+3x1-2x2=0.

291. Найти интегральную кривую уравнения y"-k2y=0 (k¹0), которая касается прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).

292. Тело массой m падает с высоты h под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости с коэффициентом k. Начальная скорость тела равна нулю. Найти закон движения тела.

293. Тело массой m скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость v0. На тело действует сила трения, равная –km. Найти расстояние, которое тело пройдет до полной остановки.

294. Найти интегральную кривую уравнения y"+k2y=0 (k¹0), касающуюся прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).

295. Найти уравнение кривой, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. Кривая проходит через точку (2;1).

296. Материальная точка массы m перемещается по прямой под влиянием внешней силы F=Asinwt и восстанавливающей силы. Восстанавливающая сила направлена к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональна расстоянию точки от начала отсчета с коэффициентом . Сопротивление среды отсутствует. Определить закон движения материальной точки, если при t=0 она находилась в начале отсчета с нулевой скоростью.

297. Найти уравнение кривой, подкасательная которой имеет постоянную длину a. Кривая проходит через точку (a;e).

298. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1), если отрезок касательной к кривой, заключенный между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy.

299. Найти уравнение кривой, у которой сумма координат точки касания равна удвоенной подкасательной. Кривая проходит через точку (1;2).

300. Найти интегральную кривую уравнения y¢sinx=ylny, проходящую через точку .

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

301.-310. Исследовать на сходимость ряд.

301. 302.

303. 304.

305. 306.

307. 308.

309. 310.

311.-320. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды.

311. . 312.

313. 314.

315. 316.

317. 318.

319. 320.

321.-330. Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x .

321. 322.

323. 324.

325. 326.

327. 328.

329. 330.

331.-340. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале функцию f(x). Построить график этой функции и график суммы полученного ряда Фурье.

331. в интервале (-1, 1).

332. в интервале (0, 3) по синусам.

333. в интервале (-p, p).

334. в интервале (-p, p).

-p/2, xÎ(-p, 0),

335. 0, x = 0, в интервале (-p, p).

p/4, x Î(0, p)

336. в интервале (-2, 2).

337. в интервале (0, 2p) по косинусам.

338. p/4 – x/2 в интервале (0, p) по синусам.

339. в интервале (-p, p).

340. (p – x)/2 в интервале (0, p) по синусам.

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

341.-350. Вычислив с помощью замены переменных двойной интеграл, найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

341. 

342. 

343. 

344. 

345. 

346. 

347. 

348. 

349. 

350. 

351.-360. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями, уравнения которых заданы.

351. 

352. 

353. 

354. 

355. 

356. 

357. 

358. 

359. 

360. 

361.-370. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной заданными поверхностями.

361. 

362. 

363. 

364. 

365. 

366. 

367. 

368. 

369. 

370. 

371.-380. Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль заданной линии. Для незамкнутых кривых ориентация соответствует возрастанию параметра t или переменной x. Для замкнутых кривых направление обхода предполагается положительным.

371.  L– отрезок прямой, от точки (0;0) до (p ;2p).

372.  L – дуга линии от точки (0;0) до точки (1;1).

373.  L – дуга линии от точки (0;0) до точки (1;1).

374.  L– дуга окружности

375.  L – эллипс

376.  L– дуга окружности

377.  L – линия , xÎ[-1;1].

378.  L – линия y = 1- |1-x|, xÎ[0;2].

379.  L– арка циклоиды

380.  L – окружность x2 + y2 = R2.

381.-390. Дано скалярное поле и векторное поле . Найти , и в точке .

381. 

382. 

383. 

384. 

385.  .

386.  .

387.  .

388.  .

389.  .

390.  .

391.-400. Найти поток векторного поля через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью ).

391. 

392. 

393. 

394. 

395. 

396. 

397. 

398. 

399. 

400. 

401.-410. Доказать потенциальность поля и найти его потенциал .

401. 

402. 

403. 

404. 

405. 

406. 

407. 

408. 

409. 

410. 

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ

411.-420. Восстановить аналитическую функцию f(z) = u+iv по заданной действительной или мнимой части.

411. . 412. . 413. .

414. . 415. . 416. .

417. . 418. . 419. .

420. .

421.-430. Найти все особые точки функции и определить их характер. Разложить в ряд Лорана в указанном кольце.

421. .

422. .

423. .

424.

425.

426.

427.

428. .

429.

430. .

431.-440. Средствами операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

431. x¢¢ + 2x¢ –3x = e - t, x(0) = 0, x¢(0) = 1.

432. x¢¢ + 2x¢ = t sin t, x(0) = 0, x¢(0) = 0.

433. x¢¢ + 2x¢ + x = sin t, x(0) = 0, x¢(0) = –1.

434. x¢¢ + 2x¢ + x = t2, x(0) = 1, x¢(0) = 0.

435. x¢¢ + 2x¢ + 2x =1, x(0) = 0, x¢(0) = 0.

436. x¢¢ + x¢ = cos t, x(0) = 2, x¢(0) = 0.