Лабораторная работа 6
Построение эмпирической формулы
методом наименьших квадратов.
Цель работы. Для опытных данных, представленных в виде таблицы 
, подобрать такую аналитическую зависимость 
, которая бы приближенно выражала исследуемый процесс 
. Построить на координатной плоскости обе завиимости : 
и , дать их сравни-тельную оценку.
Теоретические положения. Если количество узлов интерполирова-ния 
велико, то получается высокая степень многочлена в случае интерпо-яции. Кроме того, данные могут содержать ошибки, которые при интерполи-ровании повторятся и 
будет искажена. В этом случае подбирается многочлен, график которого проходит не через заданные точки (
), а близко от них. Одним из эффективных методов такой реализации является среднеквадратическое приближение функции с помощью многочлена
, (1)
где 
.
На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (обычно m=1,2,3). Мерой отклонения от функции на множестве заданных точек () является величина
. (2)
Коэффициенты многочлена (1) надо подобрать так, чтобы S была минимальной. В этом и состоит метод наименьших квадратов.
Минимум функции S обычно находится, если приравнять нулю частные производные 
…
В результате получим систему линейных уравнений m-го порядка.
Для случая, когда m=1 имеем линейную зависимость :
, (3)
коэффициенты которой находятся из нормальной системы
,
. (4)
Если m=2, то представляет собой квадратный трехчлен:
, (5)
коэффициенты которого вычислим, решая систему
,
, (6)
,
например, методом Крамера.
Составление системы линейных уравнений для случая m=3, имея ввиду выражения (4) и (6), не представляет большой трудности и может быть выполнено студентом самостоятельно.
Порядок выполнения работы.
- в соответствии с заданным номером варианта, переписать таблицу опытных данных,
- во всех расчетах принять 
,
- по опытным данным определить “скрытую” зависимость , для чего нанести точки () на координатную плоскость и провести через них пунктирной линией наиболее вероятную функцию (прямую, параболу или кубическую параболу),
- после определения функции сделать вывод, например.
“вид зависимости КВАДРАТИЧНАЯ”,
- записать предполагаемую эмпирическую формулу в виде (3) или (5),
- в зависимости от вида , переписать требуемую нормальную систему
(4) или (6),
- для преобразования теоретической нормальной системы к системе с числовыми коэффициентами, составить расчетную таблицу, в которую включить: 
, а также их суммы,
- подставить найденные суммы в систему (4) или (6) и решить ее, например, методом Крамера, записав при этом все определители и их значения,
- вычислить коэффициенты 
,
- записать окончательное выражение для эмпирической формулы ,
- сделать таблицу зависимости для 21 значения аргумента, приняв шаг таблицы 
,
- на координатную плоскость нанести график (сплошная линия) и опытные данные (в виде точек),
- сделать выводы по работе.
Варианты исходных данных. Результаты некоторого эксперимента заданы в табличной форме :
1 | x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
y | 6 | 1 | 2 | 0.8 | 7 | 9 | 13 |
2 | x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
y | 4 | 4 | 1 | 3 | 7 | 6 |
3 | x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
y | -12 | -5 | -4 | -1 | -5 | -4 | -12 |
4 | x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |
y | -7 | -1 | -2 | -1.5 | -6 | -10 |
5 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 9 | 4 | 1.4 | -2 | 2 | 6 | 11 |
6 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -8 | -5 | -2.2 | -1.3 | -3 | -4 | -12 |
7 | x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
y | 3 | 4 | 0.5 | 3 | 3 | 11 | 12 |
8 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 7 | 8 | 2 | 3 | 2 | 7 | 6 |
9 | x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
y | -8 | -7 | -2 | -3 | -2.5 | -8 | -9 |
10 | x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |
y | -4 | -3 | 0 | -2 | -4.3 | -12 |
11 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 11 | 5 | 2 | -1 | 3 | 3 | 9 |
12 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -6 | -2 | -0.3 | 1 | -0.6 | -4 | -8 |
13 | x | -6.5 | -5.5 | -4.5 | -3.5 | -2.5 | -1.5 | -1 |
y | 9 | 2 | 3 | 0 | 4 | 6 | 11 |
14 | x | 0.5 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 4.5 | 5.5 | |
y | 9 | 3 | 4 | 2 | 5 | 7 |
15 | x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | |
y | -5.4 | -1.7 | -3.3 | -2.2 | -8.2 | -9.6 |
16 | x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |
y | -6.1 | -1.4 | -2.3 | -1.4 | -7.3 | -8.8 |
17 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 7.4 | 3.5 | 1.4 | -1.5 | 2 | 5 | 9 |
18 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -12.4 | -5 | -1.5 | 1.2 | -3 | -7 | -16.3 |
19 | x | -6.5 | -5.5 | -4.5 | -3.5 | -2.5 | -1.5 | -0.5 |
y | 12.2 | 4.3 | 5.1 | 0.4 | 6.3 | 5.7 | 11.8 |
20 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 7.3 | 5.4 | 5.9 | 1.4 | 5.2 | 6.8 | 9.8 |
21 | x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
y | -13 | -4.5 | -4.2 | -3.1 | -6.3 | -7.1 | -8.5 |
22 | x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |
y | -7.4 | -1.3 | -2.5 | -1 | -6.8 | -8.6 |
23 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 6.4 | 3.2 | 4.2 | 0.5 | 5.1 | 4.3 | 7.6 |
24 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -6.4 | -2.1 | -3.4 | -1.3 | -2.9 | -2.4 | -7.3 |
25 | x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
y | 6.3 | 2.5 | 2.2 | -1.3 | 2.8 | 3.4 | 5.4 |
26 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 9.5 | 4.4 | 2.1 | 0.3 | 3.2 | 5.8 | 10.3 |
27 | x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
y | -4.4 | -1.9 | -2.4 | -2.2 | -5.8 | -5.2 | -9.4 |
28 | x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |
y | -10 | -2 | -3.5 | -2.1 | -6.4 | -12.3 |
29 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 15.4 | 8.6 | 2.8 | 3.5 | 3.4 | 7.3 | 14.2 |
30 | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -14.6 | -8.4 | -3.2 | 0.4 | -2.4 | -7.2 | -11.8 |
Пример расчета.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
