Домашнее задание по факультативному курсу
«Микроэкономика – продвинутый уровень»
Крайний срок сдачи: 15 марта 18.10 (перед началом лекции).
Работы можно сдавать досрочно в комн. 4231
Правила выполнения
1. Нет необходимости набирать решение на компьютере, принимается читаемый рукописный вариант.
2. Работа выполняется самостоятельно без обсуждения с другими студентами, преподавателями и т. д.
3. В случае подозрения на списывание преподаватель вправе задать вопросы по заданию и обнулить оценки при неудовлетворительных ответах.
4. При наличии списывания оценки обнуляются не только тому, кто списал, но и тому, кто дал списать.
5. Если вдруг вы нашли где-то решение такой же или подобной задачи, вы не вправе переписывать это решение. Задачи нужно решать самостоятельно.
6. Вы можете задавать вопросы по условиям задач, но при этом никто не получит ответов в частном порядке. При необходимости что-то прояснить по условию какой-то задачи соответствующее объявление будет вывешено на сайте.
7. Работы, сданные с опозданием, проверяются, но не оцениваются.
1. (20 баллов) Рассмотрите инвестора, предпочтения которого представимы EUF с элементарной функцией полезности 
, где 
- богатство. Инвестор выбирает наилучший из трех инвестиционных проектов. Доход по каждому проекту в зависимости от состояния мира представлен в таблице.
вероятности | 0.25 | 0.5 | 0.25 |
Проект Состояние мира | 1 | 2 | 3 |
A | 1 | 36 | 16 |
B | 9 | 16 | 1 |
C | 16 | 1 | 12 |
В настоящий момент неизвестно, какое из состояний мира будет иметь место. Однако если инвестор получит небольшую отсрочку для принятия решения об инвестировании, то он сможет достоверно узнать, какое из состояний природы будет иметь место. Считайте, что ставка банковского процента равна нулю.
(а) Сопоставьте максимальную цену, которую готов заплатить за право на отсрочку принятия решения инвестор-рискофоб, с максимальной ценой нейтрального к риску инвестора, если известно, что они обладают одинаковым богатством и все проекты требуют инвестиций, равных первоначальному богатству.
(б) Будет ли результат, полученный в пункте (а), справедлив для любого набора инвестиционных проектов?
2. (30 баллов) Рассмотрите предпринимателя-рискофоба, предпочтения которого представимы функцией ожидаемой полезности. Предприниматель обладает первоначальным богатством 
и, кроме того, получает прибыль от своего бизнеса. Его компания производит и продает продукцию на совершенно конкурентном рынке, но в силу внешних шоков цена единицы продукции является случайной величиной, принмимающей значения от 
до 
с матожиданием 
. Единственным фактором производства является труд, который агент покупает на рынке по цене 
за единицу. Объем произведенной продукции описывается функцией 
, где 
-количество труда. Известно, что 
, 
и 
. Предприниматель должен выбрать уровень занятости до того, как станет известна цена готовой продукции. Для исключения возможности банкротства предприниматель не имеет права нанять более, чем 
единиц труда.
(а) Пусть 
. Покажите, что предприниматель выберет положительный уровень занятости.
(б) Пусть выполнено условие из пункта (а) и, кроме того, предприниматель характеризуется убыванием абсолютной несклонности к риску. Как изменится величина его спроса на труд при повышении ставки оплаты труда ?
(в) Зафиксируем ставку заработной платы и обозначим достигнутую при этой ставке максимальную величину ожидаемой полезности через 
. Пусть 
- цена готовой продукции, при которой в условиях определенности данный предприниматель имел бы полезность, равную . Как соотносятся и 
?
3. Прочитайте в учебнике MWG на с. 194: определение коэффициента относительной несклонности к риску, аналог теоремы Пратта для относительной несклонности к риску (утверждение 6.С.4) и следующий за этим утверждением пример относительно изменения доли вложений в рисковый актив с ростом богатства. Эти результаты следует запомнить.
(20 баллов) Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида - рискофоба, обладающего богатством 
, предпочтения которого описываются функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Предположим, с вероятностью 
индивид может понести потери, которые пропорциональны величине его богатства, 
, 
. Предположим также, что цена единицы страховки 
больше вероятности потерь , но индивид при этом покупает ненулевую величину страховки. Покажите, что, если коэффициент относительной несклонности к риску возрастает с ростом богатства, то доля страхуемого богатства также возрастает с ростом богатства.
4. (30 баллов) Рассмотрите экономику обмена с 
потребителями, в которой 
физических товаров и 
состояний природы. Будем считать, что все потребители являются рискофобами, предпочтения агентов строго монотонны и представимы дифференцируемыми функциями ожидаемой полезности, где элементарные функции полезности не зависят от состояния. Совокупные запасы товаров таковы, что 
, где 
– номер физического товара, а – номер состояния мира.
(а) Верно ли утверждение: «В рассматриваемой экономике не существует равновесия Эрроу-Дебре, в котором все агенты полностью застрахованы от риска»?
Если считаете, что утверждение верно, то докажите его. Если считаете, что утверждение неверно, то постройте контрпример.
(б) Пусть хотя бы один агент нейтрален к риску. Может ли существовать равновесие Эрроу-Дебре, в котором все агенты-рискофобы полностью застрахованы от риска»?
Если считаете, что утверждение верно, то докажите его. Если считаете, что утверждение неверно, то постройте контрпример.
(в) Модифицируем исходную модель. Пусть после разрешения неопределенности имеется возможность торговать всеми физическими товарами. Как эта дополнительная возможность повлияет на выбранные потребителями наборы и благосостояние?
