Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии.
Лазарь Аронович Люстерник,
советский математик,
доктор физико-математических наук,
член-корреспондент АН СССР.
Дистанционный курс «АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА»
Занятие 1: Правильные многогранники и их развёртки.
Немного теории
Правильными называются выпуклые многогранники, поверхность которых состоит из равных правильных многоугольников и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
Всего известно 5 правильных многогранников:
Правильный тетраэдр - его поверхность состоит из четырех равносторонних треугольников.
Гексаэдр ( куб ) – его поверхность состоит из шести квадратов.
Правильный октаэдр – его поверхность состоит из восьми равносторонних треугольников.
Правильный додекаэдр – его поверхность – двенадцать правильных пятиугольников.
Правильный икосаэдр – его поверхность состоит из двадцати равносторонних треугольников.
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н. э.).
Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - Огня, Земли, Воздуха и Воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял Огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – Воду; Куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – Воздух. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Попытаемся представить себе устройство поверхности правильных многогранников. Если мысленно разрезать многогранник по некоторым рёбрам и развернуть в плоскости, то получится выкройка поверхности многогранника, так называемая развёртка. Рассматривая строение развёртки, можно решать важные прикладные задачи, например, вычислять площадь поверхности многогранника, а зная её, высчитывать количество материала, необходимое изготовления или покраски такого многогранника.
Нас же будет интересовать изготовление модели правильного многогранника. Сможем ли мы построить развёртку его поверхности?
1. Для начала потренируемся строить всевозможные комбинации из имеющегося набора фигур.
Пусть, к примеру, перед Вами следующий набор правильных многоугольников:
Какую комбинацию из этих фигур Вы можете построить?
Пофантазируйте! Напоминаем Вам правила работы с фигурами в MS Word:
· Выделяйте нужную Вам фигуру левой клавишей мыши;
· Перетаскивайте её мышкой на нужное место;
· Если Вам нужно размножить фигуру, нажимайте при перетаскивании клавишу «Ctrl»;
· При необходимости поворачивайте выделенную фигуру за зелёный кружочек.
Ваш вариант рисунка из готовых фигур? ( При желании Вы можете дополнить перечень фигур готовой фигурой из панели «Рисование»-«Фигуры» ).
2. А теперь попробуем построить развёртки - выкройки поверхностей - правильных многогранников.
Боковая поверхность правильного тетраэдра состоит из 4-х правильных треугольников:
 |
Как, имея набор таких фигур, склеить тетраэдр? Способов несколько,
например:
Развёртка октаэдра состоит их 8-ми правильных треугольников. Заготовим их:
 |
Можно, конечно, вырезать из бумаги все эти 8 треугольников (с клапанами для приклеивания) и склеить. Но, поскольку мы стремимся минимизировать число склеиваний, то, давайте подумаем, как можно сделать выкройку из возможно меньшего числа деталей. Например, так:
 |
Теперь мы будем склеивать уже не 8, а всего 4 фигуры! Как теперь сгруппировать эти 4? Может быть, так?
 |
А дальше?
Нельзя ли эти 2 объединить в одну?
Конечно, можно:
Куб – 6 равных квадратов:
Попробуйте мысленно развернуть куб в плоскость и построить его выкройку, состоящую из одной детали.
А как будут выглядеть развёртки додекаэдра и икосаэдра?
Поверхность додекаэдра состоит из 12-ти правильных пятиугольников.
Значит, нам предстоит склеить:
Попробуйте сами придумать оптимальную развёртку. Присмотритесь внимательно к додекаэдру: в верхнем и в нижнем основании у него лежит правильный пятиугольник, а к нему примыкают ещё … (сколько?) правильных пятиугольников. Может быть, эта идея Вам поможет?
И, наконец, икосаэдр – он состоит из 20 правильных треугольников!
Традиционная заготовка:
И подсказки:
· Сколько треугольников выходят из верхней и нижней вершин икосаэдра?
· Мысленно отрежьте верхушки - что останется?
· Что делать из оставшейся части? Как её распределить между верхней и нижней крышками икосаэдра?
· Не напоминает ли Вам такое разделение на 2 части красиво разрезанное яблоко на праздничном столе?
Домашнее задание вы найдёте в приложении Домашнее задание_1.
До новых встреч!
