Производная, смысл в разных задачах и свойства (стр. 2 )

Действительно,

Используя второй замечательный предел, получаем

С учетом правила дифференцирования сложной функции

Применим теоремы о дифференцировании обратной и сложной функций:

Выведенные формулы применим для получения производной функ­ций

аи, иа, a R.

50 Производная показательной функции

Действительно Производная показательной функции может быть получена и непосредст­венно по определению:

10 . Производная функции типа степенной

В самом деле,

Предлагаем читателям самостоятельно получить следующие форму­лы часто встречающихся производных:

Замечание 1. При действии со степенями необходимо помнить формулы:

Замечание 2. При оперировании с логарифмами полезны их свойст­ва:

Для нахождения у' вычислим изменение функции ∆у:

Принимая во внимание первый замечательный предел

получаем (sin x) =cos x; соответственно для сложной функции (sin и) = cos и ∙ и'.

Ранее вывели, что (sin x)' =cos x. Заметим, что

По теореме о дифференцировании сложной функции

Для доказательства применим правило дифференцирования дроби:

Для сложной функции:

Предлагаем читателям самостоятельно доказать эти формулы.

Используем правило дифференцирования обратной функции

Для сложной функции (arcsin u)'=

110. Производную arccos u предлагаем читателям получить анало­гично.

 

Применим теорему о дифференцировании обратной функции

 

По теореме о дифференцировании сложной функции

13°. Производную

Предлагаем читателям вывести эти производные самостоятельно.

Примеры 1.3. Отработка навыков дифференцирования элементарных функций.

Найдем производные некоторых функций, используя правила и формулы дифференцирования функций, приведенные в таблицах 1 и 2. Начнем с производных степенных функций.

Функция. Производная функции.

Рассмотрим функции, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Определим производные функций, содержащих показательные и ло­гарифмические функции.

Производную легче будет искать, если функцию записать в виде

 

Внимание! В этом примере проявите некоторую самостоятельность:

Перепишите этот пример в тетрадь. Постарайтесь заполнить пропущенные места в скобках производными по промежуточным функциям. Сравните этот ответ с Вашим результатом.

Ответ после преобразования:

Очень хорошо, если ответы совпали! Если все-таки ошибки наблюдаются, посмотрите предыдущие примеры, попробуйте решить еще пример.

Заполните скобки, после некоторых преобразований ответ должен быть следующим:

так как

Прежде всего преобразуем функцию, используя свойства логариф­мов:

 

1.8. Логарифмическая производная

Пусть дана некоторая дифференцируемая функция у = f (х). Прологарифмируем обе части этого выражения:

In у = In f(x).

Продифференцируем последнее выражение по х, не забывая, что

откуда

Определение. Операция, состоящая в последовательном применении к равенству у =f(x) сначала логорифмирования, а затем дифференци­рования, называемся логарифмическим дифференцированием, а производ­ная - логарифмической производной.

Рассмотрим показательно-степенную функцию

Прологарифмируем ее: ln у = v(x)- lnи(х), а затем продифференцируем:

Окончательно получим, что производная показательно степенной функции равна

(см. таблицу 1,8). Из последней формулы следует, что при дифферен­цировании показательно-степенной функции применяют правила диффе­ренцирования показательной функция (первое слагаемое) и степенной функции (второе слагаемое).

Пример 1.4.

Логарифмическое дифференцирование облегчает вычисление произ­водных дробно рациональных функций со многими сомножителями.

Пример 1.5.

1.9. Дифференцирование неявно заданной функции

Если функция задана уравнением у = f(x), разрешенным относи­тельно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x, у) = 0, неразрешенного относительно у.

Любую явно заданную функцию у = f(x) можно записать как не­явно заданную уравнением f(x)— у = 0, но не наоборот. Не всегда про­сто или даже невозможно разрешить уравнение относительно у, напри­мер, у + cos у - 9х =0 или 2 у - х3у + tgx = 0.

Если неявная функция задана уравнением F(x, у) = 0, то для нахо­ждения производной у по х достаточно продифференцировать это равенство по х как сложную функцию, рассматривая при этом у как функцию х, т. е. F(x,y(x)) - это сложная функция.

Пример 1.6. Найти производную функции у , заданную уравнением

х3 + у3-3ху = 0.

Функция у задана неявно. Дифференцируем по х, учитывая, что у=у(х).

3х2 + 3у2у' - 3у - 3ху' = 0.

Из полученного соотношения следует, что (у2 - х )у' = у - х , т. е.

 

Пример 1.7

Дифференцируем по x: ех+cos(х+у) ∙(1+у')=0,

ех+cos(х+у)+у' cos(х+у)=0, откуда у'=

Пример 1.8. у2 cos x = a2sin 3х, где а= const.

Продифференцируем обе части равенства по x:

Пример 1.9.

Находить производную неявной функции F(x,y) = 0 можно дру­гим способом, не требующим приведения подобных членов F'х + F'у · у'х = 0. При нахождении производной F'x считаем у =const, при нахождении F'у считаем х = const. Полагая, что F'у ≠ 0, находим

Пример 1.10. Тогда

Обоснование этого правила будет дано в разделе "Функции несколь­ких переменных ".

Тогда

1.10. Дифференцирование параметрически заданной функции

Функция у = f(х) называется заданной параметрически, если сама функция у и ее аргумент x являются функциями параметра t:

Так как х = x(t), то, стало быть, t = t(x) и у = y((x) есть сложная функция х. Применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций, получаем

Производная первого порядка параметрически заданной функции имеет вид

Первая производная у' х= y'x(t) является функцией от параметра t, поэтому, применяя повторно правило дифференцирования параметри­чески заданной функции, получим, что вторая производная равна

Вычислив производную дроби получим

Аналогично могут быть получены производные третьего, четвертого и п - го порядков параметрически заданной функции

Пример 1.11. Найти производную функции

Решение.

Пример 1.12. Найти у"хх для параметрически заданной функции

Решение.

Первая производная

Вторая производная

Пример 1.13. Для функции найти производную

третьего порядка.

Решение

1.11. Свойства производных высших порядков

Правила дифференцирования позволяют получить следующие ос­новные свойства производных n-го порядка:

10. (u±v)(n) = u(n) ± v(n);

20. Постоянный множитель можно вынести за знак производной любого порядка: (cu)(n) = cu(n);

30 . Формула Лейбница

Коэффициенты легко определяются по треугольнику Паскаля:

Каждая последующая строка получается следующим образом: слева и справа добавляется по 1, остальные числа - суммы двух соседних чисел в вышерасположенном ряду. Например, коэффициенты для четвертой производной стоят в четвертой строке, для пятой - в пятой строке.

Пример 1.14. Найти сотую производную функции у = х е

Решение. Заметим, что любая производная функции ex:

(ех)(n) =ех ;а для функции х2 : первая производная равна 2х, вторая – равна 2, все производные, начиная с третьей, равны нулю. Таким образом, сотая производная

Ответ: у(100) = ех(х2 + 200х + 9900)

2. Дифференциал функции

2.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у = f(х) дифференцируема в некотором интервале (a;b), т. е. имеет в каждой точке этого интервала производную

Тогда на основании теоремы о связи между функцией, ее пределом и бес­конечно малой величиной имеем

где a(х) - бесконечно малая величина при ∆х → 0. Поэтому полное приращение функции ∆у = f'(х) ∆х + а(∆х) ∆х

может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, первое из кото­рых пропорционально приращению аргумента ∆х с коэффициентом про­порциональности, равным f'(х), а второе - является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆х.

Определение. Дифференциалом функции у = f(х) в точке х на­зывается главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной. Дифференциал функции у = f(x) обозначается dy или df(x):

dy= f'(x)Ax.

Заметим, что для функции у=x дифференциал dy = 1·∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен изменению этой перемен­ной dx = Ах.

Таким образом, дифференциал функции у = f(х) в точке х ра­вен произведению производной на дифференциал независимой перемен­ной

Последнее равенство позволяет определить производную как отно­шение двух дифференциалов:

Пример 2.1. Найти дифференциалы функций:

2.2. Геометрический смысл дифференциала функции

Пусть X - абсцисса точки М на графике функции у = f (х) (см. рис. 2.1). Дадим X приращение Δх. Точке с абсциссой х + Δх на графике функции у = f(х) соответствует точка N. Проведем в точке М касательную MP. Очевидно, что Δх = dx = MK, Δy = NK, у'(х) = tg<PMK. Тогда из треугольника МРК имеем МК· tg<PMK = y'dx = dy.

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ордина­ты касательной к графику функции, проведенной в данной точке, при пе­реходе от точки с абсциссой x к точке с абсциссой x + Δх.

Рис. 2.1. Геометрический смысл дифференциала функции

2.3. Инвариантность формы первого дифференциала

Если х независимая переменная, то

dy = y'dx.

Пусть теперь имеется сложная функция у = у(х), х = x(t). Ее дифференциал равен

Сопоставляя эти формулы, приходим к выводу, что формула для дифференциала dy — у'dx сохраняет вид как в случае, когда x является независимой переменной, так и в случае, когда x зависит еще от одной переменой, например, t.

Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменностью).

Пример 2.2. Найти дифференциалы следующих функций:

2.4. Свойства дифференциала. Таблица дифференциалов

Свойства дифференциала вытекают из его определения и свойств производной:

Предполагается, что и и v - дифференцируемые функции.

Докажем, например, свойство 3:

Таблица 3

Дифференциалы основных элементарных функций

Номер формулы	Простые функции	Номер формулы	Сложные функции
1	dua =auа-1du	2	du
3		4	dInu =du
5	deu = eudu	6	d au = au Ina·du
7	d sin и = cos udu	8	d cos и = - sin udu
9	dtgu =	10	d ctgu =di
11	d arcsin и= du	12	d arccos и = du
13	darctgu = du	14	d arcctgu

2.5. Приложения дифференциала к приближенным вычислениям

Из определения приращения функции и дифференциала функции следует, что они отличаются друг от друга на величину, являющуюся бесконечно малой более высокого порядка, чем Δх. При малых Δх имеет место приближенная формула

Откуда

Эта формула используется для приближенного вычисления значений функции в точках, близких к тем, в которых ее значения уже известны.

Пример 2.3. С помощью дифференциалов найти приближенные значения следующих функций.

а) y1­ =1.953 .

Решение. Рассмотрим функцию у= х3 . Ее дифференциал dy = 3x2dx. Пусть х + ах = 1.95. Возьмем х = 2, тогда dx = -0.05.

Значение у(2)=23 =8. Дифференциал dy = 3х2dx функции в точке х – 2: dy x=2 = 3∙22 ∙= 0.6. Тогда y(х + dх) = у(х) + dу, т. е. 1.953 ≈ , 1.953 ≈ 7.4.

Заметим, что точное значение 1.953 =7. абсолютная по­грешность 0. относительная погрешность составляет 2%.

б) у = In 1.02.

Решение. Вычислим приближенно с помощью дифференциала функции

2.6. Дифференциалы высших порядков

Аналогично понятию производных высших порядков можно ввести понятие дифференциала второго, третьею и т. д. порядка.

Пусть функция у = f(x) дважды дифференцируема в точке х, т. е. существуют производные f/'(x), f"(x). Первый дифференциал dy = f'(x)dx. Тогда при том же фиксированном изменении аргумента dx дифференциал от первого дифференциала d(dy) = (f'(x)dx) dx назовем дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d2y = d(dy) = f″(x)dx2.

Аналогично, третий дифференциал - дифференциал от второго дифференциала:

d3y = d(d2y) = f′″(x)dx3.

дифференциал п-го порядка

Например, для функции у = sin 2x,

Заметим, что дифференциалы высших порядков в общем случае свойством инвариантности не обладают. Действительно, пусть у = f(x), x = x(t). Тогда, например, второй дифференциал

Следует отметить, что для линейной функции х = kt + b, x'(t) = к, x'(t) = k, x"(t)dt =0 т. е. d2x= x"(t)dt=0. Таким образом, дифференциалы высших порядков, начиная со второго, сохраняют свою форуму только если

х = kt + b.

2.7. Свойства дифференциалов высших порядков

Если функции и = и(х), v= v(x) n раз непрерывно дифференци­руемы в точке xD, то учитывая свойства производных высших поряд­ков, легко показать следующие свойства дифференциалов.

l0. Дифференциал п - го порядка алгебраической суммы функций равен ал­гебраической сумме дифференциалов слагаемых:

20. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала n-гo порядка:

dn(cu) = cdnu, с = const.

3.Основные теоремы дифференциального исчисления

Лемма о достаточном условии возрастания и убывания функ­ции. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х. Если f'(х)> 0, то f(x) возрастает в точке х, если f'(х) < 0, то f(x) убывает в точке х.

Доказательство. По определению производной функции