Производная, смысл в разных задачах и свойства (стр. 3 )

что означает возрастание функции f(х) в точке x. Предлагаем читателям аналогично рассмотреть случай f’(х) < 0.

Теорема Ферма (17 в.) (необходимое условие существования экстремума). Функция f(x) непрерывна на (a,b), принимает наименьшее или наибольшее значение при x- с(a,b) и дифференцируема при x = с,

Тогда f’(с)=0.

Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику у=f(х) в точке с абсциссой х = с горизонтальна (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Доказательство. Предположим противное: f'(c)≠ 0. Тогда, если f'(c)>0, то f(x) возрастает в окрестности х = с: если f'(c)<0. то убывает, но это невозможно, так как при х = с функция принимает наи­меньшее или наибольшее значение. Противоречие доказывает утвержде­ние.

Теорема Ролля (17 в.). Пусть для функции f(x) выполнены следую­щие условия:

1°. f(x) непрерывна на отрезке [а,b];

2°. f(x) дифференцируема в интервале (а,b);

3°. В концах [а, b] принимает одинаковые значения, т. е. f(a) = f(b). Тогда существует точка с(a, b): f'(c) = 0.

Доказательство. Функция f(x) непрерывна на [а,b], т. е. по тео­реме Вейерштрасса ограничена на этом отрезке и достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений: m≤f(x)≤M, m = f(xl), М = f(х), т = М => f(x) = c = const => f’(x) ≡ 0, x (a,b).

m < M. В этом случае хотя бы одна из точек x1,x2 лежит внутри интервала (а,b) (так как f(a) =f(b)). Через с обозначим ту точку, которая лежит в интервале (а,b). По условию 2° в точке с функция дифференци­руема и принимает в ней наименьшее или наибольшее значение. По теоре­ме Ферма f'(c)= 0.

Анализ условий теоремы Ролля. Все три условия теоремы Ролля важны. Утверждение теоремы может не выполняться при нарушении хотя бы одного условия (см рис., 3.2),

На рисунках нет точки c (a,b): f'(c)=0.

Теорема Лагранжа (теорема о среднем в дифференциальном исчислении). Пусть для функции f\x)выполнены условия:

1°. f(x) непрерывна на отрезке [a,b];

2°. f\x) дифференцируема в интервале (а,b).

Тогда существует

Доказательство. Рассмотрим функцию

Функция F(x) непрерывна на [а, b], дифференцируема в (а,b) как разность непрерывных и дифференцируемых функций. При этом F'(x) = f'(x) - к. Покажем, что F(b) = F(a). Действительно,

С учетом обозначения

F(a) = F(b). Таким образом, для функции выполнены все условия тео­ремы Ролля и тогда

Утверждение теоремы доказано.

Рис. 3.3

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: c (a,b), такая, что касательная к графику функции в этой точке параллельна хорде, стягивающей точки (a,f(a)), (b,f(b)) (см. рис. 3.3).

Другие формы записи теоремы Лагранжа:

Упражнение. Как изменится график функции у = f(x), если из нее вычесть kx ?

Теорема Коши. Функции f(x) и g{x) удовлетворяют условиям:

1°. f(x),g(x) непрерывны на (а,b);

2°. f(x),g(x) дифференцируемы в (а,b)

3°.

Тогда

Для доказательства предлагаем читателям рассмотреть функцию

и проверить для нее условия тео­ремы Ролля.

Замечания. I. g(a)≠ g(b). так как иначе по теореме Ролля c (,b): g’(c) = 0.

2. Теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при g(x)= х.

3. Нельзя доказать теорему Коши, применяя теорему Лагранжа к функциям f(x) и g(x).

Предлагаем читателям подумать над причиной этого.

Правила Лопиталя (вычисления пределов). Пусть функции f(x), g(x) удовлетворяют условиям:

10 . f(x), g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестно­сти точки х = а, за исключением, быть может, точки х = а, причем g’(x)≠0.

2°. f(x),g(x) бесконечно малые или бесконечно большие при х → а;

30 . Существует конечный

 

Тогда существует конечный предел

Доказательство вытекает из теоремы Коши. Предлагаем провести его самостоятельно (см., пример [1-7]

Замечания. 1. Правила Лопиталя можно применять несколько раз если производные функций удовлетворяют требуемым свойствам.

2. Правила Лопиталя верны и при х → ∞.

Действительно,

 

Пример 3.1.

 

Пример 3.2.

 

Таким образом,

 

Пример 3.3.

Пример 3.4.

Пример 3.5.

В этом примере пришлось правило Лопиталя применять 3 раза.

Пример 3.6.

Заметим, что раскрытие неопределенности по правилу Лопи-таля дает более короткий путь к ответу, неопределенность

лучше раскрывать, как и ранее, по отношению коэффициентов при старшей степени.

4. Формула Тейлора и ее приложения

Например,

Одним из важных математических понятий является понятие аппроксимации. Аппроксимация - это приближенная замена какой - либо величины другой, более простой или более подходящей для данного исследования и достаточно близкой (б том или ином смысле к исходной. Одним из наиболее простых примеров аппроксимации является приближе­ние иррациональных чисел рациональными.

Сейчас перед нами стоит задача приближенной замены функции f(x) более простой, а, именно, многочленом.

4.1. Формула Тейлора

Пусть функция f(x) дифференцируема (и + 1) раз в точке х = x0 и некоторой окрестности этой точки. Найдем многочлен Рn (x) степени не выше п, значение которого при х = х0 совпадает со значением функции, а также все производные многочлена при х = х0 до порядка п включитель­но совпадают с соответствующими значениями производных данной функции:

Многочлен Рn(х) будем искать в виде многочлена по степеням х - х0:

Производные многочлена:

Используя условия (4.1) и подставляя х = х0 в (4.2), (4.3). получим:

откуда тейлоровы коэффициенты равны:

Подставляя значения ai в (4.2), получим многочлен Тейлора функции f(x) в точке x = х0 :

Разницу между функцией f(x) и многочленом Рn(х, х0) назовем остаточным членом:

Тогда

Если остаточный член Rn(x,x0) достаточно мал, то многочлен Рп(х, хо) достаточно близко приближает функцию f(x).

Теорема (формула Тейлора). Пусть функция f(x) (n + 1) раз дифференцируема в точке x = х0 и некоторой окрестности этой точки х - х0 < δ . Тогда найдется такая точка ξ(x0,x), что функция f(x) может быть представлена формулой Тейлора

 

(4.5)

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

Доказательство этой теоремы читатель может найти практически в любом учебнике по дифференциальному исчислению.

Замечание 1. Остаточный член можно получить в форме Коши:

или в общей форме:

Замечание 2. При п = 1 формула (4.5) с остаточным членом (4.6) переходит в формулу Лагранжа.

Если в формуле Тейлора взять х„ = 0, то получается формула Маклорена

 

4.2. Представление основных элементарных функций по формуле Маклорена

10. f(x) = ex.

Легко видеть, что f{n)(x) = еx , f{п)(0) = 1, п = 1,2,... .

Формула Маклорена (4.7)для функции ех имеет вид

 

Можно показать, что остаточный член х (- ∞; ∞) (см., например [1-7]).

 

Таким образом, функцию f(x)=ex можно приближать многочленом Pn(х) с любой степенью точности

Вычислим значения всех производных этой функции при х = 0:

 

Подставляя найденные значения производных в (4.7), получим формулу Маклорена для f(x) = sinх. Так как

xR, N , то остаточный член в формуле Маклорена будет стремиться к нулю для любого xR.

Формула Маклорена

 

3°. Аналогично можно получить формулу Маклорена для функции f(x)=cos x:

Следующие формулы Маклорена запишем без всяких пояснений. Предлагаем читателю вывести их самостоятельно.

5°. Биномиальная формула при любом mR:

В частности, при т = п получается формула бинома Ньютона

где - биномиальные коэффициенты

4.3. Применение формулы Тейлора (Маклорена) к приближенным вычислениям

Пример 4.1. Вычислить cos 1050 с точностью = 10-4 .

Решение. Прежде всего, используя формулы приведения, сделаем угол от 0° до 45°: cos 105°= cos(90° +15°)= - sin 15°.

Угол 15° приведем в радианы. Учитывая точность = 10-4 во всех промежуточных вычислениях, берем 1-2 запасных знака (5-6 знаков после запятой):

т. е. х≈ 0,2618.

Используем формулу (4.2.2) для функции sin x:

 

При к = 2, п - 5 остаточный член

Итак, cos 1050 = - sin 15° ≈-0,25882 с точностью = 10-4 .

Ответ: cos105°≈ -0,25882

Пример 4.2. Вычислить √e с точностью = 10.

Решение. Для вычислений воспользуемся формулой Маклорена для функции е :

Остаточный член

 

Предлагаем читателю убедиться, что при п =3, x= Rn(x)>10-3

при n=4 - Rn(x)<10-3

Таким образом, с точностью

Ответ: √e=1,648.

Пример 4.3. Вычислить √30 с точностью = 103.

Решение. Для вычислений мы можем воспользоваться биномиаль­ной формулой

Представим √30 следующим образом:

 

Подставляя в формулу х = 0,2, получим "

 

Остаточный член при

Таким образом, для достижения заданной точности при вычислени­ях берем сумму первых четырех слагаемых:

√30 ≈5∙1,0955= 5,4775.

Ответ:

Заметим, что с увеличением п и уменьшением х формула Макло­рена дает более точное приближение значения функции.

В заключение заметим, что формула Тейлора - одна из наиболее используемых как в математическом анализе, так и в его приложениях, на­пример, к исследованию функций; в пределах при раскрытии неопреде­ленностей можно воспользоваться разложением функций по формуле Тейлора.

5.Применение дифференцированного исчисления к исследованию функций

5.1. Полное исследование функции и построение графиков по характерным точкам

Схема исследования функции:

1. Область определения функции.

2. Область изменения функции.

3. Четность и нечетность функции.

4. Периодичность функции.

5. Нули функции. Точки пересечения графика с осями координат.

Интервалы знакопостоянства.

6. Непрерывность. Разрывы.

7. Поведение функции вблизи граничных и особых точек, не входящих в область определения.

8. Асимптоты.

9. Ограниченность - неограниченность функции.

10.Монотонность функции. Локальные экстремумы. Участки возраста­ния - убывания.

11.Выпуклость - вогнутость. Точки перегиба.

12.Построение графика функции по характерным точкам в соответст­вии с исследованием

Замечание. Вывод об области изменения функции часто затрудни­тельно сделать в начале исследования. Этот пункт можно перенести в ко­нец исследования.

Напомним основные понятия, необходимые для проведения исследования функции.

5.1.1. Область определения и область изменения функции

Каким бы способом ни была задана функция у = f(x), рассматривая ее, мы всегда имеем дело с двумя множествами: множеством допустимых значений х и множеством значений у. Множество всех тех действитель­ных значений, которые принимает аргумент х функции у = f(х), называ­ется областью определения этой функции. Множество возможных значе­ний y =f(x) - область изменения функции.

Например, область определения функции у=√x-1 будет множе­ство значений x, определяемых из неравенства х-1≥0, т. е. х≥1,а это есть полуинтервал [l,∞). Область значений функции: у≥0 или y[0,∞).

Функция у = √x +√1 - x определена при х≥ 0, 1 - x≥ 0; имеем х(-∞;1]∩[0;∞), т. е. функция определена на отрезке [0;l].

Функция у = arcsin(x-5) определена при х - 5 ≤ 1 или

-1≤x-5≤ 5 ОДЗ: 4 ≤ х ≤ 6. Область значений .

Функция у = lg(x2 – 4) определена при x2 - 4 > 0.

ОДЗ: х(-∞;-2]∩[2;∞), иначе х< -2, х>2 или х >2.

Область значений у R .

5.1.2. Характеристика поведения функции

1) Четные и нечетные функции

Функция у = f{x) называется четной на (- а; а) (ОДЗ симметрична относительно начала координат), если для любого значения аргумента из области определения этой функции f(-x)=f(x), т. е. если при измене­нии знака аргумента функция своего значения не меняет.

Этим свойством обладают, например, функции у = х2 , у = х,

у = 3, у = cos 3х и др.

График четной функции симметричен относительно оси Оу (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Функция у = f(x) называется нечетной на (-а;а), если при из­менении знака аргумента функция изменяет знак на противоположный, т. е. f(-x)=-f(x)

Свойством нечетности обладают функции у = х, у = x3 , y=,у = sin x и др. График нечетной функции симметричен от­носительно начала координат (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Существуют функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, графики таких функций не обладают симметрией относительно осей и на­чала координат. В этом случае говорят: функция общего вида.

Для того чтобы исследовать функцию на четность или нечетность, нужно в выражении функции f(X) заменить x на - x проверить ус­ловия четности f(-х)=f(x) и нечетности f(-х) =-f(x); сделать со­ответствующие выводы.

Например, исследуем на нечетность функцию

Очевидно, что f(-x)≠f(x), f(-x)≠-f(x), т. е. функция у = 5х2+ 3x + 7 - функция общего вида.

2) Периодические и непериодические функции

Функция у = f(x) называется периодической, если существует та­кое число Т>0, что при всех значениях x из области ее определения

Например, функция «дробная часть числа» - функция f(x) = (х} = x – [х], где [х] - целая часть числа x, есть периодическая функция с периодом Т=1. Действительно,

Периодическими функциями являются все элементарные ригонометрические функции.

График каждой периодической функции состоит из повторяющихся конгруэнтных или подобных линий, изолированных друг от друга или соединенных в одну общую линию.

Например, график функции f(x) = x – [x] представлен на рис. 5.3.

Рис. 5.3

Наиболее показательны другие периодические функции – тригонометрические.

Например, функция у =1,75 sin 2х периодическая с периодом

Функция периодическая с периодом :

3) Нули функции

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называются нулями функции.

С геометрической точки зрения нули функции - точки пересечения графика функции с осью Ох или точки, где график касается оси Ох. Чтобы найти нули функции, нужно функцию положить равной нулю и решить полученное уравнение f(x) = 0.

Например, нулем функции

4) Точки пересечения графика функции с осями координат. Участки знакопостоянства функции

Для нахождения точек пересечения с осями полагаем одну из коор­динат равной нулю

Оу : х = 0 => у =...;

Ох : у = 0 => х =.…

Участки знакопостоянства функции определяем, решая неравенства у<0, у>0.

5) Ограниченные и неограниченные функции

Функция f(x) называется ограниченной сверху в области своего определения D, если существует такое число М, что для всех значений х D выполняется неравенство f(х)≤ M, и ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех значений аргумента Функция f(x), ограниченная в области своего определения снизу и сверху, называется ограниченной. Условие ограни­ченности записывается так: m ≤ f(x) ≤ М или f(x)| ≤M.

Например, функция у =x2 ограничена снизу, т. к. в области опре­деления х2 ≥ 0. Функция ограничена снизу и сверху, т. к.

Функция f (x) называется неограниченной сверху (снизу), если для любого сколь угодно большого М > 0 существует значение x из области определения, что f(x) > M f(x)< - М) или, иначе, f(x) > М.

6)Асимптоты

Для функции у = f(х) в области D рассмотрим функцию F(x)=x2+f2(х). Будем говорить, что график Гf функции у = f(x) имеет ветвь, уходящую в бесконечность, если функция F(x) неограничена в области D. Это может быть за счет х или f(х) (рис.

Асимптота - это прямая, к которой приближается ветвь графика функции, уходящая в бесконечность,

10 . Вертикальная асимптота x = а: , в точке х =а функция терпит бесконечный разрыв 2 рода.

20 . Горизонтальная асимптота у = b:

30 Наклонная асимптота у = кх + b может существовать, если

 

Ø  0М = М>0:|х|>М=>|f(x)-kx-b|<ε)

х - а - вертикальная асимптота у = b — горизонтальная асимптота.

Рис. 5.4 Рис. 5.5

 

В этом случае может существовать

наклон­ная асимптота у = кх + b,

Рис. 5.6

7)Непрерывность функции. Односторонняя непрерывность.

Классификация разрывов

Определение. Функция у = j (х) непрерывна при х = а, если:

1) f(х) определена при х = а, т. е. существует

2) существует конечный

3)

Функция y = f(x) непрерывна тогда и только тогда, когда f(a) = f(a-0)=f(a + 0).