Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 2 )

Далее будем предполагать, что коэффициенты и определены и непрерывны при .

Если на интервале , то уравнение называется однородным, в противном случае - неоднородным.

Для построения общего решения однородного уравнения достаточно знать n линейно независимых в интервале частных решений (т. е. фундаментальную систему решений).

Тогда формула

, (6)

где - произвольные постоянные, дает общее решение однородного уравнения.

Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то согласно методу Лагранжа (методу вариации произвольных постоянных), решение соответствующего неоднородного уравнения можно найти в виде

,

где неизвестные функции определяются из системы уравнений

В частности, для уравнения второго порядка эта система принимает вид

(7)

Если известно какое-либо частное решение неоднородного уравнения, то его общее решение можно найти как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и этого частного решения.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Далее будем рассматривать линейные уравнения с постоянными коэффициентами

(8)

( - постоянные вещественные числа).

1. Построение фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами

(9)

имеет фундаментальную систему решений , определенную при всех x, структура которой зависит от вида корней характеристического уравнения

. (10)

Каждому вещественному простому корню характеристического уравнения (10) соответствует решение , входящее в фундаментальную систему.

Если уравнение (10) имеет простой комплексный корень , то сопряженное число тоже будет корнем уравнения, и корням , соответствуют два линейно-независимых частных решения и , входящих в фундаментальную систему.

Вещественному корню уравнения (10), имеющему кратность p, соответствует p линейно-независимых частных решений , , ,..., , входящих в фундаментальную систему.

p-кратным комплексно-сопряженным корням и соответствует 2p линейно-независимых решений вида

, , , ..., ,

, , , ..., ,

входящих в фундаментальную систему.

Таким образом, для того, чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, надо найти корни характеристического уравнения, а затем выписать линейно-независимые решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным корням уравнения (10). Линейная комбинация (6) этих решений дает общее решение уравнения (9).

Пример 13. Найдем общее решение уравнения .

Данному уравнению отвечает характеристическое уравнение . Так как левая часть уравнения раскладывается на множители: , то характеристическое уравнение имеет корни: - корень кратности 2, ему отвечают два линейно-независимых решения и ; - пара комплексно-сопряженных корней, им соответствуют решения и .

Общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример 14. Решим неоднородное уравнение .

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому - общее решение однородного уравнения.

Общее решение исходного уравнения будем искать методом вариации произвольных постоянных в виде .

Функции и удовлетворяют системе (7):

Поэтому , .

Интегрируя, находим

, , где - произвольные постоянные. Общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Упростив это выражение, получим

.

2. Метод неопределенных коэффициентов.

Как уже упоминалось, общее решение неоднородного уравнения можно найти как сумму некоторого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Метод неопределенных коэффициентов позволяет найти частное решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами (8), если правая часть уравнения имеет специальный вид

,

где - постоянные, и - многочлены степени r и s соответственно.

Частное решение в этом случае ищется в виде

,

где , если число не является корнем характеристического уравнения, в противном случае k равно кратности этого корня; - многочлены с неопределенными коэффициентами степени .

Пример 15. Найдем общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни и . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. В нашем примере , т. е. , ; и - многочлены нулевой степени.

Заметим, что число - корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому k =1. Поскольку , то m=0. Значит, частное решение следует искать в виде .

Подставляя y в исходное уравнение (при этом , ), находим a=1/4.

Общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример 16. .

Составим характеристическое уравнение: , найдем его корни: и . Общее решение однородного уравнения имеет вид .

Функция такова, что применим метод неопределенных коэффициентов. Здесь , ; и - многочлены степени и соответственно.

Поэтому k=0 (число - не корень характеристического уравнения), m=max(r,s)=1, - многочлены первой степени с неопределенными коэффициентами. Частное решение исходного уравнения следует искать в виде .

Подставив y в исходное уравнение, найдем: a = -1/20, b = -3/25, c = -3/20, d = -7/200.

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 10

Вариант 1	Вариант 2
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 3	Вариант 4
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 5	Вариант 6
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 7	Вариант 8
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6.,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 9	Вариант 10
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 11	Вариант 12
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 13	Вариант 14
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 15	Вариант 16
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и о собые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 17	Вариант 18
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 19	Вариант 20
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 21	Вариант 22
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 23	Вариант 24
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 25	Вариант 26
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Вариант 27	Вариант 28
В заданиях 1-3, 7, 8, 10-12 найдите общее и особые решения уравнения, в заданиях 4-6, 9 найдите решение указанной задачи Коши.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4. ,	4. ,
5. ,	5. ,
6. ,	6. ,
7.	7.
8.	8.
9. , ,	9. , ,
10.	10.
11.	11.
12.	12.