Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 1 )

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 6

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им.

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-2 курсов математического факультета РГПУ им. .

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по теме «Дифференциальные уравнения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним. Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

Авторы-составители: кандидат ф.-м. н., доцент ,

cтарший преподаватель ,

кандидат ф.-м. н., доцент

Рецензенты: зав. каф. матем. анализа РГПУ им. ,

профессор

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  , , Лащенов математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

2.  и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

3.  Матвеев интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967.

4.  Матвеев задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Минск: Вышэйшая школа, 1987.

5.  , Лихтарников исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. .-Л., 1986.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные :

. (1)

Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком уравнения. Функция , обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением уравнения (1). Процесс нахождения всех решений (1) называется интегрированием уравнения.

Задача нахождения решения, удовлетворяющего некоторому начальному условию

, , ..., , (2)

называется задачей Коши (или начальной задачей).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,

РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, могут быть записаны в так называемой нормальной форме

(или ) (3)

или в симметричной форме

. (4)

Задача Коши для уравнения (3) означает, что требуется найти решение уравнения, удовлетворяющее условию: при .

Чтобы гарантировать существование и единственность решения задачи Коши в любой точке области D, достаточно (согласно теореме Пикара) предположить непрерывность в области D, а также существование и непрерывность (или ограниченность) частной производной в области D.

Функция , определенная в некоторой области изменения переменных x и c и имеющая непрерывные частные производные по x, называется общим решением уравнения (3) в заданной области D изменения переменных x и y, если: во-первых, равенство разрешимо относительно произвольной постоянной c: , и во-вторых, функция является решением (3) при всех значениях произвольной постоянной c, доставляемых формулой , когда .

Решение, в каждой точке которого выполнено условие единственности решения задачи Коши, называется частным решением. Частное решение может быть получено из формулы общего решения при различных значениях произвольной постоянной c.

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением.

Приведем основные типы интегрируемых уравнений первого порядка и методы их решения.

1.  Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения, которые могут быть представлены в виде

или в виде

.

Для решения уравнения его преобразовывают таким образом, чтобы «переменные разделились»: в одну часть уравнения входили только выражения, содержащие x, а в другую - содержащие только y, затем интегрируют обе части равенства.

При делении обеих частей равенства на выражения, содержащие неизвестные, могут быть потеряны решения, обращающие эти выражения в 0. Такие случаи следует рассмотреть отдельно.

Пример 1. Найдем все решения уравнения .

Преобразуем уравнение к виду . Поделим обе части уравнения на , предполагая, что (случаи и ниже рассмотрим отдельно): . Переменные разделены, интегрируем обе части уравнения: (здесь удобно представить произвольную константу в таком виде). Последнее равенство доставляет общее решение исходного уравнения. При это решение можно записать в виде .

Подставляя непосредственно в исходное уравнение выражения и , убеждаемся, что и - тоже решения уравнения.

Уравнение вида приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой .

Пример 2. Найдем решения уравнения .

После замены (при этом ) исходное уравнение перейдет в уравнение с разделяющимися переменными , которое легко интегрируется.

2. Однородные уравнения.

Дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в виде

или в виде

,

где и - однородные функции одной и той же степени k, называются однородными.

С помощью подстановки (при этом ) однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 3. .

Уравнение является однородным, поскольку представляется в виде . Положим (тогда ), и уравнение примет вид . Разделим переменные: . Интегрируя, найдем общее решение , или (если и ) . В исходных переменных общее решение имеет вид ().

Преобразовывая уравнение, мы делили на x и . Поэтому необходимо проверить, не будут ли решениями функции и (т. е. ), где k - любое целое число. Подставляя в исходное уравнение , мы не получим тождества, поэтому - не решение. (Заметим, что выражение вида и не может быть решением уравнения, в которое входит , поскольку существование производной предполагает вариацию независимой переменной x.) Подставляя , получаем тождество при любом целом k, поэтому эти функции являются решениями исходного уравнения.

Уравнение вида , где , приводится к однородному с помощью замены , , где - новые переменные, а - точка пересечения прямых и .

3.  Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Уравнение вида называется линейным. Чтобы решить это уравнение, необходимо сначала решить соответствующее ему однородное уравнение , затем заменить в полученном решении произвольную постоянную с на неизвестную функцию c(x) (варьировать константу), и в таком виде искать решение неоднородного уравнения. Данный метод называется методом вариации.

Пример 4. .

Данное уравнение – линейное. Решим сначала соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения .

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде . Подставим это выражение в исходное уравнение: . Отсюда получим и, следовательно, , где - произвольная константа. Подставляя c(x) в выражение для y, получаем общее решение данного уравнения: .

Иногда уравнение становится линейным, если x считать неизвестной функцией, а y - независимой переменной.

Пример 5. Уравнение не линейно относительно y, но линейно относительно x, поскольку оно может быть записано в виде .

Линейное уравнение решают и с помощью подстановки (метод Бернулли), где u и v - неизвестные функции, зависящие от x, одна из которых может быть выбрана произвольно. В качестве произвольной функции удобно взять решение соответствующего однородного уравнения.

Уравнение вида (, ) называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с помощью замены . Однако удобнее решать это уравнение методом вариации или методом Бернулли, не приводя его к линейному.

Пример 6. Найдем решение задачи Коши для уравнения .

Пусть , тогда , и уравнение примет вид . Будем искать функцию v как какое-либо решение однородного уравнения . Например, можно положить . Тогда, очевидно, функция u должна удовлетворять уравнению . Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим: . Отсюда находим общее решение исходного уравнения , или .

Заметим, что тоже будет решением уравнения (разделяя переменные в однородном уравнении, необходимо рассмотреть отдельно случай ).

Подставляя в общее решение начальные данные , находим . И искомым решением задачи Коши будет решение .

4. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т. е. , а т. к. то отсюда следует, что ,

Для существования функции с указанными свойствами необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

при любых .

Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, достаточно найти функцию . Поскольку уравнение имеет вид 0, его общим решением будет семейство функций =с, где с - произвольная постоянная.

Функцию можно найти с помощью криволинейного интеграла (интеграл берется по любому пути L от некоторой точки до точки , поскольку если функция существует, то интеграл не зависит от формы пути интегрирования). Однако на практике можно найти более простым способом.

Из равенства следует, что , где - произвольная функция от переменной . Используя равенство , получаем: . Из последнего уравнения находим , а следовательно, и .

Пример 7. Решим уравнение .

Здесь , . Условие выполнено, поэтому уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует функция такая, что выполнены равенства , .

Интегрируя по x, имеем: , или . Дифференцируя полученное выражение по y и приравнивая его к , находим: . Следовательно, можно положить , а выражение дает общее решение уравнения.

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, т. е. уравнения вида , часто удается решить методом введения параметра . С помощью этого метода решаются уравнение Клеро , уравнение Лагранжа , уравнения вида . Покажем на примере применение метода.

Пример 8. Проинтегрируем уравнение Клеро .

Введем параметр : . Найдем полный дифференциал от обеих частей равенства: . Заменим на (поскольку ), после этого уравнение примет вид . Следовательно, или .

В случае из равенства получим особое решение уравнения Клеро: .

Если же , то p=c=const и . Последнее равенство, задающее семейство прямых, является общим решением исходного уравнения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

1. Если дифференциальное уравнение порядка имеет вид , т. е. не содержит искомой функции и ее производных до порядка включительно, то порядок уравнения может быть понижен с помощью подстановки .

Пример 9. Проинтегрируем уравнение .

Уравнение не содержит переменной y. Полагая (при этом ), получаем уравнение Клеро , оно имеет общее решение и особое решение (см. пример 8).

Возвратимся к переменной y в формуле общего решения: , и в формуле особого решения: . Проинтегрировав последние равенства, получим общее решение исходного уравнения и его особое решение .

Пример 10. Найдем решения уравнения .

Уравнение не содержит y и y¢ , поэтому порядок уравнения понижается до первого с помощью замены (при этом ). После замены уравнение принимает вид , т. е. становится линейным уравнением первого порядка. Выпишем его общее решение: .

Возвратимся к исходной переменной: . Два раза проинтегрировав последнее выражение, найдем общее решение исходного уравнения:

или , тогда

, отсюда .

Решая дифференциальные уравнения, полезно помнить, что общее решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных. В примере 10 проинтегрировано уравнение третьего порядка, его общее решение содержит три произвольные константы.

2. Если уравнение не содержит независимой переменной, т. е. имеет вид , то порядок уравнения понижается на единицу с помощью замены . При этом y рассматривается как новая независимая переменная, а p - как новая неизвестная функция, производные выражаются через p и производные функции p по y.

Выразим, например, . Поскольку , то

.

Аналогично выражается : .

Пример 11. Найдем решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Примем y за новую независимую переменную, а - за новую неизвестную функцию. Тогда и данное уравнение в новых переменных примет вид . В последнем уравнении переменные разделяются: , и после интегрирования получаем: .

Произвольную константу с определяем, используя начальные условия , . Подставляя эти условия в найденное решение, получаем: с=0. Поэтому , или , т. е. .

Заметим, что данным начальным условиям может удовлетворять только решение уравнения (в случае если , то ).

Общее решение уравнения дается формулой . Из условия следует, что , и искомым решением будет .

3. Порядок уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду, чтобы обе его части являлись производными от некоторых функций.

Пример 12. Заметим, что уравнение может быть записано в виде . Если равны производные, то функции могут отличаться только на константу, Значит, . Мы получили уравнение первого порядка, которое легко интегрируется.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение

. (5)