Дисциплина «Исследование операций» (стр. 1 )

Дисциплина «Исследование операций» читается на 3 курсе ПИ. Количество лекционных часов – 18. Количество лекций – 9.

Лекция 1

1. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

В настоящее время наука уделяет вопросам организации и управ­ления все больше внимания; это обусловлено совокупностью боль­шого числа различных причин. Быстрое развитие новых видов тех­ники и их постоянное усложнение, увеличение масштабов и стоимо­сти проводимых мероприятии, широкое внедрение новых методов и автоматических устройств в практику управления – все это при­водит к необходимости разработки способов научного анализа струк­туры и организации сложных процессов. От науки требуются реко­мендации по наилучшему (оптимальному) управлению такими про­цессами.

Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые объединяются под общим названием «Исследова­ние операций». Под этим подразумевается применение математи­ческих, количественных методов для обоснования оптимальных решений в различных областях человеческой деятельности.

Сложно принимать решения, когда речь идет о крупномасштаб­ных мероприятиях типа разработки перспективного плана развития отрасли промышленности или экономического региона. При этом обычно предполагается, что будут использованы новые технологии, связанные с производством прогрессивных изделии. При планиро­вании приходится опираться на большое количество данных, отно­сящихся как к прошлому опыту, так и к планируемому будущему. Выбранное решение должно по возможности гарантировать от оши­бок, связанных с неточным прогнозированием, и быть достаточно эффективным для широкого круга условии. Для обоснования такого решения используется сложная система математических расчетов, которая позволяет обеспечить правильное решение, позволяющее из­бежать ненужных затрат и потерь при планировании.

В настоящее время исследование операций – одна из быстро развивающихся отраслей науки, проникающая во все более широ­кие области применения: промышленность, сельское хозяйство, торговли, транспорт, финансовые операции и т. д.. Задачи исследо­вания операций во всех областях, где они возникают, имеют общие черты, и при их решении используются сходные методологические приемы. Например, методика количественного исследования, вы­работанная для анализа процессов образовании очередей в системах массового обслуживания (ремонтных мастерских, автозаправочных станциях и т. д.), может быть использована для организации рабо­ты сетей электронно-вычислительных машин и строительных организаций.

Для того чтобы ближе познакомиться с особенностями задач исследования операций, рассмотрим некоторые примеры таких задач.

1.  Организуется снабжение сырьем группы промышленных пред­приятий. Возможные поставщики сырья расположены в раз­личных географических пунктах страны и связаны с предпри­ятиями группы различными путями сообщения с различны­ми тарифами. Требуется разместить заказы на сырье таким образом, чтобы все потребности предприятий были удовлет­ворены в заданные сроки, а затраты на перевозки были ми­нимальными.

2.  Дли реализации определенного количества сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется определить основные параметры этой сети: число точек, их раз­мещение, численность персонала, продажные цены товаров и т. д. таким образом, чтобы обеспечить максимальную эко­номическую эффективность распродажи.

3.  Предприятие производит определенного типа изделия. Для обеспечения высокого качества этих изделий создастся систе­ма выборочного контроля. Требуется организовать такой конт­роль наиболее рациональным образом, для чего нужны следующие параметры: размер контрольной партии, последователь­ность контрольных операций, правила выбраковки изделий и т. п. При этом следует сделать эти расчеты таким образом, чтобы обеспечить заданный уровень качества при минималь­ных расходах.

4.  Имеется сложное техническое устройство, которое при неко­торых условиях может выходить из строя. Для того, чтобы ис­править повреждение, необходимо его локализовать и обна­ружить его причину. Требуется разработать систему тестов, позволяющую с достаточно большой вероятностью ликвиди­ровать неисправность за минимальное время.

В каждом приведенном примере речь идет о некотором меро­приятии, направленном на достижение определенной цели. Заданы условия, характеризующие обстановку мероприятия, которые не подлежат изменению (например, сроки поставки сырья в приме­ре 1). В рамках принятой системы условий требуется найти такое решение, которое позволит провести намеченное мероприятие с наи­большей выгодой или за минимальное время.

В соответствии с этими общими чертами конструируются и об­щие приемы решения описанных и подобных им задач, которые в совокупности составляют методологическую основу исследования операций.

Для решения конкретных практических задач исследование операций располагает большим набором разнообразных математиче­ских средств. Сюда относятся математические методы оптимизации, начиная от способов нахождения экстремальных значений функций (максимумов и минимумов), известных из курса высшей математи­ки, и включая такие современные методы, как линейное и нелинейное (выпуклое) программирование, динамическое программирование и многие другие. В этот набор входит также теория вероятности с ее новейшими разделами: теория случайных процессов, теория инфор­мации, теория массового обслуживания и др.).

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ

Операция – это любое мероприятие (действие или система дей­ствий), подчиняющиеся определенному замыслу и направленное на достижение конкретной цели.

Операция всегда является управляемым мероприятием, т. е. выбор того или иного способа ее организации зависит от лица, принима­ющего решения (ЛПР). Здесь термин «организация» понимается в смысле выбора значений параметров, от которых зависит успех пла­нируемого мероприятия.

Любой набор всех необходимых параметров называется решени­ем. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Решения, которые согласно последующей оценке оказываются предпочтительнее других возможных вариантов, называются оптимальными.

Основное назначение исследования операций состоит в предва­рительном количественном обосновании оптимальных решений. Дело в том, что процесс принятия реального решения выходит за рамки теории исследования операций и относится к компетенции ответ­ственного лица (или группы лиц), которым предоставлено право окончательного выбора способа действий. Может оказаться, что наряду с рекомендациями, следующими из математических расче­тов, необходимо принимать во внимание ряд факторов формального и неформального характера, которые не были учтены в расчетах.

Таким образом, исследование операций не ставит перед собой за­дачу полной автоматизации процессов принятия решений, а проводит тщательную подготовку количественных данных и реко­мендаций, облегчающих ЛПР принятие оптимального решения.

Помимо основной задачи – обоснования оптимальных решений – к области исследования операций относятся следующие задачи:

-  сравнительная оценка вариантов организации операции (реше­ний);

-  оценка влияния на результат операции параметров (заданных условий и определяемых параметров);

-  исследование так называемых «узких мест», Т. е. таких элемен­тов управляемой системы, нарушение действий которых особенно существенно повлияет на успешность операции.

Эти задачи исследования операций становятся особенно важны­ми, когда предлагаемая операция рассматривается не изолирован­но, а как составная часть не которой системы операций. В этом случае системный подход к задаче требует учета взаимной зависимости и обусловленности всего комплекса операций в целом.

Пусть рассматривается некоторая операция Q. Естественным требованием к принимаемому решению является эффективность операции, понимаемая как степень ее готовности к выполнению своего предназначения.

Для того чтобы судить об эффективности операции и сравни­вать между собой различные варианты решений, разрабатывается некоторый численный критерий оценки или показатель эффектив­ности, который часто также называется «целевой функцией».

Конкретный вид показателя эффективности W, которым следует пользоваться при численной оценке эффективности, зависит от осо­бенностей изучаемой операции, от ее целевой направленности, а также от постановки самой задачи исследования, которая может быть выражена в той и иной форме.

Многие операции выполняются в условиях, содержащих опре­деленные элементы случайности. Особенно это относится к рыноч­ным операциям, связанным с колебаниями спроса и предложения, курсов акций, валют и т. п. В этих ситуациях исход операции, если даже она была организована строго определенным образом, не мо­жет быть точно предсказан, а остается случайным. В таких случа­ях, в качестве показателя эффективности W выбирается не отдель­ная величина исхода операции, а ее среднее значение (математи­ческое ожидание). В частности, если целью операции является получение максимальной прибыли, то в качестве показателя эффек­тивности используется средняя прибыль.

Правильный выбор показателя эффективности следует признать необходимым условием полезности исследования, выполняемого для обоснования выбора оптимального решения.

Приведем несколько примеров, в каждом из которых показатель эффективности выбран в соответствии с целевой направленностью операции.

1.  Исследуется рентабельность промышленного предприятия, причем предлагается осуществить ряд мер с целью повыше­ния эффективности его работы. В качестве показателя эф­фективности предлагается прибыль (или средняя прибыль), полученная предприятием за хозяйственный год.

2.  На некотором предприятии организуется комплекс мероприя­тий по экономии сырья при производстве определенной группы изделий. Здесь показатель эффективности – это количество (или среднее количество) сэкономленных средств за опреде­ленный промежуток времени.

3.  Мастерская занимается ремонтом автомобилей; ее доходность определяется числом машин, обслуженных в течении дня. Показатель эффективности – среднее число машин за день. Здесь среднее число существенно, так как фактическое чис­ло есть случайная величина.

4.  Предпринимается ряд мер по повышению надежности сети компьютеров. Цель операции состоит в том, чтобы уменьшить частоту появления неисправностей «сбоев» сети, или, что рав­носильно, увеличить средний промежуток времени между сбоя­ми (так называемую «наработку на отказ». В качестве пока­зателя эффективности выбирается среднее время безотказной работы сети или среднее относительное время исправной ра­боты.

В этих примерах показатель эффективности требуется максимизировать, т. е. найти такое решение, которое дает наибольшее его значение. Аналогично существуют задачи, где требуется минимизировать значение целевой функции, т. е. определить наименьшее значение параметров. В примере 1 в качестве показателя эффективности можно выбрать объем производственных затрат при выполнении данного комплекса работ, который требуется сделать как можно меньше. Любую задачу нахождения минимума можно пре­вратить в задачу максимизации, для чего достаточно изменить знак величины W на обратный.

Лекция 2

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ

Для применения количественных методов исследования необ­ходимо построить математическую модель исследуемого объекта или процесса. При построении математической модели изучаемая опе­рация упрощается, схематизируется (среди факторов, влияющих на данное явление, выделяется некоторое число наиболее важных, по­лученная схема их взаимодействия описывается с помощью адекват­ного математического аппарата). В результате устанавливаются ко­личественные связи между условиями операции, параметрами ре­шения и выходным результатом – показателем эффективности решения.

Чем лучше данная математическая модель отражает характер­ные черты и особенности операции, тем успешнее будет планируе­мое исследование и тем полезнее будут полученные рекомендации.

Необходимо иметь в виду, что общих способов построения ма­тематических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и формулировки проблемы научного исследования. При этом обяза­тельно учитывается требуемая точность решения, а также точность, с которой получены исходные данные.

Требования, предъявляемые к модели, обычно довольно проти­воречивы. С одной стороны, она должна быть достаточно полной для того, чтобы в ней были учтены все факторы, от которых зави­сит исход операции. С другой стороны, модель должна быть прос­той, чтобы можно было установить зависимости (по возможности аналитические) между входящими в нее переменными и парамет­рами. Модель не должна содержать множества мелких, второстепен­ных факторов, это усложняет ее анализ и нахождение оптимально­го решения, а также теряется наглядность полученных результатов исследования.

В исследовании операций часто встречаются ситуации, когда при анализе особо сложных задач модель многократно совершенствуется: после выполнения определенного цикла расчетов анализируют не­достатки полученного решения, в модель вносят необходимые из­менения и дополнения, и процесс повторяется с уточненными дан­ными.

Построение математической модели – это наиболее важная и ответственная часть исследования, она требует глубокого понима­ния сути моделируемого явления и возможности привлечения адек­ватного и надежного математического аппарата. Математические модели, применяемые в исследовании операций, можно условно разделить на два основных класса: аналитические и статистические.

Для аналитических моделей характерно установление формуль­ных, аналитических зависимостей между переменными и парамет­рами задачи. Они записываются в виде алгебраических, интеграль­ных, дифференциальных, разностных и т. п. уравнений или систем уравнений. Опыт показывает, для того чтобы такое описание стало возможным, необходимо принять значительные упрощения и допу­щения, а это может отразиться на точности получаемого решения. Поэтому с помощью аналитических моделей удается описать с хо­рошей точностью лишь сравнительно несложные операции, где число взаимодействующих элементов не очень велико.

В сложных операциях, в которых взаимодействуют большое число важных факторов, в том числе и случайных, наиболее часто приме­няется метод статистического моделирования. Он состоит в том, что выполнение операции «повторяется» на компьютере, по возможности вместе со всеми сопровождающими его случайностями. В результа­те многократного проведения этой процедуры удастся получить нужные выходные характеристики операции с высокой степенью точности.

Статистические модели имеют перед аналитическими преиму­щество в том, что дают возможность учесть взаимодействие боль­шого числа факторов и не требуют дополнительных упрощений и допущений. Однако результаты статистического моделирования обычно представляются в виде таблиц и графиков, не простых для анализа и осмысления. Аналитические модели, как правило, более грубые, описывают явление очень приближенно и позволяют полу­чить представление результатов скорее, на качественном уровне. Но зато аналитическая форма представления наиболее полно отра­жает присущие явлению основные закономерности. Опыт показы­вает, что наилучшие результаты достигаются при совместном исполь­зовании аналитических и статистических моделей. В этом случае с помощью сравнительно простой аналитической модели описыва­ют основные взаимосвязи между параметрами и переменными опе­рации, а дальнейшие уточнения результатов осуществляют при по­мощи статистических моделей.

Пусть Q – некоторая операция (управляемое мероприятие), на исход которой можно повлиять, выбирая те или иные значения управляющих параметров. Эффективность операции и характеризуется показателем эффективности W (прибыли, чистого дохода и т. п.), который заранее известен. Требуется максимизировать эффектив­ность операции при определенных ограничивающих условиях.

Допустим, что построенная некоторым способом математическая модель операции дает возможность вычислить значение показате­ля эффективности при любом возможном управленческом решении для той совокупности условий, в которых выполняется операция.

Рассмотрим простейший случай, когда факторы, от которых, зависит успешность выполнения операции, можно разбить на две группы:

1.  заданные, известные факторы (параметры) al, а2, ... , они пред­ставляют собой числовые характеристики неизменяемых условий проведения операции;

2.  факторы (элементы решения) х1, х2, ... , которые подлежат определению в процессе выбора решения.

Случай, когда факторы, влияющие на исход операции, либо за­ранее известны, либо могут быть определены лицом, принимающим решение, называется детерминированным.

Следует заметить, что в общем случае под параметрами (задан­ными условиями) операции могут пониматься не только обычные числа, но и некоторые функции, выражающие ограничения, нало­женные на элементы решения. Элементы решения также могут быть и числами, и функциями.

Показатель эффективности является функцией, зависящей от обеих групп факторов – и от параметров, и от элементов реше­ния. Эту зависимость можно представить в виде формулы общего вида:

W = W (al, а2, ...; х1, х2, ...).

Так как согласно условиям задачи, математическая модель по­строена, следовательно указанная зависимость лицу, принимающему решение, известна и для любых значениях а1, а2, ... ; x1, х2, ... мож­но вычислить значение W.

Теперь задачу исследования операций математически мож­но сформулировать следующим образом: при заданных условиях а1, а2, ... найти элементы решения х1, х2, ..., которые максимизи­руют показатель W.

С точки зрения математики – это задача, относящаяся к так называемым вариационным проблемам. Методы решения отдельных классов таких задач хорошо исследованы. Наиболее простые спосо­бы направлены на решение экстремальных задач (задач на нахож­дение максимума или минимума) при помощи средств высшей математики. Для нахождения экстремума функции нужно найти ее первые производные по всем аргументам, приравнять их нулю и решить полученную систему уравнений. В результате будут полу­чены так называемые критические точки функции. Дополнительный анализ позволяет определить среди них те, которые являются точ­ками экстремума.

Однако этот простой метод в задачах исследования операций имеет очень ограниченное применение, чему имеется несколько различных причин.

1.  В задачах исследования операций обычно имеется большое количество элементов решения (аргументов функций) и по­этому совместное решение системы уравнений, полученных дифференцированием имеющихся зависимостей, как прави­ло, оказывается очень сложным, иногда даже более сложным, чем прямой, непосредственный поиск экстремальной точки.

2.  Если на аргументы функции накладываются дополнительные ограничения, которые ограничивают область их изменения, то во многих случаях экстремум достигается не в той точке, где производные обращаются в нуль, а на границе области воз­можных решений. В этом случае характерная для исследова­ния операций математическая задача нахождения экстрему­ма при наличии ограничений не вписывается в классические схемы решения вариационных задач.

3.  На практике часто встречаются ситуации, когда из-за некоторых особенностей исследуемых функций или из-за дис­кретного, а не непрерывного изменения аргумента производ­ные не существуют.

Следует иметь в виду, что общих математических методов отыс­кания экстремумов функций произвольного вида при наличии любых ограничений не существует. Однако для случаев, когда фун­кции и ограничения обладают некоторыми дополнительными свой­ствами, разработано большое количество специальных способов решения задач. В частности, если показатель эффективности линейно зависит от аргументов (элементов решения) и имеющиеся ограничения задачи, наложенные на аргументы, также имеют вид линей­ных равенств или неравенств, то экстремум функции можно отыс­кать с помощью методов линейного программирования.

Если показатель эффективности является выпуклой или квад­ратичной функцией своих аргументов, то методы выпуклого или квадратичного программирования дают возможность получить ис­комое решение достаточно быстро и точно, несмотря на то, что эти методы являются более сложными по сравнению с методами линей­ного программирования.

Если исследуемая операция естественным образом разделяет­ся на ряд этапов или шагов (например, операция планирования про­должительностью в несколько лет), а показатель эффективности может быть выражен в виде суммы частных показателей, достигну­тых за отдельные этапы, то решение, дающее максимальную эффек­тивность, позволяет получить метод динамического программиро­вания.

Если ход операции описывается дифференциальными уравнениями, а управление, меняющееся со временем, представляет собой некоторую функцию с известными свойствами, то в этом случае применяют методы, основанные на так называемом принципе мак­симума.

Таким образом, в рассмотренном детерминированном случае проблема нахождения оптимального решения управления операцией может быть сформулирована как математическая задача отыскания экстремума показателя эффективности. При большом количестве аргументов эта задача может оказаться сложной, но здесь сложность связана с обработкой больших массивов чисел, и при помощи ком­пьютерной техники ее обычно удается решить тем или иным спо­собом с удовлетворительной точностью. Трудности, как правило, связанны с проведением вычислений и не имеют принципиального значения.

Лекция 3

4. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Иногда имеет место ситуация, когда не все условия выполнения операции, известны до ее начала, т. е. некоторые условия содержат элементы неопределенности. Например, успех экономической операции зависит от трудно предсказуемых колебаний спроса и пред­ложения или от поведения конкурентов. В подобных случаях эффек­тивность операции складывается уже не из двух, как в детерминиро­ван ном случае, а их трех груп п факторов:

-  условия выполнения операции а1, а2, ... , которые известны ЛПР заранее и изменены быть не могут;

-  неизвестные заранее условия и факторы у1, у2, ... ;

-  элементы решения х1, х2, ... , которые надлежит определить.

Предположим, что эффективность операции характеризуется не­которым показателем W, зависящим от трех групп факторов:

W = W (al, а2, ...; у1, у2, ... ; х1, х2, ...).

Если бы условия у1, у2, ... были известны, то можно было бы заранее рассчитать область значений показателя эффективности и выбрать такое решение, при котором он достигает максимального значения, так как мы имели бы дело с детерминированным случаем. Но так как указанные параметры неизвестны, то, следовательно, неизвестна и связь между предлагаемым решением и значением показателя эффективности.

Тем не менее задача выбора оптимального решения по-прежне­му остается актуальной и ее можно сформулировать следующим об­разом: при заданных условиях al, а2, ... с учетом неизвестных факторов у1, у2, ... найти такие элементы решения х1, х2, ... которые по воз­можности бы максимизировали показатель эффективности W.

Таким образом, возникает уже не чисто математическая задача, поскольку в ее формулировке присутствует выражение «по возмож­ности». Дело в том, что наличие неизвестных факторов переводит поставленную задачу в другую категорию – она превращается в за­дачу о выборе решения в условиях неопределенности.

Поскольку условия операции неизвестны, то нет возможности организовать ее так же успешно, как это можно было бы сделать, если бы руководитель, операции располагал большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого в полностью определенной обстановке. Для того чтобы выбрать решение в условиях неопределенности, руко­водитель операции может воспользоваться математическим расче­том. Обоснованное таким образом решение будет лучше решения. выбранного произвольным образом.

Задачи о выборе решения в условиях неопределенности очень часто встречаются в практической деятельности людей и организа­ций. Простым примером может служить организация выезда груп­пы сотрудников в экспедицию. Вес вещей и приборов, которые можно взять с собой, не может превышать определенного предела (усло­вия al, а2, ...). Погода в районе дислокации экспедиции заранее не­известна (условия у1, у2, ...). Требуется определить, какие предме­ты одежды (х1, х2, ...) следует взять с собой.

Обычно такую задачу решают без использования какого-либо математического аппарата, хотя без опоры на такие данные, как вероятность дождливой или морозной погоды в районе экспедиции в данное время года, обойтись нельзя.

Однако если нужно принять более ответственное и серьезное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков), то выбор решения обязательно дол­жен быть обоснован математическими расчетами, которые делают его аргументированным.

Выбор методов существенно зависит от природы неизвестных факторов у1, у2, ... И от того, какими хотя бы приблизительными, ориентировочными сведениями о них располагает руководитель опе­рации.

Наиболее простой для расчетов является ситуация, когда неиз­вестные факторы представляют собой случайные величины, о которых имеются статистические данные, характеризующие распределение их вероятностей.

Рассмотрим работу железнодорожной сортировочной станции, где руководитель операции стремится оптимизировать процесс обслуживания прибывающих на станцию грузовых поездов. Заранее неизвестны ни точное время прибытия поездов, ни число вагонов в поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Эти характе­ристики представляют собой случайные величины, закон распреде­ления каждой из них может быть определен на основе предшеству­ющего опыта, по имеющимся данным обычными методами матема­тической статистики.

В случае, когда неизвестные факторы, выступающие в операции, являются обычными случайными величинами или случайными функ­циями, распределение которых известно (хотя бы приблизительно), то для оптимизации решения может быть использован или способ искусственного сведения к детерминированной схеме, или способ «оптимизации в среднем».

При способе искусственного сведения к детерминированной схеме вероятностная обстановка, в которой происходит явление, прибли­женно заменяется полностью детерминированной. С этой целью все участвующие в данной операции случайные факторы у1, у2, ... при­ближенно заменяются неслучайными величинами. Обычно для та­кой замены используются математические ожидания случайных факторов.

Этот способ применяется, как правило, при проведении ориен­тировочных расчетов, направленных не столько на оценку количе­ственной стороны операции, сколько на выявление качественного результата (например, получится или нет задуманная операция). Следует заметить, что этот способ оказывается эффективным, ког­да диапазон случайных изменений (дисперсия) случайных величин достаточно мал, тогда эти величины без большой погрешности мо­гут рассматриваться как неслучайные. Замену случайных величин их математическими ожиданиями можно использовать в ситуациях, когда величины у1, у2, ... имеют большой разброс, но показатель эффек­тивности W линейно или почти линейно зависит от их значений.

Способ «оптимизации в среднем» является более сложным и при­меняется, когда замена случайных величин у1, у2, ... на их математическое ожидание приводит к значительным погрешностям результа­тов. Реализация этого способа состоит из нескольких этапов.

На первом этапе рассматривается плотность распределения слу­чайных факторов – функция f(у1, у2, ...) – и с ее помощью опреде­ляется математическое ожидание показателя эффективности величина

Wm = М [W],

которая зависит от элементов решения.

На втором этапе выбирается решение x1, х2, ... , при котором величина Wm будет иметь максимальное значение.

Обоснование эффективности применения этого способа состо­ит в том, что хотя успешность каждой отдельной операции, осуще­ствляемой при случайных, заранее неизвестных значениях факторов, может заметно отличаться от ожидаемого среднего значения как в большую, так и в меньшую сторону, но при многократном осущест­влении данной операции эти различия сглаживаются и результат получается вполне удовлетворительным.

Как видно из описания приведенного способа, для уверенной работы в условиях неопределенности и оценки величины возмож­ной погрешности полезно кроме математического ожидания пока­зателя эффективности определить разброс его значений (дисперсию или среднее квадратическое отклонение).

Наиболее трудным для исследования операции представ­ляется случай неопределенности, когда случайные факторы у1, у2, ... не могут быть описаны и изучены при помощи статистических ме­тодов. Такая ситуация возникает, если отсутствуют необходимые статистические данные о законах распределения этих величин или когда законов распределения просто не существует. Как правило, это ситуации, когда исследуемое явление не обладает свойством стати­стической устойчивости. Например, ожидаемый доход от некоторой внешнеторговой операции зависит от наличия и качества аналогич­ного товара у предполагаемого конкурента в момент начала продаж на рынке. Очевидно, что здесь нет никакой возможности вычислить вероятности каких-либо гипотез, их приходится назначать произ­вольно или путем экспертных оценок, что может заметно испортить объективность исследования и оценок оптимального решения.

В подобных случаях, вместо произвольного и субъективного назначения вероятностей с последующей «оптимизацией в среднем», можно рассмотреть весь диапазон возможных вариантов случайных условий или наиболее вероятное его подмножество и получить данные о том, какова эффективность исследуемой операции в этом диапазоне и как на нее влияют неизвестные условия.

Описанный подход позволяет получить решение, оптимальное для некоторой выбранной совокупности неизвестных условий, такое решение называется локально-оптимальным. Совокупность локально-оптимальных решений для всего диапазона случайных условий дает представление о том, как руководитель операции дол­жен поступать в том случае, когда неизвестные ранее условия у1, у2, ... становятся ему известны. Поэтому в случае неопределенности локально-оптимальное решение, на нахождение которого обычно тратится много времени и средств, имеет весьма ограниченную цен­ность. В большинстве случаев становится ясным, что необходимо выбрать не строго оптимальное для каких-то определенных усло­вий решение, а некоторое компромиссное решение, которое, не яв­ляясь строго оптимальным ни для каких условий, оказывается при­емлемым в некотором диапазоне условий.

Обычно окончательный выбор компромиссного решения осуще­ствляется человеком (лицом, принимающим решения). Опираясь на расчеты, он может оценить и сопоставить сильные и слабые сторо­ны каждого варианта решения в различных условиях и на основе этого сделать окончательный выбор. При этом необязательно (хотя зача­стую и очень полезно) знать точный локальный оптимум для каж­дой совокупности условий у1, у2, ... Это означает, что классические вариационные и новейшие оптимизационные методы математики в данной ситуации не имеют определяющего значения и отступают на второй план.

Далее рассмотрим случай, который проявляется в так называе­мых конфликтных ситуациях, когда неизвестные параметры у1, у2, ... зависят не от объективных обстоятельств, а от действий активно противостоящего руководству операции конкурента. Такие ситуа­ции являются весьма характерными для действий предприятия в сложной экономической обстановке, в особенности в условиях внеш­ней торговли, когда идет спор за рынки сбыта. Здесь при выборе оптимальных решений оказывается полезным аппарат математиче­ской теории конфликтных ситуаций – теории игр. Модели кон­фликтных ситуаций, изучающиеся теорией игр, основаны на предпо­ложении, что руководитель операции имеет дело с разумным и дально­видным противником, который выбирает свое решение (поведение) наилучшим для себя (и наихудшим для «нашей» операции) спосо­бом. Такой взгляд на конфликтную ситуацию в значительном чис­ле случаев позволяет руководству операции найти наименее рис­кованное, решение, которое необязательно должно быть принято, но которое полезно иметь в виду.

Полезным может оказаться следующий подход. Если при обо­сновании оптимального решения в условиях неопределенности при любых действиях руководства операции влияние неопределеннос­ти остается весьма значительным, то совершенно необязательно про­водить большое количество расчетов для получения высокоточно­го результата. Вместо этого предлагается определить некоторую область (множество) допустимых и подходящих решений, которые при любом способе оценки оказываются лишь незначительно хуже решений, полученных с высокой точностью. Затем руководители операции легко могут сделать окончательный выбор оптимального решения среди элементов этого множества.

Лекция 4

5. ОЦЕНКА ОПЕРАЦИИ ПО НЕСКОЛЬКИМ ПОКА3АТЕЛЯМ

До этого момента мы рассматривали задачи исследования опе­раций, в которых требовалось выбрать оптимальное решение таким образом, чтобы определить максимальное (или минимальное) зна­чение одного единственного показателя эффективности W. Одна­ко на практике часто встречаются случаи, когда эффективность операции приходится оценивать сразу по нескольким показателям W1, W2, ... , Wk, причем некоторые показатели (например показа­тели объема выпуска) желательно сделать как можно больше, а другие (например, затратные показатели) как можно меньше.

Как правило, эффективность больших по объему, сложных опе­раций не может быть охарактеризована с помощью одного показа­теля, поэтому приходится привлекать дополнительные оценочные критерии. Например, при оценке деятельности промышленного предприятия нужно учитывать такие показатели, как объем произ­веденной продукции, себестоимость единицы продукции, прибыль­ность (рентабельность) производства, трудовые затраты и др.

Следует заметить, что во многих случаях выдвигаемые требования максимизации и минимизации показателей эффективности оказыва­ются просто несовместимыми. Например, требование «достижение максимального эффекта при минимальных затратах» не является корректным для научного анализа. Правильной постановкой зада­чи может быть стремление достичь «максимального эффекта при заданном уровне затрат» или «определенного эффекта при минималь­ных затратах».

В общем случае не существует такого решения, которое обра­щало бы в максимум один показатель и одновременно в максимум (или минимум) другой показатель; тем более, такого решения не существует для нескольких показателей. Однако количественный анализ эффективности позволяет отбросить явно нерациональные варианты решений, уступающие лучшим вариантам по всем по­казателям. Процедура предварительной отбраковки неконкуренто­способных вариантов решения всегда должна предшествовать реше­нию задачи исследования операций с несколькими показателями. Ее проведение, хотя и не снимает необходимости компромисса, но значительно уменьшает размер множества возможных решений, в пределах которого выполняется выбор оптимального решения.

Поскольку комплексная оценка решения сразу по нескольким показателям является весьма трудоемкой и требует дополнительных размышлений, на практике стараются объединить несколько пока­зателей в один обобщенный показатель (или критерий). Наиболее распространенный способ формирования такого «составного кри­терия» состоит в образовании «взвешенной суммы» различных по­казателей эффективности:

U = а1 W1 + а2 W2 + ... + аn Wn,

где коэффициенты а1, а2, ... аn, положительные или отрицательные натуральные числа. Положительные коэффициенты ставятся при показателях, которые требуется максимизировать, а отрицатель­ные – при показателях, подлежащих минимизации. Абсолютные зна­чения коэффициентов, называемые «весами», соответствуют степени относительной важности показателей, которая определяется путем неформального анализа.