Сопротивление материалов Задачи для домашних заданий, примеры решений (стр. 2 )

Стержень вдоль длины имеет четыре участка. Обозначим их на расчётной схеме. Для определения продольных сил далее применим метод сечений. С этой целью внутри каждого участка, в произвольном месте, проводим поперечные сечения 1-1, 2-2, 3-3, 4-4. В результате стержень каждый раз разделяется на левую и правую части. Уравнение равновесия любой из них даёт значение продольной силы и её направление. Рассмотрим каждый участок отдельно.

1 участок z [0; l]

Возьмём для рассмотрения левую отсечённую часть, так как к ней приложено меньшее количество сил. Укажем ось z-ов с началом на левом конце и продольную силу N. Её лучше направлять в положительную сторону, что в данном случае означает направление на растяжение, т. е. направо. Удобство такого приёма состоит в том, что при его применении автоматически получается ответ, учитывающий правило знаков для продольной силы.

Составим уравнение равновесия для отсечённой части:

F1 + N = 0.

Отсюда имеем

N = –F1 = –16 кН.

Полученный в ответе знак минус означает, что направление продольной силы, показанное на рисунке, не соответствует истинному, т. е. она направлена влево, на сжатие.

Для построения эпюры N проводим её нулевую линию параллельно продольной оси стержня. Полученный результат является постоянной отрицательной величиной. Поэтому на эпюре ей соответствует горизонтальная линия, проведенная ниже нулевой линии на расстоянии, отложенном в выбранном масштабе. Знак минус на таком рисунке указывается в кружочке, сама эпюра штрихуется перпендикулярно нулевой линии, т. е. вертикально. В избранном масштабе штриховые линии изображают значения продольных сил в сечениях. Поэтому штриховать эпюры следует строго вертикально (не горизонтально, не наклонно!).

Теперь найдём нормальные напряжения в сечениях

Здесь при подстановке чисел в формулу следует перейти к единицам измерения в системе СИ:

1 кН = 103 Н, 1 см2 = 10-4 м2.

Перейдём к определению относительных деформаций. По закону Гука

В таком же порядке рассматриваются и другие участки.

2 участок z [0; l]

Такие же действия, как для первого участка, приведут к следующим результатам:

.

.

Получена линейная функция. Поэтому эпюра будет прямолинейной. Достаточно найти две её точки.

N(0) = –16 кH.

Знак минус означает, что избранное направление стрелки не соответствует действительному, т. е. здесь сила направлена влево, к сечению, на сжатие.

N(l)= –16 + 24·1 = 8 кH.

По полученным двум числам строим эпюру продольной силы для данного участка в виде прямой наклонной линии.

Найдём нормальные напряжения. В общем виде имеем линейную функцию

Определим её значения в двух точках. На левом конце участка

На правом конце

Соответствующие относительные деформации

3 участок z [0; l]

Здесь целесообразно рассматривать правую отсечённую часть. Ось z-ов направляем произвольно, вправо. Продольную силу N изображаем в виде стрелки, направленной влево, в положительную сторону, т. е. на растяжение.

Знак плюс, полученный здесь, означает, что продольная сила по направлению совпадает с показанным на рисунке, т. е. направлена от сечения, налево, на растяжение.

Получен результат в виде постоянной величины. Поэтому на эпюре будет горизонтальная линия, отложенная от нулевой в том же масштабе, как для предыдущих участков.

Нормальные напряжения в поперечном сечении:

Относительные деформации:

4 участок

Составляем уравнение равновесия и находим продольную силу:

Нормальные напряжения:

Соответствующие относительные деформации:

Перейдём к определению перемещений. С этой целью по длине стержня намечаем характерные точки a, b, c, e, f, для которых будем вычислять перемещения.

Они совпадают с границами участков. На втором участке действует распределённая нагрузка. Здесь эпюра перемещений будет криволинейной. Поэтому для её построения нужна ещё одна дополнительная точка. В качестве таковой изберём точку d, где N, , равны нулю. Перемещение в этой точке экстремальное (max или min) для этого участка. Найдём её положение, приравнивая продольную силу к нулю

Отсюда имеем

Теперь можно приступить к непосредственному определению перемещений точек. Точка а закреплена, неподвижна. Поэтому

Перемещение точки b равно удлинению четвёртого участка стержня, т. е.

Перемещение точки c равно сумме деформаций третьего и четвёртого участков

Перемещение ub уже найдено, поэтому

Перемещение точки d равно сумме

где – удлинение участка cd. На этом участке относительная деформация – переменная величина, поэтому его удлинение равно площади треугольника на эпюре т. е.

Таким образом,

Аналогично определяются перемещения точек e и f:

Прочность конструкции проверим методом допускаемых напряжений. Условие прочности имеет вид

Допускаемое напряжение:

Максимальное по модулю значение нормального напряжения в сечениях стержня = 80 МПа. Следовательно, условие прочности выполняется. Делается вывод: «Прочность конструкции обеспечена».

Исходные данные

Второе число шифра	q кН/м	F1 кН	F2 кН	σТ МПа	nT	l м	A cм2
1	18	15	20	240	1,6	1,0	2,0
2	12	24	14	280	1,4	1,5	1,8
3	18	30	20	300	1,5	1,2	1,6
4	12	14	26	340	1,7	1,8	1,4
5	15	20	16	360	1,8	1,4	1,9

расчётные схемы

Задача 3

Расчёт шарнирно-стержневой системы на прочность

и жёсткость по предельным состояниям

Шарнирно-стержневая система, состоящая из упругих тяг, нагружена сосредоточенной нормативной силой Fн. Предел текучести материала sт, модуль упругости Е. Коэффициенты надёжности: по нагрузке – γf, по материалу – γm, по условию работы – γc, по ответственности – γn.

Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить требуемые площади поперечных сечений тяг, вычислить полное перемещение точки приложения силы F по второму предельному состоянию. Изобразить деформированное состояние системы.

Исходные данные

Шифр	Fн кН	l м	a м	sT МПа	Е ГПа	γf	γm	γc	γn
31–6	25	1,8	1,2	320	200	1,2	1,15	0,9	0,95

Решение

Обозначим номера стержней 1, 2, узел В (рис. 1). Расчёты на прочность требуют предварительного определения продольных сил в тягах. Воспользуемся методом сечения и вырежем узел В (рис. 2). Укажем оси х, у.

Расчёты по вычислению перемещения точки В будут проводиться по второму предельному состоянию. Поэтому в качестве нагрузки пока оставим заданную нормативную силу Fн. Покажем на схеме оси x и у, продольные силы N1, N2. При этом целесообразно направления сил избрать положительными, т. е. на растяжение. Воспользуемся уравнениями равновесия:

ΣХ = 0, –N1 cos 60° – N2cos 50° = 0,

ΣY = 0, N1 cos 30° – N2cos 40° – Fн = 0.

После подстановки чисел уравнения примут вид

–0,5N1 – 0,643N2 = 0, 0,866N1 – 0,766N2 = Fн.

Отсюда

N1 = 17,10 кH, N2 = –13,30 кH.

Знак минус в ответе означает, что сила N2 имеет направление, противоположное изображённому на схеме, и будет сжимающей силой.

Найдены нормативные усилия. Для расчётов на прочность потребуются их расчётные значения и нормативное сопротивление материала. Расчётные значения получим, умножая нормативные величины на коэффициент надёжности по нагрузке:

N1р = N1 γf = 17,10 · 1,2 = 20,52 кН, N2р = N2 γf = –13,30 · 1,2 = –15,96 кН.

Нормативное сопротивление равно пределу текучести, т. е. Rн = sT = 320 МПа. Расчётное сопротивление материала вычислим по соответствующей формуле:

Требуемые площади поперечных сечений стержней найдутся из условия прочности. Для первого стержня оно имеет вид

(1)

где A1 – искомая площадь сечения. Определим её из (1):

= 58,38 · 10-6 м² = 58,38 мм².

Аналогично вычисляется и площадь сечения второго стержня:

= 37,84 · 10-6 м2 = 37,84 мм².

Перемещение точки B зависит от деформации тяг. Определим их по формуле закона Гука при нормативных значениях усилий в сечениях стержней:

∆l = = 0,00264 м = 2,64 мм,

∆a = = –0,00211 м = –2,11 мм.

Выполним геометрические построения, связанные с деформацией стержней и перемещением шарнира В (рис. 3). Продлим прямую вдоль стержня 1 и на ней отложим отрезок ВL, равный удлинению Δl. Стержень 2 сжимается, поэтому его деформация получена со знаком минус, откладываем Δа в сторону укорочения на самом стержне 2, т. е. в виде отрезка ВK. Шарнир В должен переместиться в точку пересечения дуг, описанных из центров D, С (рис. 1) и проходящих через точки L и K. Поскольку деформации малы, (в данном случае порядка двух мм), дуги окружностей заменяем перпендикулярами к стержням, и они пересекаются в точке B'.

Задача далее состоит в том, чтобы найти перемещение BB'. Для её решения из точек B и B' проведём горизонтальную и вертикальную составляющие u и v.

Простые геометрические соображения позволяют записать соотношения:

Δl = BL = BH + LH = v cos 30˚ + u sin 30˚,

|Δa| = KB = BG – KG = v cos 40˚– u cos 50˚. (2)

Нетрудно заметить, что они образуют линейную алгебраическую систему относительно u и v:

0,866 v + 0,5 u = 2,64, 0,766 v – 0,6428 u = 2,11.

При составлении равенства (2) длина отрезка GA должна иметь положительное значение, поэтому деформация Δa берётся по модулю. Решение системы уравнений даёт

v = 2,92 мм, u = 0,21 мм.

Из прямоугольного треугольника BB'L находим

BB' = = 2,93 мм.

Исходные данные

Второе число шифра	Fн кН	l м	a м	sТ МПа	Е ГПа	γf	γm	γc	γn
1	10	1,8	1,4	120	70	1,1	1,05	0,85	0,90
2	20	1,6	1,2	150	80	1,2	1,10	0,90	0,95
3	30	2,6	2,2	250	200	1,3	1,12	0,95	1,05
4	40	2,5	2,0	360	210	1,4	1,15	1,00	1,10
5	50	2,2	1,8	240	205	1,3	1,10	0,90	1,05

расчётные схемы