Элементы квантовой механики и ядерной физики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

Расчетно-графическое задание №6

Иваново 2005

Составители:Т. А.НИКОЛАЕВА

Е. Я.ПОДТЯЖКИН

Редактор: В. Х.КОСТЮК

Расчетно-графическое задание №6 предназначено для обеспечения самостоятельной работы студентов по разделам: «Квантовая механика», «Атомная и ядерная физика».

Приведены варианты контрольных заданий для студентов заочной формы обучения.

Утверждены цикловой методической комиссией ИФФ.

Рецензент

кафедра физики Ивановского государственного энергетического университета

Программа по общему курсу физики.

Раздел «Элементы квантовой механики»

Элементы физики атомов.

Строение атомов. Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома и ее недостатки. Волновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля. Экспериментальное подтверждение волновых свойств частиц. Дифракция электронов. Корпускулярно - волновой дуализм материи. Соотношение неопределенностей Гейзенберга и невозможность классического описания

движения микрообъектов. Волновая функция и ее свойства. Физический смысл волновой функции. Уравнение Шредингера (нестационарное и стационарное). Свободная частица. Частица в потенциальной яме. Атом водорода. Сложные атомы. Квантовые числа. Принцип Паули. Переодичность химических свойств атомов и объяснение этой переодичности в рамках квантово-механического описания.

Элементы физики ядра.

Строение ядра. Нуклоны. Масса и размеры ядра. Плотность ядерного вещества. Ядерные силы и их свойства. Природа ядерных сил. П-мезоны. Дефект массы. Энергия связи ядра. Удельная энергия связи и ее зависимость от массового числа. Модели ядра. Ядерные реакции, деление тяжелых ядер и синтезы легких ядер. Проблемы источников энергии. Цепная реакция деления. Ядерный реактор. Термоядерный синтез. Явление радиоактивности. Альфа-, бета - и гамма-распад. Закон радиоактивного распада. Период полураспада и среднее время жизни. Туннельный эффект. Слабые взаимодействия. Энергия звезд.

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ. ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ “ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ”.

Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс , а с другой – волновые характеристики – частота n и длина волны l. Количественные соотношения, объединяющие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

, (1),

где Дж·с – постоянная Планка.

Любой частице с импульсом сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

(2).

В нерелятивистском приближении импульс частицы связан с ее кинетической энергией соотношением:

(3).

В релятивистском случае, указанное соотношение приобретает вид:

(4),

где - скорость света в вакууме, - энергия покоя частицы.

В механике микрочастиц их стационарные состояния описываются волновыми функциями , которые являются решениями уравнения Шредингера. В процессе решения этого уравнения находится также ряд допустимых значений энергии частицы.

Для частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой “потенциальной яме”:

(5),

(6),

где - квантовое число (= 1,2,3, …); - масса частицы; - ширина ямы и = 1,05·10-34 Дж·с – постоянная Планка.

Зная волновую функцию, можно найти плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой :

(7),

где - вероятность обнаружить частицу на отрезке от до .

Вероятность обнаружить частицу на отрезке от до равна:

(8).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Параллельный пучок электронов падает по нормали на диафрагму с узкой щелью шириной a = 2 мкм. Ширина центрального дифракционного максимума на экране, расположенном на расстоянии l = 50 см от щели, равна b = 80 мкм. Определить скорость электронов (считая ее одинаковой для всех частиц).

Решение.

Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Для определения скорости электронов применим формулу

де-Бройля (1):

.

Положение дифракционных минимумов можно определить по формуле:

.

Из рисунка 1.1 видно, что:

.

Т. к. угол мал, то:

.

Полагая , получим что:

Тогда:

Ответ:

Задача 2. Во сколько раз увеличится длина волны де Бройля у частицы, если ее кинетическая энергия уменьшится от до ?

Решение.

В данном случае, кинетическая энергия частицы сравнима с ее энергией покоя. Поэтому для расчета импульса частицы следует воспользоваться релятивистским выражением (4):

Согласно (2), длина волны де Бройля равна:

Аналогично, во втором случае:

Тогда, отношение длин волн де Бройля равно:

Ответ:

Задача 3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной “потенциальной яме” шириной в состоянии с n =2.

1). Вычислить вероятность того, что электрон будет обнаружен в интервале

2). Найти точки и , в которых плотность вероятности обнаружения частицы максимальны.

Решение

1). Вероятность обнаружить частицу в интервале определяется равенством (8):

,

где - нормированная волновая функция частицы, в данном состоянии.

Согласно (7), возбужденному состоянию (n = 2) отвечает функция

.

С учетом этого:

.

Так как: , и то:

.

2). Согласно (7), плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой равна : . График этой функции для состояния с n = 2 приведен на рисунке 1.2.

Функция имеет максимумы когда , т. е. при (-целое число), .

Примем: = 0

= 1

Ответ: 1). ; 2). , .

Задачи для самостоятельного решения

1.1.  Определить отношение длин волн де Бройля для электрона и протона, прошедших в электрическом поле из состояния покоя одинаковую разность потенциалов.

1.2.  Ядро дейтерия (1H2) и альфа-частица (2Не4) прошли в электрическом поле из состояния покоя одинаковую разность потенциалов. Найти отношение длин волн де Бройля для этих частиц.

1.3.  В однородном электрическом поле напряженностью E = 100 кВ/м из состояния покоя начинает двигаться электрон. Найти длину волны де Бройля электрона, когда он пройдет расстояние S = 1 см.

1.4.  Частица с кинетической энергией Т = 200 эВ, и имеет длину волны де Бройля, равную 0,00202 нм. Найти массу этой частицы.

1.5.  Вычислить длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью, равной м/с.

1.6.  Во сколько раз изменится длина волны де Бройля у частицы, если ее скорость изменится от м/с до м/с?

1.7.  Вычислить длину волны де Бройля для электрона, у которого кинетическая энергия в 2 раза меньше его энергии покоя.

1.8.  Во сколько раз изменится длина волны де Бройля частицы, если ее кинетическая энергия изменится от до ?

1.9.  Какую кинетическую энергию надо дополнительно сообщить электрону, чтобы его длина волны де Бройля уменьшилась от =0,2 нм до =0,1 нм?

1.10.  Вычислить значение длины волны де Бройля для тепловых нейтронов, скорость которых равна средней квадратичной скорости при температуре T = 300 K.

1.11.  Во сколько раз уменьшится длина волны де Бройля тепловых нейтронов в активной зоне ядерного реактора, если температура повысится от 600 до 1200 K? Расчет вести по средней кинетической энергии нейтронов.

1.12.  Во сколько раз увеличится длина волны де Бройля у альфа-частицы, если при движении в воздухе ее кинетическая энергия уменьшается от 5 МэВ до средней кинетической энергии теплового движения при температуре T = 300 K?

1.13.  В результате фотоэффекта из вольфрамовой пластины (эВ) вырваны электроны. Длина волны падающего света 200 нм. Найти минимальную длину волны де Бройля фотоэлектронов.

1.14.  При ионизации атома водорода был поглощен фотон с длиной волны нм. Найти длину волны де Бройля электрона. Энергия ионизации атома водорода 13,6 эВ.

1.15.  Ядро плутония Pu239 испускает альфа-частицу с энергией 5 МэВ, превращаясь при этом в ядро урана U235. Считая, что ядро плутония свободно и до распада покоилось, найти длину волны де Бройля ядра урана.

1.16.  В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл, альфа-частица движется по окружности радиуса R = 1 м. Найти длину волны де Бройля этой частицы.

1.17.  Считая, что расстояние между атомами кристалла равно 0,3 нм, найти минимальную разность потенциалов, которую должен пройти поток электронов, чтобы при отражении от кристалла можно было наблюдать их дифракцию.

1.18.  Возбужденное ядро урана U235 переходит в основное состояние, испуская -квант с энергией 0,5 МэВ. Считая, что первоначально ядро покоилось, найти его длину волны де Бройля после перехода в невозбужденное состояние.

1.19.  Рентгеновский фотон с длиной волны = 0,01нм претерпевает комптоновское рассеяние на свободном электроне. Угол рассеяния . Определить длину волны де Бройля электрона отдачи.

1.20.  Параллельный пучок электронов, с кинетической энергией 50 эВ падает на щель. Ширина главного дифракционного максимума на экране, расположенного на расстоянии 1 м от щели равна 10 см. Определить ширину щели.

1.21.  Узкий пучок электронов с кинетической энергией Т= 200 эВ, падает по нормали на поверхность кристалла. В направлении, составляющем угол с нормалью к поверхности кристалла, наблюдается дифракционный максимум четвертого порядка. Вычислить величину межплоскостного расстояния в кристалле.

1.22.  Параллельный пучок электронов с кинетической энергией Т = 20 эВ попадает на диафрагму с двумя параллельными щелями. Найти ширину интерференционных полос на экране, удаленном от диафрагмы на 2 метра, если расстояние между щелями d = м.

1.23.  Найти длину волны де Бройля молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной температуре.

1.24.  Вычислить длины волн де Бройля электрона, протона и атома урана, имеющих кинетическую энергию 100 эВ

1.25.  .Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его длина волны де Бройля уменьшилась от 100 до 50 пм?

1.26.  Внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” шириной =0,1 нм найти точки и , в которых плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии с n = 2 принимает максимальные значения. Вычислите значения в этих точках.

1.27.  Внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” шириной =0,3 нм найти точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии с n = 3 равна 0.

1.28.  В каких точках и внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии с n = 1 равна половине максимальной? Ширина “ямы” =0,2 нм.

1.29.  В каких точках внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” шириной =0,2 нм плотности вероятности обнаружения частицы в состояниях с и одинаковы? Найти плотности вероятности обнаружения частицы в этих точках.

1.30.  Внутри бесконечно глубокой “потенциальной ямы” шириной =0,4 нм найти точки, в которых плотности вероятности обнаружения частицы в состоянии с n = 4 равны 0.

1.31.  Вычислить значения энергии трех первых уровней электрона в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной =0,3 нм.

1.32.  Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме”, найти отношение разности энергий соседних энергетических уровней к энергии частицы в состояниях с и . Как меняется это соотношение при ?

1.33.  Для протона, находящегося в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной см, найти наименьшую разность энергий между энергетическими уровнями.

1.34.  Альфа – частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной и обладает таким же набором значений энергии , как и протон в яме шириной . Найти отношение .

1.35.  Альфа – частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии, характеризуемом квантовым числом n = 2. В каком состоянии в той же яме должен находиться протон, чтобы иметь то же значение энергии? Вычислить эту энергию для “ямы” шириной =0,1нм.

1.36.  Электрон, находясь в “потенциальной яме”, переходит из состояния с n = 3 в состояние с n = 1, излучая фотон с длиной волны нм. Найти ширину “потенциальной ямы”.

1.37.  Определить ширину “потенциальной ямы” , если минимальная разность энергий электрона в ней равна 1 эВ.

1.38.  Для микрочастицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n=1, найти вероятность ее обнаружения в области , где - ширина ямы.

1.39.  Для микрочастицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n = 6, найти вероятность ее обнаружения в области , где - ширина ямы.

1.40.  Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n=1, найти вероятность ее обнаружения в области , где - ширина ямы.

1.41.  Решить задачу 1.40 для частицы, состояние которой характеризуется квантовым числом n = 2.

1.42.  Частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n = 3. Вычислить вероятность обнаружения частицы в интервале, ограниченном соседними точками, в которых плотность вероятности обнаружения частицы принимает максимальное и минимальное значения?

1.43.  Частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме”. Найти три наименьших значения n (номера состояний), при которых вероятность ее обнаружения в области равна 1/3.

1.44.  Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной , найти три наименьших значения квантового числа n, при которых вероятность ее обнаружения в интервале равна 1/4.

1.45.  Частица находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной =0,8нм. При каком наименьшем значении квантового числа n вероятность ее обнаружения в интервале нм равна 3/8?

1.46.  Найти вероятность обнаружения частицы, находящейся в бесконечно глубокой “потенциальной яме” в состоянии с n=1, в интервале, ограниченном точками и , в которых плотность вероятности составляет половину максимального значения.

1.47.  Электрон в одномерной “потенциальной яме” с бесконечно высокими стенками шириной пм находится в возбужденном состоянии (n = 4). Определить:

- минимальную энергию электрона в этой “яме”

-вероятность обнаружения электрона в области .

1.48.  Электрон находится в бесконечно глубокой “потенциальной яме” шириной пм. Определить наименьшую разность энергий электрона .

1.49.  Минимальная разность энергий электрона, находящегося в бесконечно глубокой “потенциальной яме”, равна 4,48 эВ. Определить ширину “ямы”.

1.50.  Энергия электрона, находящегося в бесконечно глубокой “потенциальной яме”, в возбужденном состоянии (n = 4) равна 9,37 эВ. Определить ширину “ямы”.

2. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА. СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМА ВОДОРОДА И ВОДОРОДОПОДОБНЫХ ИОНОВ.

В атоме водорода в области около ядра движется один электрон. Также одноэлектронными являются ионы Не+ и Li++, заряды Z ядер которых, в единицах элементарного заряда, соответственно равны двум и трем. Эти ионы называются водородоподобными ионами.

Так как уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода и водородоподобных ионах имеет один и тот же вид, то и поведение этих систем во многом идентично. Координатные части волновых функций электронов в них зависят от заряда ядра Z, главного квантового числа n (n = 1, 2,3, …) , орбитального квантового числа ( = 0, 1, 2, ... n-1), магнитного квантового числа m (m = 0, ± 1, ± 2, …± ).

Состояния электронов с различными значениями орбитального числа l принято в атомной физике обозначать латинскими символами следующим образом:

–

символ – s p d f g h

Номер уровня (совпадает с главным квантовым числом n), на котором находится электрон, указывается числом перед символом (например, 1s, 2p, 3d и т. п.).

В состояниях с определенными значениями квантовых чисел и m, момент импульса L электрона и проекция этого момента Lz на ось OZ соответственно равны:

; ; (1)

Уровни энергии электрона в указанных системах являются дискретными и зависят от Z и n:

, (2)

где эВ – энергия ионизации атома водорода.

При переходе электрона с уровня k на более низколежащий уровень с номером n, атом излучает фотон, энергия которого, согласно закону сохранения энергии, равна:

(3)

Длина волны этого фотона описывается выражением:

; (4)

где - постоянная Ридберга.

При поглощении атомом фотона, с указанной выше энергией и длиной волны, электрон в атоме переходит с уровня n на более высоколежащий уровень с номером k.

Серия спектральных линий, излучаемых атомами водорода, при переходах электронов в них на первый уровень с более высоколежащих называется серией Лаймана. Переходам на второй уровень соответсвует серия Бальмера. Первые четыре линии этой серии, соответствующие переходам с 3, 4, 5, 6 уровней на второй, лежат в видимом участке спектра, остальныые в ультрафиолетовом.

Далее следуют серии Пашена, Брэкета, Пфундта, образующиеся при переходах на 3, 4, 5 уровни с шестого и выше.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача.1. Электрон в атоме водорода находится в состоянии 4d. Найти энергию электрона, его момент импульса и возможные значения проекции момента импульса на ось OZ в этом состоянии.

Решение

В данном случае электрон находится в состоянии с квантовыми числами: n = 4: l = 2. В этом состоянии возможные значения магнитного квантового числа равны: m = 0, ± 1, ± 2.

Энергию электрона найдем по формуле (2):

; 0,685 эВ

Величины L и Lz вычислим по формулам (1)

;

; ;

Ответ: Е4 = - 0,85 эВ; ;

;.

Задача 2. В спектре излучения атомов водорода, возбужденных ультрафиолетовым излучением, наблюдается только одна спектральная линия, принадлежащая видимому участку спектра. Найти энергии фотонов, изучаемых данными атомами водорода, и соответствующие им длины волн.

Решение.

Наблюдаемая визуально спектральная линия, принадлежит серии Бальмера и образуется в результате переходов электронов с третьего уровня на второй. Кроме этих переходов возможны также переходы с третьего уровня на первый и со второго на первый. Энергии изучаемых при этом фотонов можно определить по формуле (3):

. В нашем случае Z = 1 и:

Соответствующие фотонам длины волн можно рассчитать по формуле (4) или исходя из соотношения связи энергии фотона с длиной его волны:

. Тогда: и:

Ответ: Е32 = 1,89 эВ; Е31 = 12,1 эВ; Е21 = 10,2 эВ;

l32 = 659 нм; l31 = 103 нм; l21 = 122 нм.

Задачи для самостоятельного решения

2.1 Электрон в атоме водорода перешел из состояния n=4 в состояние n=2 . Определить длину волны и энергию испущенного при этом фотона.

2.2 Какую энергию должен поглотить электрон в атоме водорода, чтобы из основного состояния перейти в состояние n=3 ?

2.3 Атом водорода, находясь в основном состоянии, поглотил фотон с длиной волны λ=1.03·10-7 м. Каким главным квантовым числом n будет характеризоваться возбужденное состояние электрона?

2.4 Атомарный водород возбуждается фотонами с длиной волны

λ=1.03·10-7 м. Найти длины волн спектральных линий, которые будут излучаться водородом.

2.5 Атомарный водород возбуждается фотонами с длиной волны

λ=0.973·10-7 м. Какие спектральные линии, принадлежащие видимому спектру, будут излучаться водородом ?

2.6 Найти наименьшую энергию фотона в серии Лаймана спектра водорода.

Какова наибольшая длина волны фотона в этой серии?

2.7 Спектр атомов водорода, возбужденных ультрафиолетовым излучением таков, что в нем имеется только одна спектральная линия λ=6.56·10-7 м, принадлежащая видимому участку. Какие еще линии имеются в этом спектре? Найти длины волн этих линий.

2.8 Вычислить энергию фотонов, излучаемых атомом водорода, длины волн которых лежат в видимой области спектра от 4·10-7 м до 7,6·10-7 м.

2.9 Электрон, находясь в атоме водорода в первом возбужденном состоянии, поглотил фотон с длиной волны λ=4.86·10-7 м. Определить энергию электрона, поглотившего фотон. Какое значение имеет главное квантовое число n?

2.10 Найти длину волны и энергию фотона, излучаемого однократно ионизированным атомом гелия Не+ , при переходе электрона из первого возбужденного состояния в основное.

2.11 Электрон переходит из основного состояния в первое возбужденное в двух случаях 1) в ионе Не+ ; 2) в ионе Li++ . В каком случае и во сколько раз поглощенная энергия больше?

2.12 Электрон, находящийся в основном состоянии в однократно ионизированном атоме гелия Не+, поглотил фотон с длиной волны

λ=2.56·10-8 м. Найти главное квантовое число и энергию электрона в возбужденном состоянии.

2.13 Смогут ли однократно ионизированные атомы гелия или двукратно ионизированные атомы лития перейти в возбужденное состояние, если их облучить фотонами с энергией 48.36 эВ?

2.14 В спектре излучения однократно ионизированных атомах гелия имеются спектральные линии, длины волн которых лежат в области видимого света. Найти длины волн этих спектральных линий. При решении рассмотреть электронные переходы в состояния с главными квантовыми числами n=3 и n=4.

2.15 Какую минимальную дополнительную энергию должен получить электрон, находящийся в первом возбужденном состоянии в ионе гелия (He+ ), чтобы оторваться от ядра?

2.16 Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, находящемуся в основном состоянии в ионе лития (Li++ ), чтобы он мог перейти в первое возбужденное состояние?

2.17 Сравнить между собой наибольшую длину волны в серии Лаймана в спектре атомов водорода и наименьшую длину волны при излучении ионов гелия, соответствующую переходу из состояния ионизации в состояние c главным квантовым числом n=2. Какая из этих длин волн больше?

2.18 Как и во сколько раз изменится по абсолютной величине полная энергия электрона в атоме водорода при его переходе из состояния с n=6 в состояние с главным квантовым числом n=2 ? Определить длину волны испущенного при этом фотона.

2.19 Вычислить квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию атома водорода, если при переходе в основное состояние атом излучал два фотона с длинами волн λ1=1.22·10-7 м и λ2=4.86·10-7 м.

2.20 При переходе из возбужденного состояния с квантовым числом n=5 в основное состояние атом водорода испустил два фотона. Длина волны одного из фотонов оказалась равной λ=12.82·10-7 м . Найти длину волны второго фотона.

2.21 Электрон, находящийся в основном состоянии в атоме водорода, поглотил фотон с энергией ε1= 10.2 эВ, перейдя в возбужденное состояние. В этом состоянии он поглотил еще один такой же фотон, перейдя в состояние ионизации. Определить кинетическую энергию электрона вдали от ядра.

2.22 Ион гелия (He+) испускает фотон при переходе электрона из состояния c главным квантовым числом n=2 в основное состояние. Этот фотон поглощается атомом водорода, находящемся в основном состоянии. Найти кинетическую энергию электрона, вырванного из атома водорода.

2.23 Имеются ли в спектре излучения атомов водорода спектральные линии с такой же длиной волны, как в спектре излучения ионов гелия (He+)? Если да, то приведите примеры.

2.24 Имеются ли в спектре излучения атомов водорода спектральные линии с такой же длиной волны, как в спектре излучения двукратно ионизированных атомов лития (Li++)? Если да, то приведите примеры.

2.25 Каким должно быть минимальное число штрихов дифракционной решетки, чтобы она в спектре первого порядка могла разрешить первые двадцать линий в серии Бальмера спектра атомарного водорода?

2.26 Атом водорода находится в состоянии, характеризуемом главным квантовым числом c n=3. Найти все возможные значения момента импульса электрона.

2.27 В некотором состоянии электрона в атоме водорода наибольшее значение момента импульса равно: . Найти энергию электрона в этом состоянии.

2.28 В некотором состоянии наибольшее значение момента импульса электрона в атоме водорода: . Найти главное квантовое число и энергию в этом состоянии.

2.29 Для электрона в атоме водорода, находящегося в состоянии с главным квантовым числом n=4 , найти наибольшее значение момента импульса электрона L и его проекции Lz.

2.30 Электрон в атоме водорода имеет энергию Е = -1,51 эВ. Найти все возможные значения момента импульса электрона в этом случае.

2.31 Найти все возмжные значения момента импульса электрона в атоме водорода, если его энергия равна E=- Eih /16 , где Eih - энергия ионизации атома водорода.

2.32 Электрон в атоме водорода имеет орбитальное квантовое число l=3 . Найти наименьшее из возможных значение главного квантового числа n и соответствующее ему значение энергии электрона.

2.33 Электрон в атоме водорода находится в состоянии с главным квантовым числом n=3 . Какие значения может принимать проекция момента импульса Lz электрона?

2.34 Какие значения может принимать проекция момента импульса Lz электрона в атоме водорода, если ?

2.35 Какие значения может принимать орбитальное l и магнитное m квантовые числа, если электрон в атоме водорода имеет главное квантовое число n = 4 ? Какие значения может принимать проекция момента импульса Lz электрона?

2.36 Электрон в атоме водорода имеет энергию E = - Eih/9 ( Eih - энергия ионизации). Найти все возможные значения момента импульса Lz электрона.

2.37 Электрон в атоме водорода находится в состоянии с главным квантовым числом n=4 . Найти наибольшее из возможных значение момента импульса L электрона и его проекции Lz в этом состоянии.

2.38 Наибольшее из возможных значений проекции момента импульса Lz электрона в атоме равно. Найти значение момента импульса L электрона.

2.39 Найти главное квантовое число n и соответствующую ему энергию электрона в атоме водорода, если наибольшее из возможных значений проекции момента импульса .

2.40 Энергия электрона в атоме водорода составляет четвертую часть от энергии основного состояния. Какие значения может принимать проекция момента импульса Lz электрона в этом состоянии?

2.41 Электрон в атоме водорода находится в состоянии 2р. Найти энергию Е и момент импульса L электрона в этом состоянии.

2.42 Найти энергию Е и момент импульса L электрона в атоме водорода в состоянии 3d. Какие значения может принимать проекция момента импульса Lz в этом состоянии?

2.43 Электрон в атоме водорода находится в состоянии 4f. Найти энергию Е, момент импульса L и все возможные значения проекции момента импульса Lz электрона в этом состоянии.

2.44 Электрон в атоме водорода переходит из состояния 4р в состояние 3d. Найти отношение моментов импульсов L1/L2 и отношение энергий E1/E2 электрона в начальном и конечном состояниях.

2.45 Решить задачу 2.44 для перехода из состояния 4d в состояние 2р.

2.46 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: где – радиус Бора и с – постоянная. Найти из условия нормировки постоянную с.

2.47 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: где – радиус Бора и с – постоянная. Определить расстояние r, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.

2.48 Нормированная волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: , где - радиус Бора. Найти среднее расстояние < r> электрона от ядра.

2.49 Нормированная волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: , где - радиус Бора. Определить среднее значение < F > модуля кулоновской силы взаимодействия электрона с ядром атома.

2.50 Нормированная волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид: , где - радиус Бора. Найти среднее значение потенциальной энергии электрона <П> в основном состоянии.

3. ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДРА. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ.

РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД

Ядра атомов состоят из протонов р, электрический заряд, которых равен элементарному заряду, и незаряженных частиц нейтронов n. Эти частицы также называют нуклонами.

Ядра атомов обозначают теми же символами периодической системы, что и сами атомы. При этом слева внизу указывается зарядовое число Z (заряд ядра в единицах элементарного заряда), а вверху – массовое число А (число нуклонов в ядре).

Ядра, содержащие одинаковое число протонов, но разное число нейтронов называются изотопами. Так же изотопами называются и атомы, ядра которых удовлетворяют этому условию. Известно около 1500 изотопов, примерно пятая часть из которых стабильна.

Между нуклонами в ядре действуют ядерные силы. Поэтому чтобы разделить ядро на отдельные нуклоны необходимо затратить некоторую энергию называемую энергией связи Ес. При передаче энергии нуклонам их масса возрастает. Поэтому сумма масс свободных нуклонов, больше массы ядра на величину называемую дефектом массы Dm:

Dm = Z mp + (A – Z) mn – mя. (1)

Энергия связи Ес равна:

Ес = Dmс2 (2)

Если дефект массы измерять в а. е.м., то:

Ес = 931 · Dm; (2.1)

Удельной энергией связи Есу называется величина равная энергии связи, приходящейся на один нуклон ядра:

(3)

Процесс взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или другим ядром, приводящий к преобразованию ядра (или ядер) называют ядерной реакцией.

В ядерных реакциях выполняются законы сохранения:

1.  Электрического заряда;

2.  Суммарного числа нуклонов;

3.  Энергии;

4.  Импульса.

Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции) равна:

Q = (Sm - Sm¢) c2: (4),

где Sm, Sm¢, суммы масс покоя частиц соответствено до и после реакции. Массы изотопов, необходимые для решения задач, приведены в таблице 3.1.

Радиоактивным распадом называется спонтанное превращение одних атомных ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц.

Радиоактивный распад подчиняется следующему закону: для данного ядра, находящегося в определенном энергетическом состоянии, вероятность его распада в единицу времени есть величина постоянная.

Этот закон позволяет получить зависимость числа не распавшихся ядер от времени, которую также иногда называют законом радиоактивного распада:

N = Noe-t, (5)

где Nо – начальное число ядер, - постоянная распада.

Радиоактивный распад можно характеризовать периодом полураспада Т1/2, т. е. временем, за которое распадается половина начального числа ядер изотопа. Т1/2 и связаны соотношением:

, (6)

поэтому: . (7)

Среднее время жизни ядра равно:

. (8)

Радиоактивные вещества характеризуются активностью - А, которая определяется как число распадов ядер, происходящих в препарате в единицу времени.

Активность вещества также зависит от времени:

А = Аоe-t. (9)

В системе СИ активность изотопов измеряется в Беккерелях: 1 Бк = 1. Применяется также внесистемная единица активности Кюри (Кu).

1 Кu = 3,7 1010 Бк - активность примерно 1 г радия.

Примеры решения задач

Задача 1.Определить энергию, необходимую для разделения ядра 10Ne20 на ядро углерода 6С12 и две альфа-частицы, если известно, что удельные энергии связи в ядрах 10Ne20; 6С12 и 2He4 соответственно равны: 8,03; 7,68 и 7,07 МэВ на нуклон.

Решение.

При образовании ядра 10Ne20 из свободных нуклонов выделилась бы энергия:

ЕNe = Ecу ·А = 8,03 20 = 160,6 МэВ.

Соответственно для ядра 612С и двух ядер 24He:

Ес = 7,68 ·12 = 92,16 МэВ,

ЕНе = 7,07· 8 = 56,56 МэВ.

Тогда при образовании 1020Ne из двух ядер 24He и ядра 612С выделилась бы энергия:

E = ENe – Ec – EHe

E = 160,6 – 92,16 – 56,56 = 11,88 МэВ.

Такую же энергию необходимо затратить на процесс разделения ядра 1020Ne на 612С и 224H.

Ответ. Е = 11,88 МэВ.

Задача 2. При соударении -частицы с ядром бора 5В10 произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось ядро атома водорода и неизвестное ядро. Определить это ядро и найти энергетический эффект ядерной реакции.

Решение.

Запишем уравнение реакции:

5В10 + 2Не41Н1 + zХА

Из закона сохранения числа нуклонов следует, что:

10 + 4 + 1 + А; А = 13

Из закона сохранения заряда следует, что:

5 + 2 = 1 +Z; Z = 6

По таблице Менделеева находим, что неизвестное ядро есть ядро изотопа углерода 6С13.

Энергетический эффект реакции рассчитаем по формуле (4). В данном случае:

Q =

Массы изотопов подставим из таблицы (3.1):

Q = МэВ.

Ответ: zХА = 6С13; Q = 4,06 МэВ.

Задача 3. Какое количество теплоты выделилось при распаде 0,01 моля - радиоактивного изотопа за время, равное половине периода полураспада? При- распаде ядра выделяется энергия 5,5 МэВ.

Решение:

Согласно формуле (7)

= .

Тогда, число распавшихся ядер равно:

.

Так как ν0, то:

.

Поскольку при одном распаде выделяется энергия равная Е0 = 5,5 МэВ = 8,8·10-13 Дж, то:

Q = Eo Np = NAnoEo(1 - ),

Q = 6,02×1023×0,01×8,8×10-13×(1 - ) = 1,55×109 Дж

Ответ: Q = 1,55 ГДж.

Задачи для самостоятельного решения.

3.1 Определить дефект масс, энергию связи и удельную энергию связи изотопа углерода 6С12.

3.2 Какую энергию необходимо затратить, чтобы разделить ядро кислорода 8O16 на отдельные нуклоны? Какова величина дефекта масс этого ядра?

3.3 Найти энергию, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро лития 3Li6 а)на три равные части; б) на альфа – частицу и ядро дейтерия.

3.4 Найти энергию, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро углерода 6C12 а) на две одинаковые части; б) на три одинаковые части.

3.5 В приведенной термоядерной реакции установить ядро, обозначенное символом «х», и рассчитать энергетический эффект реакции

х + х →2He4+2n

3.6 Решить задачу 3.5 для реакции х + х →2He4+2 1H1

3.7 Решить задачу 3.5 для реакции 3Li6 + 3Li6 →x+2He4+1H1

3.8 В приведенных ниже термоядерных реакциях установить ядра, обозначенные символом «х», указать, в какой из них выделяется больше энергии и рассчитать эту энергию:

а) x + 1H2 →2He4+1H3+1H1

б) 3Li6 + x →2He4+2He3+n

3.9 Решить задачу 3.8 для следующих реакций:

а) x + 1H3 →5B11+­­­2He4+n

б) 6C13 + 1H3 →x+1H2

3.10 Решить задачу для следующих реакций:

а) 6C12 + x →7N14+2He4

б) 6C12 + 3Li6 →8O16+x

3.11 Дописать схему ядерной реакции, установив ядро, обозначенное символом «х». Определить энергетический эффект реакции в расчете на один нуклон 3Li6 + 1H1 →2x+n.

3.12 Какую энергию необходимо затратить, чтобы разделить на отдельные нуклоны ядра 3Li7 и 4Ве7? Почему для изотопа 4Ве7 эта энергия меньше, чем для 3Li7?

3.13 Атомное ядро, поглотив гамма-квант с длиной волны 0.47 пм перешло в возбужденное состояние и распалось на отдельные нуклоны. Суммарная кинетическая энергия всех нуклонов Т=26.3 МэВ. Определить энергию связи ядра.

3.14 Определить энергию, необходимую для разделения ядра 10Ne20 на ядро углерода 6C12 и две альфа-частицы, если известно, что удельные энергии связи в ядрах 10Ne20, 6C12, 2He4 соответственно равны: 8.3; 7.68; 7.07 МэВ на нуклон.

3.15 При бомбардировке ядер лития 3Li7 протонами с энергией 1МэВобразуются две альфа-частицы, имеющие одинаковые скорости и движущиеся под одинаковыми углами с направлением движения протона. Определить скорость альфа-частиц. Написать схему ядерной реакции.

3.16 Энергия связи ядра кислорода 8O16 равна 139,8 МэВ, а ядра фтора 9F1,8 МэВ. Какую минимальную энергию нужно затратить, чтобы удалить один протон из ядра фтора? Написать схему реакции.

3.17 Написать схему альфа-распада ядра 88Ra226 . Считая, что до распада ядро радия покоилось, найти отношение импульсов и кинетических энергий продуктов распада.

3.18 Написать схему альфа-распада ядра 94Pu238 . Вычислить энергию, выделяющуюся при таком распаде, если энергия связи материнского ядра равна

1801,3 МэВ, а у дочернего – 1778,5 МэВ.

3.19 Написать схему альфа-распада ядра 84Po210 . Вычислить энергию, выделяющуюся при таком распаде, если у материнского ядра энергия связи равна 1645.2 МэВ, а у дочернего - 1622.3 МэВ.

3.20 Ядро висмута 83Bi210 может испытывать как альфа-распад, так и бета-распад. Написать схемы распадов. Для альфа-распада вычислить выделившуюся энергию, если материнское ядро имеет энергию связи равную1644.8 МэВ, а дочернее -1621.6 МэВ.

3.21 При электронном распаде ядра 12Mg28 образуется новое радиоактивное ядро, в результате распада которого получается стабильный изотоп. Написать схему обоих распадов. Считая массу покоя антинейтрино равной нулю, рассчитать энергию, выделяемую при обоих распадах, если энергия связи ядра 12 Mg28 равна 231,6 МэВ, а у конечного продукта распада – 236.5 МэВ.

3.22 В результате позитронного распада ядра 14Si26 образуется ядро, которое при β+ - распаде становится ядром стабильного изотопа. Написать схемы обоих распадов. Считая массу покоя нейтрино равной нулю, найти энергию, выделяемую при обоих распадах, если энергия связи исходного ядра равна 243.8 МэВ, а конечного - 255.2 МэВ.

3.23 Альфа-частица, обладающая кинетической энергией 5.3 МэВ вызывает ядерную реакцию 4Be9 + 2He4 → 6C12 + n. Нейтрон вылетает под прямым углом к направлению движения альфа-частицы. Какова кинетическая энергия ядра углерода?

3.24 Найти энергетический эффект реакции 4Be9 + 1H1 → 2He4 + 3Li6, если известно, что кинетические энергии протона и альфа-частицы равны соответственно 5.45 МэВ и 4 МэВ, причем альфа-частица вылетела под углом 90 o к направлению движения протона. Ядро-мишень 4Ву9 неподвижно.

3.25 Деление ядер урана 92U235 под действием медленных нейтронов может осуществляется, например, по схеме 92U235 + n → 54Xe140 + x + 2n. Установить ядро обозначенное символом «х» . Продукты деления в результате ряда β- - распадов превращаются в стабильные ядра 58Ce140 и 40Zr94 . Написать схемы этих β- - распадов. Считая, что энергии связи ядер U235, Ce140 и Zr94 равны соответственно 1783.8 ; 1117.9 ; 814.7 МэВ, а масса покоя антинейтрино равна нулю, найти суммарную энергию, выделяющуюся в процессе деления и при последующих превращениях ядер.

3.26 Период полураспада изотопа 15P32 равен 14 дней. Во сколько раз уменьшится активность препарата за 20 дней? За какое время активность уменьшится в 9 раз?

3.27 Счетчик альфа-частиц установленный вблизи радиоактивного препарата, при первом измерении за минуту регистрировал 1600 частиц, а через 4 часа только 400 частиц. Найти период полураспада изотопа. Сколько частиц за одну минуту будет регистрировать счетчик через 6 часов?

3.28 Найти период полураспада радиоактивного изотопа, если его активность через 10 суток уменьшилась на 25 % по сравнению с первоначальной. Через какое время останется 25 % исходного количества ядер этого изотопа.

3.29 Активность радиоактивного изотопа за 20 суток уменьшилась в 3 раза. Найти среднее время жизни этих ядер этого изотопа. Во сколько раз уменьшится активность через 60 суток?

3.30 Количество ядер радиоактивного изотопа за 6 месяцев уменьшилась в 8 раз. Найти период полураспада этого изотопа. За какое время количество ядер уменьшится в 32 раза?

3.31 Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 100 атомов. Во сколько раз уменьшится исходное число ядер этого изотопа за время 10000 с. Найти период полураспада этого изотопа.

3.32 Найти период полураспада и среднее время жизни ядер радиоактивного изотопа, если за 5 часов распадается 25 % от начального количества ядер. Какая часть ядер от их начального числа останется через 10 часов?

3.33 Счетчик радиоактивного излучения, помещенный вблизи изотопа Na24 в начале регистрировал 204 отсчета за одну секунду. Через сутки он регистрирова лишь 68 отсчетов в секунду. Найти период полураспада изотопа. За какое время активность препарата уменьшится в 17 раз.

3.34 Период полураспада ядер трития 1H3 составляет 12 лет. Найти активность 0.001 моля “сверхтяжелой воды”. Какое количество ядер гелия 2He3 образуется в результате распада ядер трития за 6 лет?

3.35 Какое количество гелия (в молях) образуется из 0.002 молей альфа-радиоактивного препарата за время равное удвоенному значению периоду полураспада? Какое число ядер изотопа останется нераспавшимся за это время?

3.36 Какое количество теплоты выделится при распаде 0.01 моля альфа-радиоактивного изотопа за время, равное половине периода полураспада. Энергия, которая выделяется при альфа-распаде составляет 5.5 МэВ.

3миллиграмм альфа-радиоактивного препарата висмута Bi214 с периодом полураспада 20 минут заключены в герметичную капсулу, объемом 10 см3 . Найти приращение давления в капсуле (за счет образования гелия) через 10 мин. после ее закрытия, если температура капсулы 300 К?

3.38 В калориметре, теплоемкость которого С равна 1000 Дж/К, помещены 0.001 моля радиоактивного препарата. Через 60 мин. после начала опыта температура колориметра увеличилась на 0.6 К. Считая, что при распаде ядра выделяется энергия 3.5 МэВ найти период полураспада изотопа.

3.39 При альфа-распаде полония Po210 в течении 1 часа образовался гелий, который при нормальных условиях занял объем 89.5 см3. Определить исходную массу полония, если период его полураспада Т = 138 дней.

3.40 В калориметр поместили моля альфа-радиоактивного препарата Bi214 с периодом полураспада 20 минут. Какова теплоемкость калориметра, если через 10 минут после начала опыта его температура повысилась на 20 К? При распаде ядра выделяется энергия примерно 5 МэВ.

Название постоянной	Значение
Постоянная Больцмана (k) Заряд электрона (e) Масса электрона (me) Скорость света в вакууме (C) Постоянная Планка (h) Постоянная Ридберга (R)	1,38×10-23 Дж/К 1,6×10-19 Кл 9,1×10-31 кг 3,0×108 м/с 6,63×10-34 Дж×с 1,097×107 м-1

Таблица 3.1

Символ	Масса, а. е.м.	Символ	Масса, а. е.м.	Символ	Масса, а. е.м.
0n1	1,00867	3L6	6,01513	6C12	12,00000
1H1	1,00783	3Le7	7,01601	6C13	13,00335
1H2	2,01410	4Be7	7,01693	6C14	14,00324
1H3	3,01605	4Be9	9,01219	7N14	14,00307
2He3	3,01603	5B10	10,01294	8O16	15,99491
2H4	4,00260	5B11	11,00930	8O17	16,99913

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6

Варианты заданий

для студентов заочной формы обучения

Вариант	Номера задач
0	1.1	1.11	1.26	1.36	2.1	2.11	2.26	3.1	3.11	3.26
1	1.2	1.12	1.27	1.37	2.2	2.12	2.27	3.2	3.12	3.27
2	1.3	1.13	1.28	1.38	2.3	2.13	2.28	3.3	3.13	3.28
3	1.4	1.14	1.29	1.39	2.4	2.14	2.29	3.4	3.14	3.29
4	1.5	1.15	1.30	1.40	2.5	2.15	2.30	3.5	3.15	3.30
5	1.6	1.16	1.31	1.41	2.6	2.16	2.31	3.6	3.16	3.31
6	1.7	1.17	1.32	1.44	2.7	2.17	2.32	3.7	3.17	3.32
7	1.8	1.18	1.33	1.45	2.8	2.18	2.33	3.8	3.18	3.33
8	1.9	1.19	1.34	1.46	2.9	2.19	2.34	3.9	3.19	3.34
9	1.10	1.20	1.35	1.47	2.10	2.20	2.35	3.10	3.20	3.35