Методические указания и контрольные задания по физике для студентов всех специальностей ускоренной формы обучения (стр. 3 )

15. Электроемкость:

или ,

где - потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); - разность потенциалов пластин конденсатора.

16. Электроемкость плоского конденсатора:

где - площадь пластины (одной) конденсатора; - расстояние между пластинами.

17. Электроемкость батареи конденсаторов:

а) при последовательном соединении

б) при параллельном соединение

где - число конденсаторов в батареи.

18. Энергия заряженного конденсатора:

.

Постоянный ток

19.Сила тока:

где - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время .

20. Плотность тока:

где - площадь поперечного сечения проводника.

21. Связь плотности тока со средней скоростью направленного движения заряженных частиц:

где - заряд частицы; - концентрация заряженных частиц.

22. Закон Ома:

а) для участка цепи, не содержащего ЭДС:

где - разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротивление участка;

б) для участка цепи, содержащего ЭДС:

,

где – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

в) для замкнутой (полной) цепи

,

где r – внешнее сопротивление цепи; Ri - внутреннее сопротивление цепи.

23. Законы Кирхгофа:

а) первый закон:

,

где - алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле;

б) второй закон:

,

где - алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление участков; - алгебраическая сумма ЭДС.

24. Сопротивление R и проводимость проводника:

где - удельное сопротивление; - удельная проводимость; - длина проводника; - площадь поперечного сечения проводника.

При изменении температуры удельное электрическое сопротивление изменяется по закону

,

где – удельное сопротивление при нулевой температуре, a – температурный коэффициент сопротивления.

25. Сопротивление системы проводников:

а) при последовательном соединении

б) при параллельном соединении

где Ri - сопротивление i-го проводника.

26. Работа тока:

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение , последние две - для участка, не содержащего ЭДС.

27 Мощность тока:

.

28. Закон Джоуля - Ленца:

29. Закон Ома в дифференциальной форме:

где - удельная проводимость, - напряженность электрического поля; - плотность тока.

30.  Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля:

,

где - магнитная проницаемость изотропной среды; - магнитная постоянная ( Гн/м).

В вакууме , и тогда магнитная индукция в вакууме

31. Сила Ампера

или ,

где α – угол между векторами и .

32. Магнитный поток:

где - площадь контура; - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции.

33. ЭДС индукции:

34. Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью в магнитном поле:

где - длина проводника; - угол между векторами и

35. ЭДС самоиндукции:

36. Индуктивность соленоида:

где - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида; - объем соленоида.

37. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением и индуктивностью :

а) при замыкании цепи

где - ЭДС источника тока; - время, прошедшее после замыкания цепи;

б) при размыкании цепи

где - значение силы тока в цепи при ; - время, прошедшее с момента размыкания цепи.

38. Энергия магнитного поля:

39. Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия, заключенная в единицу объема):

где - магнитная индукция; - напряженность магнитного поля.

3.2. Примеры решения задач.

Пример 1 На пластинах плоского конденсатора находится заряд =10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик - воздух. Определить силу , с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение: Заряд одной пластины находится в поле напряженностью , созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис.)

. (8)

Так как

, (9)

где - поверхностная плотность заряда пластины, то формула (8) с учетом выражения (9) примет вид:

. (10)

Подставив числовые значения величин в формулу (10), получим:

Н=5,65×10-4Н=565 мкН.

Пример 2 Через лампу накаливания течет ток, равный 0,6 А. Температура вольфрамовой нити диаметром 0,1 мм равна 2200° С. Определите напряженность электрического поля в вольфрамовой проволоке, для которой удельное сопротивление при 0° С r0 = 55 нОм·м и температурный коэффициент сопротивления a = 0,0045° С‑1.

Решение: Напряженность электрического поля в проводнике можно найти из дифференциальной формы закона Ома:

,

где – проводимость металла, j – плотность тока. Удельное электрическое сопротивление r зависит от температуры по закону

,

где t – температура металла.

С другой стороны плотность тока можно представить в виде

,

где I – сила тока в лампе, S – площадь сечения проводника. В результате можно записать для напряженности поля выражение

.

Поскольку сечением проводника является круг диаметром d, то площадь сечения . Подставляя в формулу для напряженности поля выражения для S и r , получим

.

Пример 3 Сила тока в проводнике сопротивлением R = 120 Ом равномерно возрастает от I0 = 0 до I1 = 5 А за время t = 15 с. Определите выделившееся за это время в проводнике количество теплоты.

Решение: Рассмотрим малый промежуток времени dt, в течение которого изменение величины силы тока было мало, тогда можно записать закон Джоуля-Ленца для количества теплоты dQ , выделившееся за этот короткий промежуток:

. (11)

Поскольку сила тока возрастала равномерно, то представим ее в виде функциональной зависимости от времени , где параметр k определяется выражением

.

Чтобы найти количество теплоты, выделившееся за весь промежуток времени, необходимо проинтегрировать выражение (11)

.

Пример 4 На рисунке 3 R1 = R, R2 = 2R, R3 = 3R, R4 = 4R. Определить заряд на конденсаторе.

Решение:

В данной схеме напряжение на конденсаторе будет определяться суммой напряжений на сопротивлениях R1 и R2. Поскольку ток через конденсатор не течет, то данная схема может быть заменена эквивалентной схемой. В результате этого для токов может быть записано

,

.

Рис. 3.

Поскольку сопротивления R2 и R3 соединены последовательно, то

.

Тогда

.

Полное сопротивление цепи определиться по формуле

.

Применяя закон Ома, получаем для тока I0

.

Поскольку сопротивления R23 и R4 соединены параллельно, то напряжения в этих участках цепи равны:

.

Подставив значения сопротивлений, получаем

.

Поскольку токи, протекающие через сопротивления R23 и R3, дадут в сумме I0, мы можем записать

.

Отсюда, подставив значение I0, получаем

.

Тогда

.

Поскольку токи I1 и I2 известны, можно определить напряжение на конденсаторе:

.

Подставив значение напряжения на конденсаторе, определим заряд на конденсаторе:

.

Пример 5 Плоский квадратный контур со стороной =10 см, по которому течет ток =100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (=1 Тл). Определить работу , совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) =900; 2) =30. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение: Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил:

. (12)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (=0), а значит =0, т. е. векторы и совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (12), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме:

.

Подставив сюда выражение по формуле (12) и учтя, что , где - сила тока в контуре; - площадь контура, получим:

.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

. (14)

1) Работа при повороте на угол =900:

. (15)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ: =100 А; =1 Тл; =10 см=0,1 м и подставим в (15):

Дж = 1Дж.

2) Работа при повороте на угол =30. В этом случае, учитывая, что угол мал, заменим в выражении (14) :

. (16)

Выразим угол в радианах. После подстановки числовых значений величин в (16) найдем:

Дж = 1,37×10-3 Дж = 1,37 мДж.

Пример 6 Соленоид длинной =0,5 м содержит =1000 витков. Определите магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сопротивление его обмотки =120 Ом, а напряжение на ее концах =60 В.

Решение: Согласно теореме о циркуляции вектора B по некоторому замкнутому контуру l, плоскость которого пересекают токи, можно записать следующее выражение:

.

Эта формула не зависит от формы контура, поэтому проведем его так, что он будет находиться в плоскости, проходящей через ось соленоида. Наиболее удобно выбрать прямоугольную форму, причем одна из сторон, параллельных оси соленоида, должна находиться внутри, а другая — снаружи соленоида. Такой контур пересекают все витки, по которым течет одинаковый ток I.

. (17)

Ток, протекающий по виткам соленоида можно найти по закону Ома для участка цепи

. (18)

Подставляя выражение (18) в (17) получим окончательную формулу

. (19)

Подставляя числовые значения в формулу (19) получим ответ

= 12,57×10-4 Тл.

Пример 7 В однородном магнитном поле (=0,1 Тл) равномерно с частотой =10 об/с вращается рамка, содержащая =1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки =150 см2. Определить мгновенное значение ЭДС индукции , соответствующее углу поворота рамки в 300.

Решение: Мгновенное значение ЭДС индукции определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

, (20)

где - потокосцепление.

Потокосцепление связано с магнитным потоком и числом витков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением:

.

Подставляя выражения в формулу (20), получим:

. (21)

При вращении рамки магнитный поток , пронизывающий рамку в момент времени , изменяется по закону:

,

где - магнитная индукция; - площадь рамки; - круговая (или циклическая) частота.

Подставив в формулу (21) выражение и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

. (22)

Круговая частота связана с частотой вращения соотношением:

.

Подставляя значение в формулу (22), получим:

. (23)

Выразим физические величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ: =10 с-1; =103; =0,1 Тл; =1,5×10-2 м2; =300= и, подставив их в формулу (23), произведем вычисления:

В = 47,1 В.

Пример 8 Два соленоида (=0,64 Гн, =1 Гн) одинаковой длины и практически равных сечений вставлены один в другой. Определите взаимную индуктивность соленоидов.

Решение: Индуктивность первого соленоида можно найти по следующей формуле:

, (24)

аналогичное выражение можно записать для второго соленоида:

. (25)

Взаимная индуктивность двух соленоидов определяется по формуле

. (26)

Из формул (24) и (25) можно выразить число витков каждого соленоида

, . (27)

Записывая эти выражения, мы воспользовались тем, что по условию длины и сечения соленоидов практически одинаковы, поэтому мы опустили индексы для длины l и сечения S. Подставляя формулы (27) в (26), получим результат:

.

Вычислим значение взаимной индуктивности:

= 0,8 Гн.

3.3. Задачи по теме №4 и №5

1. Электрическое поле создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно разноименными зарядами с поверхностной плотностью =1 нКл/м2 и =2 нКл/м2. Определите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.

2. Две параллельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями =2 мкКл/м2 и =-0,8 мкКл/м2, находятся на расстоянии =0,6 см друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

3. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда =40 нКл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, отстоящих на =15 см и =20 см.

4. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью =10 нКл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние =10 см.

5. Определить заряд в плоском конденсаторе емкостью 0,02 мкФ, если напряженность поля в конденсаторе составляет 320 В/см, а расстояние между пластинами 0,5 см.

6. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (=7). Расстояние между пластинами =5 мм, разность потенциалов =1 кВ. Определите: 1) напряженность поля в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.

7. Определите расстояние между пластинами плоского конденсатора, если между ними приложена разность потенциалов =150 В, причем площадь каждой пластины =100 см2, ее заряд =10 нКл. Диэлектриком служит слюда (=7).

8. Плоский конденсатор с площадью пластин =300 см2 каждая заряжен до разности потенциалов =1 кВ. Расстояние между пластинами =4 см. Диэлектрик – стекло. Определить энергию поля конденсатора и плотность энергии поля.

9. К батарее с ЭДС. =300 В подключены два плоских конденсатора емкостью =2 пФ и =3 пФ. Определить заряд и напряжение на пластинах конденсатора в двух случаях: 1) при последовательном соединении; 2) при параллельном соединении.