ОБЕСПЕЧЕНИЕ РОБАСТНОСТИ АЛГОРИТМА ОПТИМИЗАЦИИ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО НЕСООТВЕТСТВИЯ

(Иркутск, ИрГТУ)

(Иркутск, ИГЛУ)

Рассмотрен алгоритм АПО для систем регулирования с ШИМ при параметрическом несоответствии модели и реального объекта. Предлагается алгоритм поиска диапазонов параметрического несоответствия, в рамках которых алгоритм АПО будет робастным. Разработанный алгоритм основан на градиентном методе. На основе разработанного алгоритма представлена программа поиска параметрического несоответствия.

Введение

Автоматические системы регулирования (АСР), в частности системы с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), при внедрении в практику требуют решения задачи определения оптимальных исходя из принятого критерия значений настраиваемых параметров. Для этого используют алгоритмы автоматической параметрической оптимизации (АПО), основанные на моделях. По разным причинам (вследствие неточности измерения, изменения параметров в процессе эксплуатации и т. п.) параметры модели могут отличаться от параметров реального объекта регулирования [1]. В общем случае назовем это параметрическим несоответствием. Тогда, если системы регулирования являются чувствительными к изменениям параметров реального объекта, то теряется оптимальность регулирования системой при найденных с помощью алгоритма АПО оптимальных исходя из принятого критерия настраиваемых параметрах. В худшем случае, система может стать вообще не работоспособной.

Таким образом, при поиске оптимальных настраиваемых параметров исходя из принятого критерия необходимо гарантировать пределы изменения параметров объекта регулирования, в которых вычисленные по алгоритму АПО настраиваемые параметры будут обеспечивать близкий к оптимальному переходный процесс реальной системы. Естественно, что в этом случае показатели качества переходных процессов могут быть хуже в сравнении с тем, что имеют переходные процессы при оптимальных значениях настраиваемых параметров.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Так как среди множества методов поиска экстремума критерия качества наиболее распространенным является метод градиента [2, 3], то предлагаемый поиск диапазонов параметрического несоответствия основан на изменении направления и модуля вектора-градиента.

Влияние параметрического несоответствия на направление и модуль вектора-градиента

Покажем предложенный подход на примере системы с ШИМ. Как известно преимуществами систем с ШИМ основано на том, что действие различных помех на системы с ШИМ менее существенны, чем в классических непрерывных системах [5], а также возможно использование в них серводвигателей с постоянной скоростью [4]. Структурная схема системы с ШИМ представлена на рис. 1.

Процессы в такой системе можно описать:

(2)

Здесь – ошибка регулирования; – задающее воздействие; – выходная координата АСР; – регулирующее воздействие; – оператор импульсного элемента; – оператор объекта регулирования.

Импульсный элемент может быть представлен следующим образом

(3)

. Здесь – период цикла работы импульсного элемента; – длительность -го импульса, определяется как

,

где – скважность -импульса, определяется исходя из модуляционной характеристики

, (4)

q – вектор настраиваемых параметров.

Анализ литературы показал, что большинство объектов регулирования представлены операторами вида

. (5)

Алгоритм параметрической оптимизации вычисляет вектор настраиваемых параметров q, исходя из принятого критерия

, (6)

где – интервал интегрирования. Рассмотрим случай параметрического несоответствия, когда , , , где , , – параметры модели, , , – параметры реального объекта.

В результате работы по алгоритму АПО вычисляются возможные направления движения к оптимальному значению, так называемые псевдоградиенты, которые отличаются от истинных (при отсутствии параметрического несоответствия) градиентов на угол (см. рис. 2).

Можно предположить, что чем больше отличаются параметры модели от параметров реального объекта, тем меньше единицы косинус угла . Однако, эксперименты показали, что зависимость эта значительно сложнее. Например, рассмотрим случай, когда . На рисунке 3 видно, что увеличение несоответствия между параметрами влечет за собой уменьшение косинуса угла, а значит, увеличение угла . Однако действие импульсного элемента вносит свои коррективы в эту закономерность. При определенных значениях происходит резное изменение значений .

Кроме направления вектора-градиента, параметрическое несоответствие влияет и на его модуль . В этом случае удобно использовать относительную погрешность , где – модуль вектора-градиента, вычисленный по модели. Эксперименты показали, что эта закономерность также является скачкообразной. На рисунке 4 видно, что в окрестности относительная погрешность существенно меняется (наблюдается «излом»). Это связано, что при еще не моделируется изменение действия импульсного элемента. Рисунок 5 подтверждает сказанное. При моделируется изменение действия импульсного элемента (рис. 6).

Присутствие импульсного элемента в рассматриваемых системах не позволяет аналитически описать влияние параметрического несоответствия на угол поворота и модуль вектора-градиента. Поэтому в на стоящей статье предлагается алгоритм, по которому можно определять границы параметрического несоответствия, где вектор-градиент удовлетворяет условиям и . Тем самым можно найти диапазоны параметрического несоответствия, в которых выполнялась бы робастность алгоритма АПО.

Разработка алгоритма, удовлетворяющего условиям робастности

Пусть известны значения параметров реального объекта , , . Необходимо определить насколько могут отличаться параметры модели от параметров реального объекта, чтобы система на производстве при найденных с помощью алгоритма АПО настраиваемых параметрах могла работать оптимально или близко к оптимальному режиму, исходя из критерия (6). То есть нужно найти промежутки

(7)

В начале градиентного пути настраиваемые параметры имеют значения:

.

В процессе вычисления на одном шаге алгоритма при реальных значениях параметров , , алгоритм АПО должен получить вектор . Однако параметры модели отличаются от параметров реального объекта следующим образом:

(9)

Тогда этим значениям соответствует вектор градиент (см. рис. 2).

Векторы и отличаются на угол . Если значение угла должно быть меньше какой-либо заданной величины , и найденная точка по градиентной процедуре при , , будет отличиться от точки при , , . Чем меньше угол , тем ближе точка к точке . В результате образуется так называемая зона притяжения. Таким образом, чем меньше мы зададим величину , тем точнее найдется зона притяжения. Меняя значения , , можно найти диапазоны параметрического несоответствия. Так как отклонение от истинного значения вектора может быть как по одну, так и по другую сторону от него, то в качестве критерия притяжения удобнее использовать не угол , а , который вычисляется по формуле

. (10)

То есть, если

, (11)

то градиентный спуск при , , происходит в одном направлении, что и , , . Чем ближе к единице, тем ближе друг к другу найденные точки минимума при исходных и измененных параметрах. При направления совпадут. При этом обеспечим ограничение изменения модуля градиента

, где ; . (12)

На основании предложенного подхода разработан алгоритм, который состоит из следующих шагов.

1.  Алгоритм АПО находит вектор градиента в начальных значениях при , , .

2.  Вычисляется вектор-градиент в начальных значениях при , , .

3.  Вычисляются угол по формуле (10) и модули и по формулам (12).

4.  Проверяются условия (11), (12). Если условие выполняется, то продолжается спуск по градиенту, иначе переход на пункт 7.

5.  Параметрам объекта управления присваиваются новые значения по формуле (9) при новых значениях

, , , (13)

где – число итераций по смене значений параметров.

6.  Повторяется процедура с первого шага, и, как только условия (11), (12) не выполняется, алгоритм переходит к пункту 7, и конечные значения , , определяют верхнюю границу параметрического несоответствия реальной системы и ее модели.

7.  Находятся значения параметров модели объекта регулирования по формуле (9), где

, , . (14)

8.  Действия алгоритма повторяются с первого шага.

9.  Конец алгоритма.

В результате работы алгоритма найдутся как верхняя, так и нижняя границы параметрического несоответствия, то есть конкретные значения границ (8). Требуемая точность определяется формулами (11), (12).

Следующий пример наглядно демонстрирует выше сказанное.

Пусть , , . С помощью предложенного алгоритма, когда условие (11) примет вид , а (12) , найдены границы параметрического несоответствия

, , . (15)

Сравним переходные процессы при начальных , , и при и значениях параметров, входящих в полученную область и не входящих в полученную область.

На рисунках 3, 4, 5 показаны переходные процессы, при найденных оптимальных параметрах, когда параметры объекта совпадают с параметрами модели, не совпадают, но принадлежат промежуткам (6), не совпадают и не принадлежат найденным промежуткам. Первые два графика почти совпадают, а для последнего не выполняется условие астатизма первого рода.

Таким образом, можно утверждать, что если параметры модели будут отклоняться от параметров реального объекта в найденных переделах, то выходная характеристика системы будет оптимальной или близкой к оптимальной.

Необходимо отметить, что интервалы допустимого параметрического несоответствия, найденные по предложенному алгоритму, являются относительно небольшими.

Программа, решающая задачу определения диапазона параметрического несоответствия

Так как, несоответствие параметров реального объекта регулирования с ШИМ и параметров его модели влияет на качество регулирование реального объекта, необходимо предварительно до начала эксплуатации системы выполнить следующее:

- рассчитать оптимальные параметры регулирующего устройства при известных параметрах модели системы;

- определить до каких предельных значений могут расходиться параметры, чтобы система работала в режиме, близком к оптимальному, исходя из принятого критерия.

Первую задачу решает созданная на базе алгоритма АПО программа - рабочее место инженера-исследователя (АРМ) «Оптимизация систем с широтно-импульсной модуляцией». Для решения второй задачи разработана новая программа, работающая на базе АРМ (рис. 7) для определения диапазонов параметрического несоответствия модели и реального объекта, исходя из направления и модулей векторов градиента [4].

Предлагаемая программа разработана на основе предложенного в настоящей статье алгоритма. При нажатии на кнопку «Пуск» появится соответствующее окно (см. рис. 7). В появившемся окне (рис. 8) задается косинус угла между градиентами, а также возможное изменение модулей , когда параметры модели совпадают с параметрами реального объекта и не совпадают. Чем больше косинус, то есть ближе к единице, тем точнее будет диапазон параметрического несоответствия. Полученный диапазон можно отправить на исходную форму основного автоматизированного рабочего места для решения других задач.

Заключение

Таким образом, предложенный алгоритм, основанный на градиентном методе, позволяет осуществлять поиск диапазонов параметрического несоответствия, в рамках которых можно гарантировать близкую к оптимальной работу реальной системы регулирования. То есть алгоритм АПО в совокупности с разработанным алгоритмом поиска диапазонов параметрического несоответствия становится робастным.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Шароватов, стабильности показателей качества автоматических систем / . – Л.: Энергоиздат. Ленинградское отделение, 1987. – 176 с.: ил.

2.  Растригин, экстремального управления / . – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. – 632 с.

3.  Костюк, В. И Беспоисковые градиентные самонастраивающиеся системы / . – Киев: Изд-во Технiка, 1969. – 176 с.

4.  Ротач, системы автоматического регулирования / . – М.–Л.: Издательство Энергия, 1964. – 224 с.

5.  Берендс, и системы автоматического управления с широтно-импульсной регуляцией / , , . – Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1982. – 280 с.: ил.

6.  Куцый, автоматического места инженера-исследователя алгоритмов автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией / , . // Информационные системы контроля и управления в промышленности и на транспорте: сб. науч. тр. / Иркутск: ИрГУПС, 2007. – С.119-126.