Министерство образования Российской Федерации.

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА,

ТЕРМОДИНАМИКА

Методическое пособие

для студентов 1 курса РЭФ, ФЭН, ФТФ

дневного отделения.

НОВОСИБИРСК

2005

Представленные в сборнике задачи по механике, термодинамике и молекулярной физике предназначены в качестве возможных вариантов расчетно-графического задания, выдаваемого студентам первого курса дневного отделения НГТУ факультетов РЭФ, ФЭН, ФТФ.

Составитель: , канд. физ.-мат. наук, доцент.

Рецензент: , д-р техн. наук, прфессор.

Работа подготовлена на кафедре

прикладной и теоретической физики.

Предисловие.

Настоящее пособие представляет собой сборник задач, разбитых на варианты, по следующим темам курса общей физики:

1. Кинематика и динамика материальной точки.

2. Динамика вращательного движения твердого тела.

3. Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.

4. Основы специальной теории относительности.

Самостоятельное решение физических задач студентами является необходимым средством для усвоения курса физики, методом контроля за степенью усвоения учебного материала и понимания физических законов. Как показывает практика проведения практических занятий студенты первого года обучения (особенно первого семестра), как правило, сталкиваются с трудностями квалифицированного применения аппарата математического анализа при решении физических задач. Поэтому материал сборника подобран так, что в большинстве случаев при решении конкретной задачи можно обойтись простыми способами, но там, где это необходимо нужно использовать методы математического анализа. В сборнике не приводятся ответы, так как материал сборника предполагается использовать на контрольных мероприятиях и экзаменах.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

При оформлении решений индивидуального задания студент должен обоснованно приводить необходимые пояснения применения конкретных физических законов и процесса выполнения необходимых математических выкладок и преобразований. При необходимости решение нужно доводить до числового результата и проводить анализ размерностей.

Все задачи по степени трудности соответствуют традиционному курсу общей физики . При составлении сборника была использована следующая литература:

1. . Курс общей физики (в 5 книгах). М., Астрель, 2003.

2. . Задачи по общей физике. 5 изд., М., Лаборатория базовых знаний, 2002.

3. . Сборник вопросов и задач по общей физике. М., Наука, 1982.

4. , , . Сборник задач по общему курсу физики. М., Наука, 1976.

5. , , . Механика, молекулярная физика, термодинамика. Новосибирск, Издание НГТУ, 20000.

Методические указания.

Решение большинства физических задач можно условно разделить на четыре этапа:

1. Анализ условия задачи и его наглядная интерпретация схемой или чертежом. На чертеже должны быть указаны все данные, приведенные в условии задачи.

2. Составление уравнений, которые описывают данное явление, то есть применение физических законов, относящихся к данной задаче. Установление кинематических связей между искомыми величинами.

3. Совместное решение полученных уравнений относительно определяемых величин и получение расчетной формулы в аналитическом виде. Подстановка в расчетную формулу численных значений условий задачи. При этом численные значения должны быть переведены в систему СИ, во избежания численных ошибок.

4. Анализ полученного результата на «здравый смысл», включающий проверку размерности искомой величины по расчетной формуле. При анализе решения целесообразно проверить асимптотику полученного решения – устремить какой либо параметр, определяющий результат, к нулю или к бесконечности и проверить к чему стремится в этом асимптотическом случае решение.

Основные формулы классической механики.

1. Второй закон Ньютона в общем виде:

При условии постоянства массы тела в процессе движения m = const:

2. При движении материальной точки по криволинейной траектории результирующая сила, действующая на точку, может быть представлена в виде суммы тангенциальной (касательной) и нормальной составляющих силы:

, ,

где R – радиус кривизны траектории.

3. Иногда целесообразно решать задачу в системе центра инерции материальных точек. Положение центра инерции определяется радиусом-вектором:

,

где - масса i материальной точки и ее радиус-вектор; суммирование проводится по всем материальным точкам, входящим в систему.

Скорость системы центра инерции:

.

Полный импульс системы материальных точек в системе центра масс равен нулю.

4. При решении задач удобно использовать теорему об изменении кинетической энергии: при перемещении тела из точки 1 в точку 2 под действием переменной силы изменение кинетической энергии тела равно работе результирующей силы.

5. При движении материальной точки в поле потенциальных (консервативных) сил выполняется теорема: работа перемещения тела в потенциальном полепо замкнутой траектории равна нулю. Работа перемещения тела из точки 1 в точку 2 равна уменьшению потенциальной энергии тела:

Сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле:

В декартовых координатах:

6. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки (полюса) О:

где m – масса точки, - скорость точки, - радиус-вектор точки из полюса О, a - угол между векторами и .

Момент импульса твердого тела:

где J – момент инерции твердого тела, - угловая скорость вращения тела.

7. Момент инерции:

- материальной точки ;

- твердого тела , где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Моменты инерции геометрически правильных тел относительно оси, проходящей через центр масс тела:

Однородный стержень - ;

Обруч - ;

Сплошной диск (цилиндр) - ;

Однородный шар - .

Момент инерции тела относительно произвольной оси определяется по теореме Штейнера:

где d – расстояние между данной осью и параллельной осью, проходящей через центр масс тела.

8. Момент силы относительно неподвижной точки (полюса) О:

, ,

где радиус-вектор, проведенный из полюса в точку приложения силы, a - угол между векторами .

9. Основное уравнение динамики вращательного движения (второй закон Ньютона):

При условии неизменности геометрической формы тела в процессе движения J=const

где угловое ускорение тела.

10.Кинетическая энергия вращательного движения:

Полная кинетическая энергия тела:

Работа момента силы относительно неподвижной оси z:

где Dj - угол поворота тела относительно оси z.

11. Законы сохранения импульса и момента импульса. Для замкнутой системы тел полный импульс системы и момент импульса системы сохраняется при любых взаимодействиях внутри системы.

, .

12. Закон сохранения энергии. Механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы величина постоянная:

Релятивистская механика.

1. Преобразования Лоренца.

Если инерциальная система отсчета К’ движется относительно инерциальной системы К со скоростью u , направленной вдоль оси Х, то переход от одной системы отсчета к другой производится по следующим соотношениям:

, ;

y’ = y, y =y’ ;

z’ = z, z = z’ ;

, ,

где с – скорость света.

2. Следствия из преобразований Лоренца.

Линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения:

где l – длина тела, движущегося со скоростью u относительно неподвижной системы отсчета К , - длина тела в системе отсчета К’ , в которой тело покоится (собственная длина).

Промежуток времени Dt между событиями в системе отсчета, движущейся со скоростью u относительно наблюдателя, связан с промежутком времени между событиями в системе отсчета, относительно которой оба события происходят в одной и той же точке:

3.Интервал между событиями:

где - расстояние между точками пространства; - промежуток времени между событиями. Интервал является инвариантом относительно преобразований систем отсчета.

3. Полная энергия тела:

где m –масса тела.

4. Релятивистский импульс:

5. Кинетическая энергия тела:

6. Связь между полной энергией тела и импульсом тела определяется соотношением:

являющееся также инвариантом относительно преобразований систем отсчета.

Примеры решения задач.

Задача 1. На тело массы m, движущееся в вязкой среде действует сила сопротивления (u - скорость тела, k – положительная постоянная, коэффициент сопротивления). Начальная скорость тела . Определить зависимость скорости тела от времени.

Решение. Единственной силой является сила сопротивления. С учетом этого запишем второй закон Ньютона:

Разделяем переменные и интегрируем

Зависимость скорости тела от времени определяется соотношением:

Задача 2. Два диска с моментами инерции и , установленные на одной вертикальной оси, вращаются с угловыми скоростями соответственно и . Перемещая диски вдоль оси, их приводят в соприкосновение. Спустя некоторое время в результате трения диски вращаются как одно целое. Найти изменение кинетической энергии системы.

Решение. Из закона сохранения момента импульса находим угловую скорость совместного вращения дисков:

Начальная кинетическая энергия системы:

Конечная кинетическая энергия системы:

Изменение кинетической энергии системы:

Знак минус в полученном результате говорит об уменьшении кинетической энергии, т. е. часть энергии расходуется на преодоление работы сил трения в процессе выравнивания угловых скоростей дисков.

Задача 3. Покоящаяся частица массой распадается на две частицы массами и . Определить импульсы и энергии образовавшихся частиц.

Решение. В процессе распада выполняются законы сохранения импульса и энергии:

(так как частица вначале покоилась).

Связь энергии и импульса частицы задается уравнением:

(1)

Тогда из закона сохранения импульса следует:

Из закона сохранения энергии следует:

Из последнего уравнения получаем:

Энергия второй частицы:

Используя соотношение (1) , получаем для импульса:

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ.

Вариант 1.

Колесо, вращаясь равноускоренно за пятую секунду от начала движения повернулось на угол

. На какой угол оно повернется за восьмую секунду?

2. Материальная точка начинает двигаться из начального положения А(0,h) Вектор начальной скорости направлен вдоль оси х. Ускорение направлено вдоль оси y. Написать уравнение траектории движения точки.

3.Катер массой m движется по воде с постоянной скоростью . В некоторый момент времени t = 0 выключается двигатель. Сила сопротивления воды движению катера при относительно невысоких скоростях . Найти зависимость пути, пройденного катером с выключенным двигателем, от времени.

4. Вокруг горизонтальной оси О может свободно вращаться легкий стержень, на концах которого укреплены грузы массами и Расстояния от грузов до оси вращения . В начальный момент времени стержень покоится в горизонтальном положении. Какую скорость будет иметь груз в нижней точке при свободном движении системы?

5. Частица 1 сталкивается с частицей 2. Удар абсолютно неупругий. Масса частицы 2 в два раза больше массы частицы 1. Скорости перед столкновением ; . Найти скорость составной частицы.

6. Однородный шар массы m = 5 кг скатывается без скольжения с наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через две секунды после начала движения.

7. Шар, радиусом r , скатывается с наклонной плоскости и описывает «мертвую петлю» радиусом R. Пренебрегая трением качения найти начальную высоту центра шара, при скатывании с которой он не оторвется в верхней точке траектории от поверхности петли.

8. Найти период обращения спутника, движущегося вокруг Луны вблизи ее поверхности, если среднее значение плотности тела Луны .

9.Две частицы, движущиеся в лабораторной системе отсчета (К - системе) по одной прямой с одинаковой скоростью u =\ 0,9с, попадают в неподвижную мишень с промежутком времени Dt = 100 нс. Найти собственное расстояние между частицами (в системе - К’).

10.Частица с массой , движущаяся со скоростью u = 0,8с , испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся частицей. Найти скорость составной частицы и ее массу.

Вариант 2.

1. Материальная точка начинает двигаться из начального положения A(s,h). Вектор начальной скорости направлен вдоль оси x. Ускорение направлено вдоль оси y. Написать уравнение траектории движения точки.

A

2.Материальная точка вращается вокруг неподвижной оси так, что ее угловая скорость зависит от угла поворота по закону , где - положительные постоянные. В начальный момент времени t = 0, j = 0. Определить угол поворота точки и угловую скорость точки как функцию времени.

3.Длина взлетной полосы самолета L = 0,5 км, скорость самолета при взлете Какую нагрузку испытывает пассажир (отношение силы реакции опоры кресла к силе тяжести) при взлете, если разгон самолета происходит равноускоренно?

4.Угол наклонной плоскости к горизонтали . Отношение масс тел Коэффициент трения между телом 1 и наклонной плоскостью m = 0,1. Система приходит в движение из состояния покоя. Найти ускорение движения и силу натяжения нити. Массой блока пренебречь.

5.Замкнутая система состоит из двух частиц массами и , движущихся под прямым углом друг к другу со скоростями Найти в системе центра инерции импульс каждой частицы и общую кинетическую энергию системы.

6.Найти момент инерции тонкого однородного стержня массы m длины l относительно оси, проходящей через его центр под углом a к стержню.

7.С какой наименьшей высоты H должен съехать велосипедист, чтобы по инерции проехать дорожку в виде «мертвой петли» радиусом R = 3 м и не оторваться от дорожки в верхней точке петли. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 75 кг, причем на массу колес приходится 3 кг. Колеса считать обручами, трением пренебречь.

8.Искусственный спутник выведен на круговую орбиту со скоростью u над полюсом Земли. Найти высоту орбиты.

9.Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета (К -системе) его скорость , длина l = 1 м и угол между ним и направлением движения .

10.Нейтрон с кинетической энергией ( - масса нейтрона) налетает на покоящийся нейтрон. Найти в системе центра инерции общую кинетическую энергию нейтронов.

Вариант 3.

1. Материальная точка начинает двигаться из начального положения A(s,h). Вектор начальной скорости направлен под углом a к оси х. Ускорение направлено вдоль оси y. Написать уравнение траектории движения точки.