Билет №1 (стр. 2 )

21(y-x)=231

y-x=11, следовательно y2+x2=21 y2+x2=21

y2-x2=11 y2-x2=11

2x=10

x=5, AE=5

3) По теореме Пифагора найдем h.

BE2=CF2=h2=AB2-BE2, .

4) (кв. ед.)

Ответ: кв. ед.

Билет №8

Задача №1. В круговой сектор с углом 600 помещён круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора и площади круга.

Дано: AOB – круговой сектор, ,

Окр.(О1;r)

Найти: .

Решение

Тогда

- прямоугольный, , тогда , а .

По теореме о квадрате касательной

Тогда

Ответ:

Задача №2. Найдите площадь фигуры и длину границ фигуры, являющейся общей частью двух кругов радиуса R каждый, если расстояние между их центрами также равно R.

Дано: , ,

Найти: .

Решение

- равнобедренный

,

, тогда

Длина границы

Ответ: ,

Билет №9

Задача №1. Доказать, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению её оснований.

Дано: ABCD – описанная трапеция; а, b – основания

Доказать:

Доказательство

1) Дополнительное построение:

В

2) ABCD – описанная

3)

4) - в силу , ч. т.д.

Задача №2. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 5 см. Одна из его сторон равна 6 см. Найти: а) площадь прямоугольника; б) угол между диагоналями прямоугольника.

Дано: ABCD – прямоугольник, AB=6 см,

Окр.(O;R) – описанная, R= 5см.

Найти: , .

Решение

I способ

А) Т. к. Окр.(O;R) – описанная, то О - точка пересечения диагоналей прямоугольника, ОD=R.

(см)

(см2)

Б) : по теореме косинусов

II способ

,

≈0,96

Ответ: (см2), .

Билет №10

Задача №1. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1:2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

Дано: ABCD – ромб, BE – высота, , окр.(О; r)-вписанная

Найти: .

Решение

1)

2) ,

3) , ,

4)

Ответ:

Задача №2. Составить уравнение окружности с центром на прямой у=4 и касающейся оси абсцисс в точке (3; 0). Найти координаты точки пересечения окружности с прямой у=х.

Решение

А) Уравнение окружности имеет вид , где - центр окружности, r – ее радиус.

Т. к. О0 лежит на прямой и касается оси абсцисс в точке , то

- уравнение окружности

Б) - биссектриса I и III координатных углов. Координаты точки пересечения этой прямой с окружностью найдем, решив систему уравнений:

,

Т. к. , то

Ответ: .

Билет №11

Задача №1. Центр описанной около треугольника окружности симметричен центру вписанной окружности относительно одной из сторон треугольника. Найти углы этого треугольника.

Дано:, окр.(О;R) – описанная, окр.(J;r) – вписанная.

Найти:

Решение

Т. к. центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно стороны треугольника, то центр описанной окружности лежит вне - тупоугольный.

Заметим: J – центр вписанной окружности и О – центр описанной окружности лежат на диаметре. Т. к. диаметр перпендикулярен хорде, то - медиана и , значит, - равнобедренный.

Дополнительные построения: - биссектрисы и .

Дополнительное построение: .

= (, т. к. J и O – симметричны относительно М, - общая). Значит .

AK – диаметр, т. к. проходит через центр окружности ,

Ответ: .

Задача №2. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М такая, что АМ=АС, а на стороне ВС – точка К такая, что ВК=. В каком отношении отрезок ВМ делит отрезок АК?

Дано: , , АМ=АС, , ВК=.

Найти: .

Решение

1) Проведем через вершину А прямую, параллельную BC.

Пусть

2) (т. к. )

3) (по двум углам), тогда

Ответ: .

Билет №12

Задача №1. Длины диагоналей ромба пропорциональны числам 3 и 4, его сторона равна 20 см. Найти: а) длины диагоналей; б) радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано: ABCD – ромб, ,

Найти: .

Решение

А) ABCD – ромб, значит и

, т. е.

см

см

см, тогда см

Б) ABCD – описанный

(см2)

(см)

Ответ: ; см

Задача №2. Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 и 18 см, а боковая сторона равна средней линии.

Дано: ABCD –трапеция, см, см, MN – средняя линия,

Найти: .

Решение

Т. к. MN – средняя линия, то

Т. к. ABCD – равнобедренная, то (см)

: по теореме Пифагора: (см)

(см2)

Ответ: см2

Билет №13

Задача №1. В равнобедренном треугольнике АВС АС=b, AB=BC=a, AN и СМ – биссектрисы углов А и С. Найти длину отрезка MN.

Дано: , , , AN и MC – биссектрисы и

Найти:

Решение

1) Пусть , тогда

CM – биссектриса , откуда

2) С другой стороны ( - общий, )

Ответ:

Задача №2. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5 см и 12 см точкой касания этого треугольника со вписанной в него окружностью. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса его меньшего угла?

Дано: - прямоугольный, BD – биссектриса, окр.(О; r),

E, K, M – точки касания, см, см

Найти:

Решение

Пусть , тогда , ,

По теореме Пифагора:

, - не удовлетворяет условию

Итак, см, см.

По свойству биссектрисы угла:

Ответ:

Билет №14

Задача №1. Постройте отрезок длины, где a >b, если a и b – длины двух отрезков.

Дано: отрезки a и b.

Построить: отрезок длины

Построение

1)

AO=

2)

3)

x – искомый отрезок

Задача №2. Постройте треугольник по трём точкам касания его сторон с вписанной в треугольник окружностью.

Дано: точки A, B, C.

Построить: , где A, B, C –

точки касания сторон с вписанной окружностью.

Построение

1) Соединим точки A, B, C.

2) OA1, OB1, OC1 – серединные перпендикуляры для .

3) Построим окружность с центром в точке О и радиусом OA.

4) Строим EF, DE, DF, перпендикулярные радиусам окружности.

5) - искомый.

Билет №15

Задача №1. Найти площадь треугольника, если его стороны соответственно равны , , .

Дано: , , ,

Найти:

Решение

I Способ

AB – большая сторона .

По теореме косинусов: ,

,

Ответ: SABC = 6,5 кв. ед.

II Способ

Проведем высоту CH. Пусть AH= X, HB=, тогда по теореме Пифагора из ΔCHB CH2 = BC2 - HB2=17 - ()2, а из Δ AHC CH2 = AC2 - AH2= Откуда =

=17 – 29 + 2

X=

CH=, SABC=

Ответ: SABC = 6,5 кв. ед.

Задача №2. С помощью теоремы Чевы доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: , AA1, BB1, CC1 – биссектрисы

Доказать: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

По теореме Чевы должно выполняться равенство:

По свойству биссектрисы угла:

; ;

Получим:, значит, биссектрисы пересекаются в одной точке, ч. т.д.

Билет №16

Задача №1. АВСD – квадрат со стороной а. вершины С, А и В являются серединами отрезков BM, ND и DF соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника NFM.

Дано: ABCD – квадрат, AB=a; C, A, B – середины BM, ND, DF.

Найти: R.

Решение

- равнобедренный, т. к.

(по построению)

- прямоугольный

Ответ: .

Задача №2. Площадь прямоугольника равна 520 м2, а отношение его сторон равно 2:5. Найти периметр данного прямоугольника.

Дано: ABCD – прямоугольник, м2, .

Найти: .

Решение

По условию , , (м). Тогда

(м)

Ответ: .

Билет №17

Задача №1. Найдите угол между векторами и, если , , .

Дано: , , .

Найти: ()

Решение

По условию

По условию

Пусть , , тогда получим систему:

+

, т. е.

,

Итак , значит, (

Ответ:

Задача №2. Дано: , , . вычислите .