Билет №1 (стр. 3 )

Дано: , , .

Найти: .

Решение

По условию

Получим:

Ответ:

Билет №18

Задача №1. Постойте отрезок , где а и с – длины данных отрезков.

Дано: отрезки a и c

Построить:

Решение

Заметим, что равенство равносильно уравнению . Для построения отрезка x выполним следующие операции:

1) На одной стороне произвольного угла от его начала откладываем отрезки c и a;

2) На второй стороне угла откладываем отрезок а;

3) Проводим прямую через концы отрезков с и а и параллельно ей проводим прямую через конец отрезка а;

4) Получившийся отрезок х – искомый (по теореме Фалеса).

Задача №2. По данным четырём отрезкам a, b, c, d постройте трапецию с основаниями a и b. При каком соотношении между длинами этих отрезков это невозможно?

Дано: отрезки a, b, c, d.

Построить: трапецию, где

Построение

1) Построим со сторонами c, d, a-b

2) Достроим получившийся треугольник до параллелограмма

3) Достроенная часть параллелограмма – искомая трапеция.

Задача не имеет решения, если не будет выполняться условие:

Билет №19

Задача №1. Найдите острые углы треугольника АСВ, если АСВ=900, АС=2, ВК=1, где СК – высота треугольника.

Дано: - прямоугольный, ,

, , СК – высота

Найти:

Решение

Пусть , тогда по теореме о высоте, опущенной из вершины прямого угла

- не удовлетворяет условию задачи, .

:

Ответ: , .

Задача №2. В треугольник АВС вписана окружность. С1, В1 – точки её касания со сторонами АВ и АС соответственно; АС1=7, ВС1=6, В1С=8. найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника АВС окружностей.

Дано: , , , , и - точки касания Окр

Найти: , .

Решение

, , , как отрезки касательных, выходящих из одной точки.

Тогда , , ,

По формуле Герона: , с другой стороны

Ответ: ,

Билет №20

Задача №1. Найдите площадь треугольника с вершинами А(1; 4), В(-3; -1), С(2; -2).

Дано: А(1; 4), В(-3; -1), С(2; -2).

Найти:

Решение

I способ

1)

2) В - большая сторона. По теореме косинусов:

3) кв. ед.

Ответ: кв. ед.

II способ

1)

2)

Из :

Из :

Тогда,

.

Ответ: кв. ед.

Задача №2. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 6), В(-4; 0), С(-1; -4). Написать уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

Дано: , А(4; 6), В(-4; 0), С(-1; -4), СМ – медиана.

Решение

IСпособ: Т. к. М – середина ВА, то

, .

Уравнение прямой СМ имеет вид .Так как. прямая проходит через точки С и М, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой.

Уравнение медианы СМ имеет вид

Ответ: .

Замечание:

Т. к. М – середина ВА, то ,, .

Уравнение прямой СМ можно записать как уравнение прямой, проходящей через две точки C и M :

, ,

Ответ: .

Билет №21

Задача №1. Найдите площадь квадрата, вписанного в ромб со стороной 6 см и углом 300 (сторона квадрата параллельна диагонали ромба).

Дано: ABCD – ромб, , , MNKL – вписанный квадрат.

Найти: .

Решение

I Способ. Пусть - половина стороны квадрата.

Дополнительные построения: диагонали AC и AB.

1) - прямоугольный,

2)

(по двум углам)

Пусть

Сторона квадрата ,

Ответ:

II Способ

Пусть , где - сторона квадрата. ΔABD ~ ΔNAK (по двум углам: <NAK-общий, <ANK = <ADB как соответственные углы при параллельных прямых NK и DB и секущей AB) .

По теореме косинусов DB=

DB=

DO=, тогда по теореме Пифагора ΔDAO ~ ΔANP (по двум углам) , AP=AO-PO

По формуле сложного радикала:

.

X=PKMK=2PK=2,

(кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.)

Задача №2. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины a и b) и делящего трапецию на два подобных четырехугольника.

Дано: ABCD – трапеция, , ,

Найти: .

Решение

Т. к. подобными четырехугольниками называются четырехугольники, у которых все углы соответственно равны и стороны пропорциональны, то из

Ответ: .

Билет №22

Задача №1. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трёх попарно касающихся окружностей радиусов 1, 1 и -1.

Дано: Окр(О1;1), Окр(О2;1), Окр(О3;), А, В, С – точки касания.

Найти: S заштрихованной фигуры.

Решение

1) , причем

2) Рассмотрим

,

Тогда кв. ед.

3) В , а , т. к. - равнобедренный.

А)

Б)

4) (кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.)

Задача №2. Круги радиусов 1, 6 и 14 касаются друг друга. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах данных кругов.

Дано: Окр(О1;1), Окр(О2;6), Окр(О3;14), А, В, С – точки касания.

Найти: r.

Решение

В : , , .

, где

По формуле Герона:

, тогда

Ответ: .

Билет №23

Задача №1. Докажите, что биссектриса АА1 треугольника АВС вычисляется по формуле: АА1=.

Дано: , - биссектриса.

Доказать: АА1=.

Доказательство

, где <BAC =ά

, ч. т.д.

Задача №2. Докажите, что медиана треугольника со сторонами a, b, c, проведённая к стороне а, вычисляется по формуле: .

Дано: , а, b, c –стороны, - медиана.

Доказать: .

Доказательство

I способ.

Рассмотрим векторы , , , A1 – середина ВС, значит .

Заметим, что

II способ.

1) Рассмотрим : пусть

2) Рассмотрим :

3) : , откуда , ч. т.д.

Билет №24

Задача №1. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2.

Дано: , CO – медиана,

Найти: .

Решение

О – центр описанной окружности, т. к. О – середина гипотенузы.

.

.

- равнобедренный,

2) Аналогично

Ответ: , .

Задача №2. Доказать, что биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

Дано: - прямоугольный, CH – высота, CK – биссектриса, CC1 – медиана.

Доказательство

1) Т. к. - прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т. е. в точке (т. к. – медиана),

2) , но , т. к. - равнобедренный

3) , т. к. CK – биссектриса, тогда , ч. т.д.