«Микроэкономика-3 »

ГУ-ВШЭ, уч. г. «Микроэкономика-3 »

Домашнее задание для потока с экономической подготовкой

Срок сдачи: не позже 18 октября 10.30

Вы можете сдать задание до указанного срока в комн. Ж или сдать его в аудитории перед началом лекции 18 октября

1.  (15 баллов) Пусть функции дифференцируемы, положительно однородны степени 0 и удовлетворяют свойству полного расходования бюджета при всех . Покажите, что и для всех .

2. (25 баллов) Рассмотрите потребителя, предпочтения которого представимы функцией полезности .

(а) Удовлетворяют ли предпочтения данного агента свойствам: локальной ненасыщаемости, выпуклости, непрерывности.

(б) Всегда ли задача минимизации расходов будет иметь решение?

(в) Будет ли функция расходов (в тех случаях, когда она определена) возрастать по ?

(г) Как изменятся ваши ответы на вопросы (а)-(в), если функция полезности имеет вид ?

3. (20 баллов)

(а) Пусть - множество решений UMP при и , а -множество решений EMP при и . Верно ли, что множество является подмножеством ? (Заметим, что в задаче не предполагаются какие-либо ограничения на предпочтения).

(б) Пусть набор являлся решением EMP при и , то есть причем . Положим . Пусть задача максимизации полезности имеет решение при и . Верно ли, что для любого имеем ? (Заметим, что в задаче не предполагаются какие-либо ограничения на предпочтения).

4. (20 баллов) Предпочтения потребителя представимы функцией полезности вида . Найдите функцию расходов и косвенную функцию полезности. Проверьте, что функция расходов может быть получена как обратная от косвенной функции полезности. Будет ли данное соотношение иметь место для любой функции полезности? Если вы полагаете, что будет, то докажите. Если вы считаете, что не будет, то приведите соответствующий контрпример.

5. (20 баллов) Рассмотрите следующую задачу оптимального налогообложения.

Правительство выбирает, какие товары обложить потоварным налогом и каковы должны быть оптимальные налоговые ставки, если цель правительства – максимизировать общественное благосостояние и обеспечить при этом заданный уровень налоговых поступлений, равный .

Для удобства будем считать, что рынки совершенно конкурентны, а предложение товаров характеризуется абсолютной ценовой эластичностью. В результате при введении на товар налога со ставкой цена товара составит , причем будет равняться предельным издержкам производства блага . Пусть в экономике все потребители одинаковы и представимы репрезентативным агентом, косвенная функция полезности которого имеет вид . Таким образом, задача правительства примет вид

.

(а) Покажите, что , где - элемент матрицы Слуцкого, , где - множитель Лагранжа для рассматриваемой задачи.

(б) Пусть предпочтения агента представимы аддитивно сепарабельной квазилинейной функцией полезности. Считайте, что решение задачи потребителя внутреннее. Покажите, что величина будет обратно пропорциональна модулю эластичности спроса на товар , то есть чем выше эластичность спроса, тем меньше должна быть налоговая ставка.