Физика: Введение. Дуализм света. Опыт Боте (стр. 2 )

Групповая скорость U (скорость перемещения центра энергии группы волн) :

dωt – xdk = const

U = dx/dt = dω/dk

Фазовая скорость не переносит энергию, групповая переносит.

U = dω/dk = d(Vk)/dk = V+ (kdV/dk) = VkdVd λ/d λ dk

λ = 2Pid λ/kdk = - 2Pi/k2

U = V + k (- 2Pi/k2) (dV/d λ) = V – (λdV/d λ) = U

Если dV/d λ > 0 тогда U<V нормальная дисперсия

Если dV/d λ < 0 то U>V аномальная дисперсия.

Если dV/d λ=0 то среда не дисперсирующая

Волновой пакет может перемещаться только в недисперсирующей среде (вакуум?)

В диспергирующей среде пакет расплывается.

§4 Свойства волн де Бройля.

1)Так как волны де Бройля – волновые процессы, то все характеристики присущие волнам, можно применить к волнам де Бройля.

A, ω, ν, фаза, пространственные координаты x, y,z, и время t.

Свойства отличаются от реальных волн:

2)Фазовая скорость – скорость распределения в пространстве фазы волны.

V~C для релятивистской частицы.

Vфаз = ω / k

ω - угловая частота, k - волновое число

= 2Pi ν λ/2Pi = ν λh/h = h ν / p

Т. к. по де Бройлю λ = h/p, λ/ h=p

h ν = ε – энергия фотона или кванта

Vф = E/p = mC2/mV = С2/V V<C

Vф > C

СТО – специальная теория относительности. Отличительное свойство, нехарактерное для других волн.

3) Групповая скорость – равно скорости с которой распространяются в пространстве группы волн.

Групповая скорость Vгр=U – скорость амплитуды группы волн.

Vгр = U = d(ωħ)/d(ħk) = dE/dP

E2 = E02 + p2C2

U = d(sqr(E02 + p2C2))/dp = 2pC2/2sqr(E02 + p2C2)= pC2/E = pC2/mC2= p/m = mV/m = Vчаст=U

U=Vчаст

=> любую частицу можно представить в виде волнового пакета.

4)Дисперсия волн де Бройля

Дисперсия – зависимость фазовой скорости от длины волны.

Vф=f(λ)

В вакууме все реальные волны с различными длинами волн распространяются с одинаковой скоростью, те в вакууме нет дисперсии. ε = 1 (в вакууме.)

Среды с ε > 1 диспергируют.

Рассмотрим волны де Бройля:

Vф = ω / k = E/p = (E02 + p2C2)/p = sqr((E02 + p2C2)/p2) = sqr((E0/ p2)+ C2)

λ =h/p => p = h/ λ

Vфаз = sqr((E02 λ2 / h2)+ C2) = f (λ) - не зависит от среды

волн де Бройля наблюдается дисперсия даже в вакууме.

5)Волны де Бройля и второй постулат Бора. (правило квантования орбит)

Le (момент импульса орбит) = mVr = nħ – правило квантования орбит

ħ = h/2Pi, n=1,2,3… ,бесконечность - квантовое число

mVr = nh/2Pi

2PirmV = nh mV=p

2Pirh/ λ = nh

2Pir = n λ

C точки зрения гипотезы де Бройля 2й постулат Бора:

стац. Орбитами электрона в атоме называются такие орбиты на длине которых укладывается целое число волн де бройля.

n=4

§5 Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

1)разрыв однозначных связей между p и x в квантовой механике

Квантовая механика – особенность движения микрочастиц.

Микрочастицы – мелкие массы

В классической физике при движении классической мкч всегда наблюдается однозначная связь между импульсом этой частицы и ее координатами

В квантовой физике:

∆x стремится к 0:

λ определено точно.

∆P = 0

Положение объекта любое.

∆x!=0, λ определено не точно.

∆P не точно, ∆P!=0,

∆x стремется к 0: λ невозможно определить, P не точно, ∆P стремится к бесконечности

отсутствие траектории обусловлено волновым свойством.

2) Соотношение неопределенностей импульса и координат.

{∆x∆Px>= ħ

∆y∆Py>= ħ

∆z∆Pz>= ħ}

Произведение неопределенности координат на неопределенность импульса (?) не может быть менее ħ

3) Соотношение неопределенностей энергии и времени.

∆E∆t>= ħ

Разброс значений операции

E в атоме водорода

n=1

∆t стремится к бесконечности

∆E∆t= ħ

∆E = ħ/∆t = 0

n=2

∆t = 10 –8 c

∆E= 10 – 34 / 10 – 8 = 10 – 26Дж

4)философские толкования

Одновременно точно импульс и координаты у мкч определить нельзя

§6 Волны де Бройля и волновая функция.

1.Формула Эйлера и комплексная формула записи волн.

S (x, t) = aCos (ωt – kx +σ)

ωt – kx + σ = α

Формула Эйлера: e+-i α = Cos α +- iSin α

Для p – x iSin α = 0

aCos α = a e+-i α

S(x, t) = a e+-i α

2.Волновая функция и волна де Бройля

Пси функция обусловлена колебанием волны в пространстве

Ψ(x, t) = a e+-i α

Ψ(x, t) = a e+-i (ωt – kx +σ) = ae +-i σ e+-i (ωt – kx)

ae +-i σ =A

ωt – kx = (Et - px)(1/ ħ)

Ψ(x, t) = Ae-i(1/ ħ) (Et - px) для свободной мкч

§7 Вероятностное толкование волн де Бройля.

Ψ ψ

Ψ(x, t) = A e–i(ωt –kr) =Ae –(1/ħ)(Et - pr) - свободная мкч

Ψ(r, t) = A e–i/ ħ (Et –pr) = A e–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)

Ψ(x, t) = A(x, t) e–i/ ħ (Et –pt)

Прохождение мкч через кристалл

Или отражается или проходит.

W – вероятность: | Ψ (x, t)|2

Мысленный интерференционно - дифференционный опыт:

Две щели, на них направлен поток электронов и ставится фотопластинка. Там куда попадают электроны пленка темнеет. Время экспозиции τ.

Щели поочередно открывают.

Если поток сделать очень слабым, то картина сохранится (опыт фабрикана)

Электрон «чувствует» какая щель открыта, обе щели действуют на него. Электрон пройдет только через 1 щель. Движением мкч управляют волновые свойства.

Вероятность попадания электрона в щель:

| Ψ |2 dV (объем)

| Ψ |2 = dW/dV – плотность вероятности

| Ψ (x, y,z, t) |2 = dW/dV – плотность вероятности обнаружить мкч в точке с координатами x, y,z в момент времени t

Ψ (x, y,z, t) = A e–i/ ħ (Et –pr)

| Ψ (x, y,z, t) |2 = Ψ (x, y,z, t) Ψ*(x, y,z, t)

Ψ*(x, y,z, t) – комплексная сопряженная

Плотность вероятности – вероятность, отнесенная к единице объема.

В квантовой механике движение 1й мкч уже связано с W

1 частица имеет вероятностный характер.

§8 Вероятность нахождения мкч. Нахождение средних значений функции от координат. (роль Ψ –фунукции в квантовой механике)

Ψ(x, t) = A e–i/ ħ (Et –px)

| Ψ(x, t) |2 = dW/dV

dW = | Ψ(x, t) |2 dV

W = (интеграл от x1 до x2)( Ψ*(x, t) Ψ(x, t)dx)

Условие нормировки:

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (| Ψ(x, t) |2 dx) =1 одномерный случай

(3 интеграла от – бесконечности до + бесконечности)( Ψ*(x, y,z, t) Ψ(x, y,z, t)dxdydz) = 1

Плоская волна де Бройля не нормируется на единицу:

Свободная мкч

Ψ(x, t) = A e–i/ ħ (Et –px)

| Ψ(x, t) |2 = A e–i/ ħ (Et –px) A e–i/ ħ (Et –px) = A2

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (| Ψ(x, t) |2 dx) стремится к бесконечности

Непрерывна однозначна конечна!

Нахождение средних значений координаты и функции от координат.

<F(x)> = (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (F(x)W(x)dx)

Здесь W(x) – плотность вероятности, d(x) – класс статист.

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (W(x)dx) = 1

В квантовой механике:

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (Ψ(x, t)* f(x) Ψ(x, t) dx) =

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (|Ψ(x)2| f(x) dx) =

(интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (Ψ*(x, t) Ψ(x, t) dx) = 1

<f (x, y,z)> = (3 интеграла от – бесконечности до + бесконечности)( Ψ*(x, y,z, t) f(x, y,z)Ψ(x, y,z, t)dxdydz)= (3 интеграла от – бесконечности до + бесконечности)( |Ψ(x, y,z, t)|2 dxdydz)=1

Глава 5. Уравнение Шредингера.

§1 Особенности волнового уравнения для микрочастицы.

Классическая физика:

md2x/dt2 = F(t)

V = dx/dt = 1/m (интеграл) (F(t)dt+C)

x = (интеграл) (Vdt + C’)

квантовая механика:

- движение расплывчатое

Ψ(x, t)

W = (интеграл от x1 до x2)|Ψ(x, t)|2dx

<x> = (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (Ψ*(x, t) Ψ(x, t) dx)

∆x∆Px>> ħ при условии (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (|Ψ(x, t)|2dx) = 1

Уравнение должно быть линейным тк должен быть справедлив принцип суперпозиции в квантовой механике.

Если мкч может находится в состоянии которое описывается функцией Ψ1 и может находится в состоянии Ψ2 то она также может находится в состоянии, описываемом

Ψ=С1 Ψ1+С2 Ψ2

C1 C2 – произвольные константы

Ψ = ∑ Сi Ψi

Аналог – белый свет и монохроматические волны. В квантовой механике складываются функции, а в классической – вероятности.

§2 Общий вид уравнения Шредингера от времени.

1920 г. Постулат.

(- ħ2/2m )*(∂2 Ψ/∂x2) = i ħ (∂ Ψ/∂t) – для свободной мкч

Для трехмерного случая:

(- ħ2/2m )*(∂2 Ψ/∂x2 +∂2 Ψ/∂y2 +∂2 Ψ/∂y2 ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

В операторной форме:

- ħ2/2m * ∆ Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

t-независимая переменная

неизвестная функция Ψ(x, y,z, t)

С учетом силового поля:

E = T + U (x, y,z, t)

(- ħ2/2m )*(∂2 Ψ/∂x2) + U(x, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

(- ħ2/2m )*(∂2 Ψ/∂x2 +∂2 Ψ/∂y2 +∂2 Ψ/∂y2 ) + U(x, y,z, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

- ħ2/2m * ∆ Ψ + U(x, y,z, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Решение - Ψ (x, y,z, t)

§3 Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Общая характеристика стац. Состояний

Состояние называется стационарным если | Ψ (x, y,z, t) |2 = const

M(x, y,z)

U (x, y,z, t) = U (x, y,z)

E = p2/2m + U(x, y,z)

Система консервативна, тк сумма постоянна

По Гейзенбергу

∆E∆t >= ħ

∆E стремится к 0

∆t стремится к бесконечности

| Ψ |2 = const

| Ψ (x, y,z, t) |2 = const

Ψ (x, y,z, t) = e if(x, y,z, t) ψ (x, y,z)

Ψ(x, t) = A e–i/ ħ (Et –px) удовлетворяет условию стацион.

Ψ (x, y,z, t) = e if(x, y,z, t) A e–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)

ψ = A e–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)

U (x, y,z, t) = U (x, y,z)

- ħ2/∂x2 + U (x, y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ(x, t) = e–i/ ħ (Et ) ψ – функция стац состояния

∂ Ψ/∂x = e–(i/ ħ) E ∂ ψ /∂x

∂ 2Ψ/∂x2 = e–(i/ ħ) ∂2 ψ /∂x2

∂ Ψ/∂t = –(i/ ħ) E e–(i/ ħ) Et ∂ ψ

(- ħ2/2m) e–(i/ ħ) Et (∂2 ψ /∂x2) + U (x, y,z) e–(i/ ħ) Et ψ = i ħ–(i/ ħ) E e–(i/ ħ) Et ψ

(- ħ2/2m) (∂2 ψ /∂x2) + U (x, y,z) ψ = E ψ

Eпот не зависит от t

E = p2/2m – U(x, y,z)

ψ (x, y,z)

(- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x, y,z, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Свободная мкч: (- ħ2/2m) ∆ Ψ = 0

(- ħ2/2m) ∂ 2Ψ/∂x2 =E Ψ

E – Eкин

Решение: Ψ(x, t) = Ae–i/ ħ (Et - px)

Уравнение Шредингера в стац состоянии для свободной мкч.

(- ħ2/2m) (∂2 Ψ /∂x2 + ∂2 Ψ /∂y2 + ∂2 Ψ /∂y2) = E Ψ

(- ħ2/2m) (∂2 Ψ /∂x2) = E Ψ – одномерный случай

Уравнение Шредингера описывает возможные состояния волн де Бройля

§4 Уравнение Шредингера для n частиц

Ур. Стационарного состояния для 1й частицы: (- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x, y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Система находится под действием силы F

(- ħ2/2) ∑ (1 /mi) ∆i Ψ + [∑ U (ri) + Uвзаимодействия (r1 …. rN)] Ψ = EΨ

U (ri) – Eпот iй мкч в силовом поле

Uвзаимодействия - Eпот взаимодействия всех частиц

E – полная энергия всех частиц

Решение: Ψ (r1 …. rN)

Решив уравнение можно найти | Ψ (r1 …. rN)|2 = dW/dV

§5 Анализ решений уравнений Шредингера

1.Сравнение с обычным волновым уравнением:

∂2 S /∂x2 = 1 ∂2S/ U2 ∂t2

Его решение: S = A Cos (ωt - kx)

По теореме Эйлера: S = e - i(ωt - kx) = A [ Cos (ωt - kx) - iSin(ωt - kx)]

iSin(ωt - kx) – не отражает реального физического пр. (??)

В решении уравнения Шредингера мы не отбарсываем мнимую чать:

(- ħ2/2m) (∂2Ψ/∂x2 ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ = ACos (ωt - kx) – не решение

Решение: Ψ =Ae-i(ωt - kx) = A [Cos(ωt - kx) - iSin(ωt - kx)] – плоска волна де Бройля

2.Начальные и граничные условия

Решить уравнения модно только зная начальные и граничные условия

(- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x, y,z, t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ (x, y,z, t) – решение

Ψ (x, y,z,0) – начальное условие при t=0

Ψ (x, y,z, t) →Ψ (x, y,z,0) здесь появляется принцип причинности О_о

В граничные условия входит Епот в явном виде

U (x, y,z, t)

Ψ (0,t) Ψ (e, t)

3. стандартные естественные условия

на пси функцию накладываются условия:

1.Пси функция непрерывна

2.однозначна

3.конечна – требование из условия нормировки (тройной интеграл от минус до плюс бесконечности) (|Ψ (x, y,z, t)|2dxdydz) = 1

4. собственные значения и собственные функции

(- ħ2/2m) ∆ ψ + U (x, y,z) ψ = E ψ

ψ1 ψ2 ψ3 - собственные функции

E1 E2 E3 - собственные значения E

Не все пси функции удовлетворяют этому условию

Имеем дискретный ряд, удовлетворяющий этому уравнению

Мкч может иметь только дискретный ряд значений энергии.

Уравнение шредингера содержит ключ квантования

Имеет смысл только в ограниченном пространстве

Для нерелятивистской: V<<C Ek = p2/2m – уравнение Ш. не учитывающее спин

Для релятивистской: V~C Ek = mC2 – m0C2 – уравнение Дирака учитывающее спин

Глава 6. Применение квантовой механики.

§1 Движение мкч в свободном пространстве.

1.уравнение Шредингера и его решение

U(x) = 0

Состояние стационарное

(- ħ2/2m) (∂2 ψ /∂x2 ) = E ψ

E = p2/2m

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k2

(d2 ψ /dx2 ) + k2 ψ = 0

Ищем решение в виде ψ = e rx

(∂ ψ /∂x) = r ψ

(∂2 ψ /∂x2 ) = r2 ψ

r2 ψ + k2 ψ = 0

ψ != 0

r2 + k2 = 0 => r = +- ik

ψ = A e ikx + B e –ikx

2.собственные функции оператора энергии

k = sqr ((2m/ħ2) E) = sqr((2m/ħ2) (p2/2m)) = p/ ħ

ψ = A e –i (p/ ħ )x + B e –i (p/ ħ ) x

умножаем на временной множитель

f(t) = e –i/ ħ (Et)

Ψ (x, t) = ψ(x) e –i/ ħ (Et)

Ψ (x, t) = A e –i/ ħ (Et - px) + B e –i/ ħ (Et + px)

В этом случае полагают например B=0 (мкч движется в + направлении)

Ψ (x, t) = A e –i/ ħ (Et - px)

3. собственные значения энергии

(2m/ħ2) E = k2

E= k2 ħ2/2m

- Квадратичная функция.

§2 Движение мкч в потенциальном ящике.

Потенциальный ящик – одна из разновидностей потенциальных ям.

Потенциальная яма – область прорыва в которой Епот меньше чем в окружающих точках пространства.

Ямы могут имеет самую причудливую форму.

Для удобства вид ямы сводят к прямоугольному виду

Потенциальный ящик – одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

U(x) = {0 0<x<L

Бесконечность 0>=x, x>=L}

Мкч не может выйти за пределы ящика, граничные условия:

{ ψ (0) = 0

ψ (L)=0}

уравнение шредингера и его решения для частицы в потенциальном ящике

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k2

(d2 ψ /dx2 ) + k2 ψ = 0

Решение: ψ = A’ e ikx + B’ e –ikx

По т. Эйлера: ψ = A’ (Coskx + iSinkx) + B’ (Coskx - iSinkx)

ψ = (A’ + B’)(Cos kx) + (A’ – B’) (iSinkx)

A’ = 1/2 B’= 1/2 тогда ψ1 = Cos kx

A’ = - i/2 B’= - i/2 тогда ψ2 = Sin kx

ψ = ASinkx + BCoskx – амплитудная функция

Ψ (x, t) = e –i/ ħ (Et ) (ASinkx + BCoskx) - амплитудное рещение

Ψ (x, t) = Ae –i/ ħ (Et ) Sinkx + B e –i/ ħ (Et ) Coskx – общее решение

Собственные значения энергии

ψ = ASinkx + BCoskx

применим граничные условия

ψ (0) = 0 B=0 A!=0

ψ (l)=0 ASinkL=0

Sinkl = 0 kL=nPi k=nPi/L

(2m/ħ2) E = (nPi/L)2

E= n2 Pi2ħ2/2mL2

Мкч имеет дискретный спектр энергий в потенциальном ящике

E1= Pi2ħ2/2mL2

E2=4 Pi2ħ2/2mL2 итд

ψ = ASin(nPi/L)x

∆E = En+1 – En = (n+1)2 (Pi2ħ2/2mL2) – n2 (Pi2ħ2/2mL2) = (2n+1) (Pi2ħ2/2mL2) ~ n

Дискретность проявляется при малых массах и малых размерах потенциального ящика.

Относительная дискретность ∆E/E = 2n+1/n2 ~ 1/n

При n стремящемуся к бесконечности дискретность исчезает (стремится к 0) и квантовая механика переходит в классическую.

Собственные функции

ψ (x) = ASin(nPi/L)x

Условие нормировки:

(интеграл от 0 до L) (A2Sin2(nPix/L) dx) =1

A2 1/2 (интеграл от 0 до L) (1 - Cos(2nPix/L) dx) =1

A2 1/2 [(интеграл от 0 до L)(dx) - (интеграл от 0 до L) (Cos(2nPix/L) dx)] =1

A2 1/2 [x| - ((1/2n(Pi/L)) (Sin(2nPix/L) )) |] =1

A2 L/2 = 1

A = sqr (2/L)

ψ (x) = sqr (2/L) Sin(nPi/L)x

Ψ (x) = sqr (2/L) e –i/ ħ (Et ) Sin(nPi x /L)

n=1 ψ 1 = sqr (2/L) Sin(Pi x/L) E= Pi2ħ2/2mL2

n=2 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(2Pi x/L) E= 4Pi2ħ2/2mL2

n=3 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(3Pi x/L) E= 9Pi2ħ2/2mL2

n – число максимумов

для классической частицы будет просто прямая.

n стремится к бесконечности – кривая вырождается в прямую

принцип соответствия Бора: квантовая механика переходит в классическую.

Общие выводы:

- спектр энергии мкч в потенциальном ящике дискретен

- минимальная Екин (Е1) мкч в потенциальном ящике!= 0, следовательно мкч не может находится в состоянии покоя

- дискретность энергии мкч проявляется только при достаточно малых размерах потенциального ящика и малой массе мкч

- дискретность исчезает при n, стремящемся к бесконечности.

§3 Отражение и прохождение мкч через Потенциальный барьер.

1.Потенциальный барьер – область, в которой Епот больше чем в остальных точках пространства.

U={U0 x>=0

0 x<0}

1)Eкин>U0

2)Eкин<U0

По требованию непрерывности

ψ1(0) = ψ2(0)

ψ1’(0) = ψ2’(0)

2.уравнение Шредингера и его решение

1)я область

U(x)=0

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k12

k1 = sqr ((2m/ ħ2)(p2/2m)) = p/ ħ = p2Pi/ ħ2Pi = 2Pi/λ – волновое число

2)я область

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) + U0 ψ = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m (E - U0) ψ/ ħ2)=0

2m (E - U0) ψ/ ħ2 = k2

{(d2 ψ /dx2 ) + k12ψ = 0

(d2 ψ /dx2 ) + k22ψ = 0}

Решение

1)ψ1(x) = A1 e ik1x + B1 e –ik1x - отражается от потенциальной ступени

Волн. Пад. Отр. Волн.

2)ψ2(x) = A2 e ik2x + B2 e –ik2x - ни от чего не отражается B2=0

Ψ1 (x, t) = A1e –i/ ħ (Et ) eik1x + B1 e –i/ ħ (Et ) e-ik1x

Ψ2 (x, t) = A2e –i/ ħ (Et ) eik2x

3.Микро и макро частицы на грани 2х сред

Макрочастицы:

T1=mV12/2 U=0

T2=mV22 – U0

mV22 < mV12/2

V2 < V1 T1>U0

T1<U0 тогда mV22< 0

V2 – мнимая величина: во вторую область макрочастица не пройдет

Микрочастица:

ψ1(x) = A1 e ik1x + B1 e –ik1x

ψ2(x) = A2 e ik2x

1)E> U0

мкч может пройти во вторую область, а может отразиться

|ψ1(x)|2, |ψ2(x)|2

2)E< U0 тоже самое

4.Определение коэффициента отражения R и коэффициента прозрачности D

R=N’/N=число отраженных частиц/число падающих частиц = |B1|2/|A1|2

D=N’’/N=число прошедших частиц/число падающих частиц = |A2|2/|A1|2

N=nV1 n-концентрация

Скорость частиц 1 и 2 разная V1 V2

N, N’,N’’ – число частиц, падающих на 1 площади в 1 времени

A1 – характеризует плотность потока падающих частиц

A1=1 R= |B1|2

D = |A2|2 (V2/V1) = |A2|2 (k2/k1)

(V2/V1) = (P2/P1) = (k2/k1)

1+ B1= A2 => ψ1(0) = ψ2(0)

ik1A1 e ik1x + ik1B1 e - ik1x = ik2A2 e ik2x

ψ1’(0) = ψ2’ (0)

k1(1+ B1)= k2A2

{1+ B1= A2

(1+ B1)= (k2 / k1)A2 }

2 = A2(1+ (k2 / k1))

A2 = 2 k1/ k1+ k2

B1= A2 - 1 = (2 k1/ k1+ k2) – 1 = 2 k1 - k1 - k2/ k1+ k2

B1= k1 - k2/ k1+ k2

R=| k1 - k2/ k1+ k2|2

D = (4 k12 / (k1+ k2)2) (k2/ k1)

D = 4 k1 k2/ (k1+ k2)2

R+D=1

D = D0 e –(2/ ħ)sqr(2m(U0 - E)) L

D0 = 1 обычно

5.Частные случаи

1)U0 = 0 => k1= k2 R=0 D=1 мкч проходит в II

2) U0 = E макрочастица проходит в II со скоростью V=0

k1!= 0 k2= 0

R=1 D=0

3) E > U0 k1-действ. число k2-дч

k1 > k2 λ1 < λ2

4) E < U0 | ψ II|2 != 0 микрочастица может пройти во II область

k1-действ. число k2-мнимое число

R = | k1 - ik/ k1+ ik|2 = (k1 - ik/ k1+ ik)( k1 + ik/ k1- ik) = 1

D = 0 ψ II =A2e-kx

Вектор Умова-Пойнтинга = 0

Аналог – полное внутреннее отражение

§4 Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

1)

U(x) = {0, x<0, x>L

U0, 0<=x<=L}

2)Уравнение Шредингера

Обл. I и III

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + ( 2m E ψ/ ħ2 ) = 0

k1,3 = sqr (2mE / ħ2)

(d2 ψ /dx2 ) + k1,32 = 0

Обл II

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) + U0 ψ = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m (E - U0) ψ/ ħ2)=0

k2 = sqr (2m (E - U0) ψ/ ħ2)

(d2 ψ /dx2 ) + k22ψ=0

Решение:

ψ I(x) = A1 e ik1,3x + B1 e –ik1,3x

ψ II(x) = A2 e ik2x + B2 e –ik2x

ψ III(x) = A3 e ik1,3x + B3 e –ik1,3x

B3 = 0

Анализ решения уравнения Шредингера

1)E>U0

k1,3 и k2 – действительные числа

k1,3 > k2 λ = 2Pi/k λ1,3 < λ2

2) E<U0

k1,3– действительные числа и k2 – мнимое. k2 = ik

Энергия микрочастицы принимает любые значения

ψ I(x) = A1 e ik1,3x + B1 e –ik1,3x

ψ II(x) = A2 e –kx + B2 e kx B2=0

ψ III(x) = A3 e - ik1,3x

микрочастица «просачивается» через потенциальный барьер

Туннельный эффект

Холодная эмиссия электрона из металла

Вн. Эл поле меняет профиль потенциальной ямы.

§5 Микрочастица в потенциальной яме конечной глубины.

1. U(x) = {U0, x<=0, x>=L

0, 0<x<L}

2.Уравнение Шредингера

I, III U(x) = U0

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) + U0 ψ = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m (E - U0) ψ/ ħ2)=0

k1,3 = sqr (2m (E - U0) / ħ2)

(d2 ψ /dx2 ) + k1,32 ψ = 0

II

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m E ψ/ ħ2)=0

k2 = sqr (2m E / ħ2)

(d2 ψ /dx2 ) + k22 ψ = 0

Решение:

ψ I(x) = A1 e ik1,3x + B1 e –ik1,3x

ψ II(x) = A2 e ik2x + B2 e - ik2x

ψ III(x) = A3 e ik1,3x + B1 e –ik1,3x B3=0

Анализ решения:

1)E> U0 (микрочастица свободная)

k1,3 и k2 – действительные числа

k1,3 > k2 λ = 2Pi/k λ1,3 < λ2

рис*

Энергия не квантуется

2)E< U0

k2 - действительное число

kII3 – мнимое число k1,3 = ik

Решение:

ψ1(x) = A1 e - kx + B1 e kx A1 e –kx не удовлетворяет условию конечности при x<0 - сокращаем

ψ2(x) = A2 e ik2x + B2 e - ik2x

ψ3(x) = A3 e - kx

пси функция удовлетворяет только при определенных значениях E. E квантуется

спектр энергий дискретный

E= n2 Pi2ħ2/2mL2

В потенциальном ящике n – бесконечно

В потенциальной яме n - конечно.

Вероятность обнаружить мкч:

Мкч можно обнаружить в I и III области.

§6 Квантово-механический осциллятор

1.Гармонический осциллятор

- точка или система точек, совершающая гармонические колебания.

X=ACosωt

F = - c x c – коэффициент упругости

Сила упругая или квази упругая

F= - grad U

U = cx2/2

2.Классический гармонический осциллятор

(рисунок шарик на пружинке)

md2x/dt2 = - cx Fy = - cx

d2x/dt2 + cx/m =0 c/m=ω02

d2x/dt2 + ω02x = 0

решение: x = ACos(ω0 + φ0) - смещение от положения равновесия

V = dx/dt = - A ω0Cos(ω0t + φ0)

T = mV2/2 = (m A2 ω02 / 2) Sin2(ω0t + φ0)

U = cx2/2 = (cA2Cos2(ω0t + φ0))/2

U = (m A2 ω02 Cos2(ω0t + φ0)) / 2

E = T + U = m A2 ω02 / 2

-A, A – точки поворота – U=E

Вероятность местонахождения

dW/dx – плотность вероятности

(интеграл от –A до А)(Wdx) = 1

3.Квантово-механический осциллятор

Электрон в атоме, атом в кристалле… колеблющаяся частица???

Уравнение Шредингера

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) + (cx2/2) ψ = 0

Решение: ψ = An eαx^2

An – нормирующий множитель

Пси функции удовлетворяют стандартным естественным условиям не при всех E

Энергия осциллятора

E = (2n + 1) ħ ω0/ 2 n = 0,1,2,3…

ħ ω0 – расстояние между уровнями

Энергия меняется по параболическому закону

Emin, n=0: Emin = ħ ω0 /2

n=1: E1 = 3ħω0 /2

n=2: E2 = 5ħω0 /2

Классический гармонический осциллятор может находится в состоянии покоя, механический – нет.

ħω0 – энергия нулевых колебаний

нулевые колебания – колебания которые квантово-механический осциллятор совершает при t=0

ставили опыты. Интенсивность рассеяния при определенных условиях минимальна. При t=0 колебания есть, иначе было бы нарушение ∆x∆Px>= ħ (соотношение неопределенности импульса и координат)

доказано при наблюдении рассеивания света на монокристалл.

С возрастанием n, квантово-механический осциллятор стремится к классическому.

§7 Квантово-механическая модель атома.

1.Качественное рассмотрение

r = n2ћ2/kme2

II обл

T = ke2/2r U=-ke2/r

E = T+U=-ke2/2r

r стремится к бесконечности, U стремится к 0

r стремится к 0, U стремится к - бесконечности

I обл E>0, принимает любые значения

II обл E<0

2. Уравнение шредингера для электрона в атоме водорода

U=-ke2/r

(- ħ2/2m)∆ψ + (-ke2/r) ψ = E ψ

∆ψ + (-2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ = 0

Сферические координаты

M(r,θ,φ)

X = 2Sinθ Sinφ

Y=2Sinθ Cosφ

Z=rCosθ

∆ = (1/r2)( ∂/∂r)(r2∂/∂r) + (1/r2Sinθ)(Sinθ∂/∂θ)+( 1/r2Sinθ)( ∂2/∂φ2)

(1/r2)( ∂/∂r)(r2∂ ψ /∂r) + (1/r2Sinθ)(Sinθ∂ ψ /∂θ) + ( 1/r2Sinθ)( ∂2 ψ /∂φ2) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ = 0

Решение:

ψ (r,θ,φ)

1) E>0, при любых E

2)E<0

Уравнение решилось только при введении дополнительных параметров: n, L, me

3.Квантовые числа

1)Главное квантовое число n=1,2,3…

E = - (1/n2) (k2me4/2ћ2)

2) Орбитальное квантовое число l=0,1,2,…,(n-1)

Характ. Орбит. Момент.

L=sqr(l(l+1)) ћ, L=[r, P] (вект), p=mV(вект)

орбитальное число определяет момент импульса электрона в атоме, магнитное квантовое число -- проекцию момента импульса электрона на заданное направление, который может иметь в пространстве 2l+1 ориентаций

3) магнитное квантовое число me= 0, +-1,+-2,…,+-l

Lz = me ћ

Состояние электрона в атоме

Таблица:

n l me сост

S

2 0|1 0|-S|2p

3 0|1|2 0|-1 0 1|-2S|3p|3d

При одном и том же n может быть несколько состояний. Состояние электрона с одинаковой энергией называются вырожденными.

Кратность вырождения N

n, l – n значений m=(2n+1)

N=∑(от эль до n-1)(2l + 1) = 1+3+5…

N=(1+2n-2+1)n/2=n2

4.спектр атома водорода. Правило отбора.

∆l = +-1

∆me = 0,+-1

Правило отбора отражает закон сохранения импульса.

Серия лаймана (n, p --- 1S), n=2,3…

Серия Бальмира (nS --- 2p), (nd---2p), n=3,4

5.сферич. Симметрич. Случай. (1S сост)

(1/r2)( ∂/∂r)(r2∂ ψ /∂r) + (1/r2Sinθ)(Sinθ∂ ψ /∂θ) + ( 1/r2Sinθ)( ∂2 ψ /∂ φ 2) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

ψ (r,θ,φ)

∂ ψ /∂ θ = 0 ∂ ψ /∂ φ = 0

(1/r2)( ∂/∂r)(r2∂ ψ /∂r) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

(1/r2) 2r ( ∂ ψ /∂r) (1/r2) r2∂ 2ψ /∂r2 + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

∂ 2ψ /∂r2 + (2/r) ( ∂ ψ /∂r) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

ψ = e - ar

∂ ψ /∂r = - a ψ

∂ 2ψ /∂r2 = a2 ψ

a2 ψ – (2a ψ/r) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) ψ =0

a2 – (2a /r) + (2m /ħ2)(E + ke2/r) =0

(a2 + 2mE /ħ2) + (2/r)( kme2/ћ2 - a) =0

kme2/ћ2 - a =0

a = kme2/ћ2 a=1/r

ψ = e -2/r

a2 + 2mE /ħ2 =0

E= - ħ2a2/2m = - ħ2k2m2e4/2mћ4 = - k2m2e4/2ћ2