Нормальное поле и определение аномального потенциала (стр. 3 )

g - среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке z. Определим значения Uр и Upg.. Нормальный потенциал в любой точке равен разности действительного и аномального потенциалов, поэтому

Up=Wp-Tp , (3.5)

а в точке Рg на основании тождества (3.1)

U pg = Wp-( Wо - Uо). (3.6)

Таким образом, разность нормальных потенциалов в точках Рg и Р

U pg - Up = Тр – (Wо- Uо) (3.7)

зависит как от аномального потенциала в точке Р, так и от разности действительного потенциала на уровне моря и нормального потенциала на уровенном эллипсоиде. Подставив (3.7) в (3.4), находим для аномалии высоты

. (3.8)

Эта формула устанавливает зависимость между аномалией высоты и аномальным потенциалом в одной и той же точке земной поверхности. Ее называют обобщенной формулой Брунса.

Сравним аномалию высоты (3.8) и чистую аномалию высоты (2.2). В формуле для аномалии высоты по сравнению с (2.2) появился дополнительный член, содержащий разность (Wо - Uо) потенциала на уровне моря и на уровенном эллипсоиде. Следовательно, чистая аномалия высоты zс зависит только от аномального потенциала, а аномалия z кроме того от выбора начала Wо счета геопотенциального числа и потенциала Uо на уровенном эллипсоиде.

Рассмотрим формулы (3.5) и (3.6). Согласно ним в точке Р физической поверхности Земли нормальный потенциал отличается от действительного в этой же точке на величину аномального потенциала Тр, а в точке Рg нормальный потенциал отличается от действительного потенциала в точке Р физической поверхности Земли на величину разности Wo - Uо потенциалов на уровне моря и отсчетном эллипсоиде. Согласно тождеству (3.1) разность действительного потенциала WР и нормального потенциала UРg постоянна во всех точках и равна разности Wо - Uо потенциалов на уровне моря и эллипсоиде.

Если потенциал на уровенном эллипсоиде равен потенциалу на уровне моря, Wо= Uо, то разность нормальных потенциалов в точках Р и Рg равна аномальному потенциалу Тр, и аномалия высоты становится чистой, а нормальная высота будет высотой над эллипсоидом такой точки, в которой действительный потенциал равен нормальному.

Получим формулу для нормальной высоты Нg. Подставим в (1.70) разность (3.1) нормальных потенциалов точек Р1 и Рg

, (3.9)

gт – среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке Р1Рg. Если использовать полученное в предыдущей части курса выражение геопотенциального числа

, (3.10)

для нормальной высоты получаем

. (3.11)

В (3.10)-(3.11) интегрирование выполняется вдоль нивелирного хода ОР от исходного футштока О на уровне моря до точки Р поверхности Земли, g –сила тяжести вдоль нивелирной линии, а значение gт нормальной силы тяжести относится к середине отрезка Р1Рg (рис.3.1).

Нормальная высота (3.11) определяется по результатам измерений, и ее считают измеренной величиной. После ее введения в натуральной системе координат вместо разности потенциалов (геопотенциального числа) можно использовать нормальную высоту. Таким образом, в начальном приближении, используя в качестве потенциала Земли нормальный потенциал, определяют измеряемые координаты j,l,Нg точек поверхности Земли. Причем в теории Молоденского предполагается, что измерения выполнены в каждой точке поверхности Земли и ошибки измерений отсутствуют.

Если в каждой точке уровенного эллипсоида отложить по нормали к его поверхности нормальную высоту, получится поверхность (геометрическое место точек Рg), которую называют поверхностью Земли первого приближения (рис.3.3). Для этой поверхности используют также названия теллуроид и гипсометрическая поверхность.

Рg

Нg

 

Гипсометрическая

поверхность S

 

Рис.3.3. Гипсометрическая поверхность

Поверхность Земли первого приближения в общем повторяет рельеф действительной Земли и отстоит от нее на величину аномалии высоты.

§ 3.3. СВЯЗЬ АНОМАЛИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С АНОМАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

(КРАЕВОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА)

После определения поверхности S Земли первого приближения сформулируем задачу определения поверхности и внешнего гравитационного поля. Определение поверхности Земли практически означает определение всех точек этой поверхности в единой системе координат. Итак, во всех точках поверхности S реальной Земли измерены астрономические координаты j, l нормальная высота Нg и сила тяжести g. Известна угловая скорость w вращения Земли. Известен также нормальный потенциал U. Определить координаты точек поверхности и внешний потенциал.

Для определения потенциала W реальной Земли нужно определить аномальный потенциал Т. В §2.3 установлено, что для нахождения координат точек относительно эллипсоида нужно знать составляющие x, h гравиметрического уклонения отвеса (формулы 2.10-2.11), которые в свою очередь согласно (2.5) определяются через аномальный потенциал. Для перехода от нормальной высоты к геодезической нужно найти аномалию высоты z (формула 3.3), которая также связана с аномальным потенциалом (формула 3.8).

Таким образом, задача определения и физической поверхности и гравитационного поля Земли сводится к определению аномального потенциала.

Аномальный потенциал Т находят из решения так называемой краевой задачи теории потенциала, смысл которой можно пояснить следующим образом. Если ось вращения и угловая скорость вращения действительной и нормальной Земли совпадают, центробежный потенциал, центробежный потенциал будет исключен из разности W-U, и аномальный потенциал вне Земли будет относиться к классу гармонических функций. Эти функции обладают замечательным свойством: они не имеют экстремальных значений внутри области своего существования. Поэтому их можно найти по тем значениям, которые они принимают на границе области своего существования. Значит, аномальный потенциал вне Земли можно найти как гармоническую функцию, используя те условия, которым он подчиняется на границе области его определения, т. е. на поверхности Земли. Такими краевыми условиями могут быть любые формулы, связывающие аномальный потенциал с измеряемыми на Земле величинами. Так, например, в качестве краевых условий можно использовать формулы (2.5) связи аномального потенциала с уклонениями отвеса, формулы (2.2) и (3.8), связывающие аномальный потенциал с аномалиями высоты или формулу (2.7) чистой аномалии силы тяжести. Однако в классическом методе определения поверхности и поля Земли ни одна из величин, входящих в эти формулы, неизвестна; уклонения отвеса и аномалия высоты непосредственно не измеряют, а для вычисления чистой аномалии (2.7) силы тяжести нужно знать геодезическую высоту.

Установим связь аномального потенциала с измеренной на Земле силой тяжести g. Поскольку ось z в формуле (2.7) совпадает с направлением нормальной силы тяжести и противоположна направлению счета высоты, напишем ее в виде

, (3.12)

gр и gр – значения действительной и нормальной силы тяжести в точке Р поверхности Земли соответственно (рис.3.2.). Для вычисления нормальной силы тяжести в точке Р над уровенным эллипсоидом служат формулы (1.57) или (1.58), в которые входит высота этой точки. Используем (1.58) и напишем

g р =-g о+. (3.13)

Поскольку поверхность Земли еще не определена и высот Н неизвестна, силу тяжести gр вычислить невозможно. Заменим в (3.13) геодезическую высоту суммой нормальной высоты и аномалии высоты согласно (3.3)

g р =-g о+. (3.14)

Нормальная высота над эллипсоидом точки Р известна и поэтому можно вычислить нормальную силу тяжести в точке Рg теллуроида:

g рg =-g о+ ,

а нормальную силу тяжести силу в точке Р поверхности Земли представить следующим образом

g р=-gрg +. (3.15)

Но аномалия высоты согласно (3.8) связана с аномальным потенциалом, поэтому

gр =-gрg +. (3.16)

Здесь ни Т, ни Wo - Uo неизвестны. Подставив в (3.12) последнее равенство, получаем

. (3.17)

В (3.17) в левую часть перенесен член, содержащий неизвестный потенциал Т. Все величины, входящие в (3.17), кроме нормальной силы тяжести gрg, относятся к точке Р физической поверхности Земли (рис.3.2); нормальная сила тяжести gрg относится к точке Рg поверхности Земли первого приближения.

Разность

Dg= gр-g рg (3.18)

действительной силы тяжести gр в точке Р и нормальной силы тяжести g рg в точке Рgназывают смешанной аномалией силы тяжести. Используя зависимость (3.15), для смешанной аномалии получаем

Dg= gр-g р +. (3.19)

Эта формула связывает смешанные Dg и чистые (gр-g р) аномалии силы тяжести. Они отличаются на величину изменения нормальной силы тяжести при перемещении от точки Рg к точке Р.

Уравнение (3.17) связывает аномальный потенциал на поверхности Земли с определяемой по измерениям смешанной аномалией силы тяжести. Оно является краевым условием для определения аномального потенциала в классической задаче Молоденского.

§ 3.4. КРАЕВОЕ УСЛОВИЕ В НУЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Полученное в предыдущем параграфе краевое условие (3.17) относится к неизвестной физической поверхности Земли, а производная аномального потенциала по высоте Н является производной по наклонному к поверхности Земли направлению, так как высоты отсчитывают по нормали к поверхности эллипсоида, а не по нормали к физической поверхности Земли. Это затрудняет решение задачи с условием (3.17). Однако, поскольку аномальный потенциал по определению является малой величиной, можно при решении задачи сделать ряд упрощающих предположений.

Во-первых будем решать задачу с точностью порядка сжатия Земли. В сферическом приближении согласно (1.59) вертикальный градиент нормальной силы тяжести имеет вид

,

а направление радиуса-вектора r совпадает с направлением высоты Н, поэтому вместо (3.17) можно написать

. (3.20)

Отвлечемся теперь от физического смысла условия (3.20) и будем рассматривать задачу определения потенциала Т как чисто математическую задачу нахождения гармонической функции, удовлетворяющей условию (3.20) на неизвестной поверхности S. Возьмем вместо этой неизвестной поверхности близкую к ней известную поверхность S. Такая замена не может заметно повлиять на искомое решение вследствие близости поверхностей S и S. После этой замены краевое условие запишем так

. (3.21)

Так как сжатие Земли не учитывается, краевая поверхность S в (3.это поверхность, получившаяся в результате откладывания от сферы радиуса Ro нормальных высот Нg(рис.3.4).

Решение задачи с условием (3.21) осложнено тем обстоятельством, что в него входит производная искомой функции Т по направлению радиуса-вектора r, а не по нормали п к краевой поверхности S (рис.3.4). Эти направления могут существенно различаться в тех частях поверхности S, где нормальные высоты быстро изменяются и краевая поверхность

п

Нg r

S

Рис.3.4. Краевая поверхность в сферическом приближении

имеет значительные наклоны относительно радиуса-вектора. В нулевом приближении краевую поверхность сглаживают, полагая нормальную высоту постоянной и равной высоте Нgр в той точке, где определяется функция Т

Нg = Нgр .

Тогда радиусы векторы всех точек краевой поверхности будут одинаковы

r=Ro+Hgр,

а краевая поверхность станет сферой s радиуса R = Ro+Hgр (рис.3.5)

Р

Нgp r п

Dgo

 

s

Рис.3.5. Краевая поверхность в нулевом приближении

Теперь для краевой поверхности направление радиуса-вектора и нормали к ней совпадают, а краевое условие принимает вид

, (3.22)

или, если обозначить правую часть через Dgо,

. (3.23)

Это и есть краевое условие в нулевом приближении. Оно отличается от точного краевого условия тем, что в нем не учтено сжатие Земли и наклоны физической поверхности.

§ 3.5. ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

В НУЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Решением краевой задачи для сферы с условием (3.23) служит формула

. (3.24)

Если ввести в нее выражение Dgo,

Dgo=Dg-, (3.25)

она примет вид

Т=2(Wo-Uo)+ . (3.26)

Как видим, для получения потенциала Т нужно помимо аномалий силы тяжести Dg нужно знать постоянную разность Wo-Uo потенциалов на уровне моря и отсчетном эллипсоиде. Если эту разность не учитывать, формулы (3.24) и (3.26) получают вид

. (3.27)

Выражения (3.24) и (3.27) называют формулой Стокса. Формула (3.27) получена Стоксом в 1849г., а в форме (3.24) формула Стокса предложена ().

Как уже отмечалось в § 3.1, формула Стокса приближенно определяет аномальный потенциал в точках физической поверхности Земли по смешанным аномалиям силы тяжести Dg. Формулы (3.24) и (3.27) были бы точными, если бы гипсометрическая поверхность совпала с уровенной поверхностью нормального поля, а физическая поверхность с уровенной поверхностью W=Wр (рис.3.1), сжатие обеих поверхностей отсутствовало и аномалии Dg были бы известны во всех точках поверхности W=Wр.

Для вычисления потенциала Т аномалии Dg должны быть известны во всех точках сферы s, по которой ведется интегрирование, т. е. во всех точках поверхности Земли. В формулах (3.24) и (3.27) стоящая под знаком интеграла функция S(y) углового расстояния y между фиксированной точкой Р, в которой вычисляют потенциал Т и текущей точкой, в которой должна быть известна аномалия силы тяжести Dg (см. рис.3.5), называется функцией Стокса. Функция Стокса имеет вид

(3.28)

На практике с помощью в формулы (3.27) часто оценивают влияние только аномалий Dg силы тяжести в ближайших окрестностях вычислительной точки Р. В этом случае сферу интегрирования заменяют плоскостью, а угловое расстояние y - линейным расстоянием r(рис.3.5). Краевое условие (3.22)-(3.23) для плоскости, когда радиус отсчетной сферы неограниченно возрастает, принимает вид

,

или, если написать смешанную аномалию силы тяжести в развернутом виде (3.18),

. (3.29)

В двух последних равенствах вместо переменного радиуса вектора r использована переменная z – высота над отсчетной плоскостью z=0, к которой относится краевое условие (3.29).

Напишем решение краевой задачи для плоскости с условием (3.29). Свяжем линейное и угловое расстояния с помощью рис. 3.6, согласно которому

 

r/2

 

y/2 R

Рис.3.6. Связь углового и линейного расстояний

, . (3.30)

Для малых значений y и r, при которых Землю можно считать плоской, функцию Стокса можно написать в виде

. (3.31)

Подставив в (3.27) это выражение функции Стокса, получим формулу Стокса для плоской отсчетной поверхности

. (3.32)

В этой формуле s -плоскость z= 0. Выразим элемент плоскости в полярных координатах r, А; А – азимут направления из фиксированной вычислительной точки в текущую (рис.3.7).

N

север

ds

А dА dr

r

Рис.3.7. Полярные координаты на плоскости и

элемент поверхности

Согласно рис 3.7

ds=rdrdA, (3.33)

и формула Стокса для плоской Земли принимает вид

, (3.34)

rк- радиус области, в которой выполняется интегрирование.

§ 3.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ И СОСТАВЛЯЮЩИХ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА

ДЛЯ ПЛОСКОЙ ОТСЧЕТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

После нахождения аномального потенциала аномалию высоты и составляющие уклонения отвеса получают по формулам (3.8) и (2.5). Подставив в (3.8) потенциал (3.26), найдем

(3.35)

Для плоской Земли, используя потенциал в форме (3.34), получим

(3.36)

Обратим внимание на формулы (3.29), (3.32) и (3.36). В краевое условие (3.29) разность Wo-Uo не входит, поэтому ее нет и в решении (3.32). Однако аномалия высоты, согласно (3.8), содержит разность потенциалов на уровне моря и уровенном эллипсоиде. Поэтому разность Wo-Uo появилась в выражении (3.36) для аномалии высоты. Если же положить потенциал на уровне моря равным потенциалу на отсчетном эллипсоиде, т. е. считать Wo-Uo=0, то для плоской Земли получим

. (3.37)

Формулы (3.35)-(3.37) также называют формулами Стокса, поскольку в них входит тот же интеграл, что и в формулы для аномального потенциала.

Формулы для составляющих уклонений отвеса получим только для плоской отсчетной поверхности. Согласно (2.5) для их нахождения нужно дифференцировать выражение (3.33) для потенциала Т по направлениям х и у, причем ось х направлена вдоль меридиана на север, А ось у на восток. Но в формулу (3.32) переменные х и у в явном виде не входят. Напишем поэтому согласно рис.3.8. зависимости между полярными r,А и прямоугольными х и у координатами

r2=Dх2+Dу2, Dх= rсоsА, Dу= rsinА, Dх=хi-хр, Dу=уi-ур. (3.38)

В формулах (2.5) дифференцирование выполняется по координатам фиксированной точки Р, поэтому

, .

х

Dу Рi(хi,уi)

Dх

А r

 

Р(хр, ур)

у

Рис.3.8. Связь плоских прямоугольных и полярных координат на плоскости z=0; ось z

перпендикулярна плоскости чертежа

Но согласно (3.38) , поэтому для составляющих уклонения отвеса находим

. (3.39)

Эти формулы называются формулами Венинг-Мейнеса().

Формулы (3.39) имеют особенность: расстояние r обращается в нуль если текущая точка Рi, к которой относится аномалия силы тяжести Dg, совпадает с фиксированной точкой Р, в которой вычисляют уклонения отвеса. Это означает, что подинтегральное выражение неограниченно возрастает. Эту особенность формул (3.39) обязательно учитывают при разработке методики вычисления уклонения отвеса.

§ 3.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СПУТНИКОВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Рассмотрим теперь принципы определения внешнего гравитационного поля Земли с использованием спутниковых наблюдений. Исходными измеренными величинами в этом случае являются прямоугольные пространственные координаты Х,У,Z в общеземной (геоцентрической) системе и сила тяжести g на поверхности Земли. Иными словами, известны поверхность S Земли и сила тяжести; подлежит определению потенциал W на поверхности Земли и во внешнем пространстве.

Решение этой задачи также ищут с использованием нормального поля. После введения отсчетного уровенного эллипсоида по координатам Х,У,Z находят геодезические координаты В, L, Н относительно выбранного эллипсоида. Их можно считать измеренными известными величинами. Поэтому в любой точке Р поверхности Земли можно вычислить нормальный потенциал Uр, нормальную силу тяжести gp и чистую аномалию силы тяжести gp-gp. А для получения действительного потенциала в точке поверхности Земли нужно найти аномальный потенциал Тр и вычислить сумму (1.1)

Wр = Uр + Тр. (3.40)

Таким образом, и в этом случае задача сводится к определению аномального потенциала. Причем краевым условием теперь будет равенство (3.12), поскольку геодезическая высота и широта точки Р известны и значение gp можно вычислить.

Задача определения аномального потенциала в этом случае также решается приближениями. В нулевом приближении опять считают уровенную поверхность нормального поля сферической, а физическую поверхность Земли – уровенной. Тогда в нулевом приближении краевое условие (3.12) примет вид

, (3.41)

а решением краевой задачи для сферы s радиуса R с этим краевым условием является интегральная формула

; (3.42)

U(y) называют иногда функцией Неймана() (не путать функцию U(y) с нормальным потенциалом U!). В явном виде функция U(y) выглядит так

U(y)=. (3.43)

Согласно (2.2), зная аномальный потенциал, можно найти чистую аномалию высоты zс

. (3.44)

Как выяснено в §2.1, чистая аномалия высоты определяет расстояние между уровенными поверхностями нормального поля, разность потенциалов для которых равна аномальному потенциалу в точке Р поверхности Земли.

Напишем формулы для аномального потенциала и аномалии высоты для плоской отсчетной поверхности. Краевое условие (3.41) в этом случае примет вид

. (3.45)

Полагая снова y®0, для функции Неймана получаем

limU(y)=cosecy/2

y®0

и, переходя к линейному расстоянию r, находим

(3.46)

и для аномального потенциала получаем

(3.47)

Для плоской отсчетной поверхности функции S(y) Стокса и U(y) Неймана совпадают, поэтому формально совпадают и выражения (3.34) и (3.47) для аномального потенциала. Принципиальное отличие этих формул в том, что они являются решениями задач с разными краевыми условиями: формула (3.34) решает задачу с условием (3.29), в правой части которого стоит смешанная аномалия силы тяжести, а формула (3.47) задачу с условием (3.45), содержащем чистые аномалии силы тяжести. Более логичным являются краевое условие (3.45) и решение (3.47), потому что производная аномального потенциала по нормали к отсчетной уровенной поверхности является чистой аномалией силы тяжести, см.§2.2 и формулу (2.7). Результат (3.34) объясняется тем, что нормальные уровенные поверхности будут параллельными плоскостями только для однородного поля, в котором сила тяжести постоянна. В этом случае нормальная сила тяжести в точках Р и Рg будет одна и та же и чистая аномалия не будет отличаться от смешенной. Но свободный член в краевом условии (3.29) для плоскости оставлен точно таким же, как и для сферической Земли. Это и привело к внутренней противоречивости решения (3.34) и его отличию от решения (3.47).

Получим теперь чистую аномалию высоты, подставив в (2.2) выражение (3.47) для аномального потенциала

, (3.48)

индекс «с» в обозначении zс подчеркивает, что аномалия высоты zс получена с использованием спутниковых данных.

Сравним аномалию высоты (3.36), найденную по смешанным аномалиям силы тяжести, и чистую аномалию высоты zс. Их отличие вызвано двумя причинами. Во-первых они имеют разный физический смысл: аномалия высоты z определена как отрезок РgР (рис.3.9) между уровенными поверхностями нормального поля, разность потенциалов между которыми равна Тр-(Wo-Uo), а чистая аномалия zс – это расстояние между нормальными уровенными поверхностями, разность потенциалов между которыми равна аномальному потенциалу Тр. Это отличие выражает первый член формулы (3.36). Во-вторых, аномалия (3.36) вычислена по смешанным аномалиям силы тяжести, а аномалия (3.48) по чистым. Оценим приближенно влияние dz этого эффекта. Имеем

,

т. е. dz = .

Высоты точек Р и Рg над эллипсоидом отличаются на величину аномалии высоты, поэтому разность нормальных значений силы тяжести в этих точках равна 0.3086z и для dz находим

.

Формулы для плоской Земли всегда используют для учета влияния аномалий силы тяжести только в ближайших окрестностях вычислительной точки и поэтому радиус rk круга, по которому выполняется интегрирование в (3.36) и (3.48), не превышает нескольких километров. Положим поэтому аномалию высоты в пределах этого круга постоянной и равной ее среднему значению zср. Тогда

При zср=10м, rk=5км dz=15мм. Это сопоставимо с современной точностью вычисления аномалии высоты и при точных вычислениях следует учитывать отличие аномалии высоты и чистой аномалии высоты.

§ 3.8. НОРМАЛЬНАЯ ВЫСОТА ПО НАЗЕМНЫМ И ПО СПУТНИКОВЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ

Нормальные высоты, введенные в 1945г. как вспомогательные высоты, необходимые для приближенного определения физической поверхности Земли, стали в последующем одним из основных понятий геодезии и широко применяются в геодезической практике. Напомним, что согласно Молоденскому нормальной высотой является высота над эллипсоидом в нормальном поле такой точки, для которой разность нормального потенциала относительно эллипсоида равна геопотенциальному числу точки поверхности Земли. Нормальные высоты не зависят практически от выбора эллипсоида и определяются по измерениям, выполняемым на физической поверхности Земли. Однако они связаны с выбором начальной точки, от которой выполняется геометрическое нивелирование и ведется счет геопотенциальных чисел.

При использовании спутниковых измерений уже нет необходимости связывать начало счета нормальных высот с потенциалом на уровне моря. В этом случае нормальные высоты полностью определены выбором эллипсоида и потенциалом реальной Земли. В новых условиях нормальной высотой является высота над эллипсоидом той точки, в которой нормальный потенциал равен действительному. Поэтому для нахождения нормальной высоты в этом случае следует найти действительный потенциал в точке поверхности Земли. Для этой цели служит формула (3.40), причем нормальный потенциал Up можно считать известным, потому что нормальное поле задано, а координаты точки Р известны по спутниковым наблюдениям.

На рис. 3.9 показаны нормальные высоты, определяемые как по наземным, так и и по спутниковым данным. Разность этих высот равна расстоянию между уровенными поверхностями нормального поля, разность нормальных потенциалов между которыми равна Wo-Uo. Эта разность равна разности между аномалией высоты и чистой аномалией высоты и, таким образом, для связи нормальных высот можно написать

Нg - Нgс = .

При использовании спутниковых данных нормальные высоты полностью освобождены от использования геоида.

Ниже приведены основные формулы для нормальных высот в обоих вариантах используемых исходных измерений:

Наземные измерения: спутниковые измерения:

геометрическое нивелирование геодезические координаты

и сила тяжести и сила тяжести

 

Р U=Up

 

zс

U=Wp Рg1

Рg U= Wp-(Wо - Uо)

Нgс

Уровенные поверхности Нg

Нормального поля

U = Uо

Ро

Рис.3.9. Нормальная высота по наземным и по спутниковым измерениям

Использование спутниковых измерений позволяет получать нормальные высоты, не выполняя геометрического нивелирования. Препятствием этому является недостаточная точность спутниковых определений геодезической высоты и, особенно, гравиметрический определений аномалии высоты. В результате нормальная высота, найденная с использованием спутниковых данных, существенно уступает высоте, найденной из высокоточного нивелирования, которое является одним из наиболее точных видов геодезических работ.

Содержание

Стр.

Глава 1. Нормальное гравитационное поле 2

§1.1. Понятие о нормальном поле и способах его выбора

§1.2. Внешний потенциал притяжения уровенного эллипсоида

§1.3. Потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида. ..8

§1.4. Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида

§1.5. Нормальная сила тяжести во внешней точке. Кривизна силовой линии12

§ 1.6. Система координат в нормальном поле . 15

Глава 2. Аномальное поле. Аномалия высоты, уклонение отвеса и

аномалия силы тяжести . 19

§2.1.Аномальный потенциал и чистая аномалия высоты. 19

§2.2. Уклонение отвеса и чистая аномалия силы тяжести20

§2.3. Связь системы координат в нормальном поле с натуральной. 22

Глава 3. Определение аномального потенциала

§3.1. Задача Стокса и задача Молоденского . .. 25

§3.2. Нормальная высота и поверхность Земли первого приближения

§3.3. Связь аномалии силы тяжести с аномальным потенциалом

(краевое условие для аномального потенциала

§3.4. Краевое условие в нулевом приближении32

§3.5. Понятие об определении аномального потенциала

в нулевом приближении

§3.6. Определение аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса

для плоской отсчетной поверхности

§3.7. Определение аномального потенциала

с использованием спутниковых наблюдений

§3.8. Нормальная высота по наземным и по спутниковым измерениям