Нормальное поле и определение аномального потенциала (стр. 1 )

Л. В.ОГОРОДОВА

НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

текст лекций по геодезической гравиметрии

(весенний семестр)

для студентов специальности Прикладная геодезия

Москва 2005

ГЛАВА 1. НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

§1.1 ПОНЯТИЕ О НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ И СПОСОБАХ ЕГО ВЫБОРА

При изучении гравитационного поля Земли обычно используют фиктивное поле силы тяжести или притяжения, уровенные поверхности которых близки к уровенным поверхностям реального земного поля, но имеют более простую по сравнению с ними форму. Такое поле и описывающие его потенциал U силы тяжести или потенциал Vн притяжения называют нормальными. После введения нормального потенциала действительный потенциал W силы тяжести можно записать в виде

W=U+T, (1.1)

Т- аномальный или возмущающий потенциал.

Смысл введения нормального потенциала заключается в переходе от изучения потенциала W силы тяжести реальной Земли к изучению малой величины

Т = W – U. (1.2)

Введение нормального потенциала преследует две цели: в одном случае нормальное поле рассматривают как модель, приближенно представляющую реальное поле Земли; во втором нормальное поле используют как отсчетное, относительно которого находят аномальный потенциал. Т. е. в первом случае речь идет об использовании нормального поля вместо реального, а во втором - об определении отличия реального поля от нормального. В обоих случаях стараются выбирать нормальное поле так, чтобы аномальный потенциал был мал. Тогда в первом случае величиной Т просто пренебрегают, а во втором появляется возможность строить теорию ее определения в линейном приближении, не учитывая члены порядка квадрата аномального потенциала. В качестве нормального всегда стараются выбрать потенциал, который можно описать по возможности простыми аналитическими выражениями, с тем, чтобы в нормальном поле легко решались задачи геодезии, геофизики, небесной механики.

Таким образом, нормальный потенциал можно определить как потенциал достаточно простого вида, по возможности близкий к действительному

Существует несколько способов задания нормального потенциала. В одних используют понятие Нормальной Земли – модели Земли, обладающей теми или иными свойствами. Так, в геофизике задают поверхность и модель внутреннего строения нормальной Земли. Подобная модель впервые была введена А. Клеро(), который полагал, что Земля состоит из однородных жидких слоев и находится в состоянии гидростатического равновесия.

В топографии и инженерно-геодезических работах не очень высокой точности поле силы тяжести полагают однородным – все уровенные поверхности считают параллельными плоскостями, а силовые линии – параллельными прямыми. Это означает, что потенциал силы тяжести является линейной функцией

U=Uо - gh (1.3)

высоты h над исходной уровенной плоскостью U=Uо, а нормальная сила тяжести

(1.4)

постоянна по величине и направлению.

Еще один способ введения нормального поля основан на разложении потенциала притяжения в ряд шаровых функций, которое в сферических координатах r,F,L имеет вид

, (1.5)

r – радиус-вектор,F - геоцентрическая широта, L –долгота, Рпк(F) –присоединенная функция Лежандра первого рода степени n и порядка k. Нормальный потенциал получают, оставляя конечное число членов этого ряда. Так, оставляя только член нулевого порядка, т. е. полагая в (1.5) n=k =0, получают

A00=GM (1.6)

и

. (1.7)

Это означает, что за нормальную Землю принят шар с центрально-симметричным распределением плотности. Произведение GM постоянной тяготения G на массу М Земли называют геоцентрической гравитационной постоянной.

Обычно в ряде (1.5) оставляют только четные зональные члены, не зависящие от долготы. Тогда нормальный потенциал притяжения получит вид

(1.8)

и будет симметричен относительно оси Z вращения Земли и плоскости экватора. Коэффициент А2по этого ряда при п=0 совпадает с (1.6) и является геоцентрической гравитационной постоянной, при п=1

А2о= G(Am-C), (1.9)

Ат- средний экваториальный, С – полярный моменты инерции Земли соответственно.

Для получения нормального потенциала силы тяжести к (1.8) добавляют потенциал Q центробежной силы

(1.10)

и находят

U=Vн+Q (1.11)

или

. (1.12)

В геодезии обычно используют Нормальную Землю в виде идеальной планеты, имеющей форму эллипсоида вращения, причем эта поверхность является уровенной поверхностью ее потенциала силы тяжести, т. е. на поверхности эллипсоида выполняется условие

U= Uо , (1.13)

Uо - постоянная. Такой эллипсоид называют уровенным. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии потому, что в этом случае одна и та же поверхность является отсчетной при решении и геометрических и физических задач.

Особенно удобно объединение двух последних подходов к выбору нормального поля, когда потенциал уровенного эллипсоида представляют в виде ряда шаровых функций, а коэффициенты разложения (1.8) подбирают так, чтобы одна из уровенных поверхностей потенциала (1.12) силы тяжести была эллипсоидом вращения. Это позволяет построить непротиворечивую модель нормального поля, объединяющую геометрический и физический подходы к изучению Земли.

§1.2. ВНЕШНИЙ ПОТЕНЦИАЛ ПРИТЯЖЕНИЯ УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

Выберем Нормальную Землю в виде эллипсоида вращения

, (1.14)

на поверхности U=Uо, которого потенциал притяжения равен Vо, ao, bo – большая и малая полуоси соответственно. Зададим массу М этого эллипсоида и угловую скорость w его вращения. В теории потенциала доказано, что этих данных достаточно для определения внешнего гравитационного поля эллипсоида.

Центробежный потенциал Qо

Qо= , (1.15)

 

на поверхности эллипсоида изменяется в зависимости от расстояния Öхо2+уо2 до оси вращения, поэтому потенциал Vо притяжения на уровенном эллипсоиде не постоянен,

Vо =Uo-Qо= Uo- , (1.16)

хо, уо- координаты точки поверхности эллипсоида.

Потенциал эллипсоида удобно определять в специальной системе координат b, u, где b- малая полуось эллипсоида, софокусного эллипсоиду (1.14), u – приведенная широта (см. рис.1.1).В этой системе координат для потенциала притяжения уровенного эллипсоида получают замкнутое выражение

. (1.17)

Z

 

b

bо

u

 

О F

Рис.1.1. Система координат сжатого эллипсоида

Здесь Е – линейный эксцентриситет, равный отрезку ОF на рис.1.1, F- фокус эллипсоидов, функция q определена выражением

q= (1.18)

или

, (1.19)

qо – функция q при b=bо.

На поверхности эллипсоида при q= qо из (1.17) находим

(1.20)

Обратим внимание, что, согласно (1.17) и (1.20) потенциал притяжения зависит от угловой скорости вращения эллипсоида. Этот парадоксальный факт объясняется тем, что на поверхности эллипсоида (1.14) потенциал Uо силы тяжести должен быть постоянен, и изменение потенциала Qо (1.15) центробежной силы должно компенсироваться изменением потенциала Vо притяжения, как следует из условия (1.16).

Представим (1.17) в виде

. (1.21)

Используем ряд

= (1.22)

и разложение(1.19), согласно которому

(1.23)

и напишем

. (1.24)

Теперь преобразуем потенциал (1.8), записав в явном виде члены с п=0 и 1 и вынесем за скобки член нулевого порядка. Тогда

, (1.25)

где принято во внимание выражение полинома Лежандра второй степени

. (1.26)

Сопоставим потенциалы (1.24) и (1.25). Возьмем произвольную точку на оси Z вращения эллипсоида (рис.1.1). Для точек на оси вращения геоцентрическая широта F совпадает с приведенной широтой u, причем обе они равны p/2, а полуось b совпадает с радиусом-вектором r,

F= u= p/2Þ r=b (1.27)

Приравняв потенциалы (1.24) и (1.25) при условии (1.27), находим

. (1.28)

Равенство (1.28) будет выполняться, только если будут равны коэффициенты при одинаковых степенях b. Отсюда следует фундаментальное равенство, устанавливающее связь геометрических параметров эллипсоида с физическими параметрами (стоксовыми постоянными) Земли

 

(1.29)

Введем в (1.29) безразмерный эксцентриситет е. По определению Е=ае=const, поэтому для отсчетного эллипсоида Е=аоео и (1.29) получает вид

. (1.30)

Введем обозначения

, . (1.31)

С этими обозначениями напишем

 

; (1.32)

 

параметр J2 называют зональный гармонический коэффициент второй степени.

Выясним физический смысл параметров т и J2.Запишем параметр т в виде

(1.33)

Произведение w2ao – это центробежная сила на экваторе уровенного эллипсоида, а - сила притяжения массы М, находящейся в центре эллипсоида, также на его экваторе. Произведение Мао2 представляет собой момент инерции массы М относительно оси вращения эллипсоида. Это максимально возможное значение полярного момента инерции, которое было бы в том случае, если бы вся масса эллипсоида находилась на его экваторе, на расстоянии ао от оси вращения. Таким образом

т – отношение центробежной силы к силе притяжения на экваторе;

J2- отношение разности полярного и экваториального моментов инерции к максимальному моменту инерции.

Равенства (1.29) и (1.32) между геометрическими ао, Е, qо, е и физическими GM, G(C-Am), mJ2 параметрами уровенного эллипсоида точные. Часто используют приближенные соотношения между ними. Если в (1.23) не учитывать отличие между осями эллипсоида, можно принять с точностью порядка сжатия эллипсоида

(1.34)

тогда

ео2=3 J2+т, (1.35)

и для сжатия эллипсоида с учетом зависимости e2»2a

. (1.36)

Параметры, определяющие поле силы тяжести Нормальной Земли, называют фундаментальными геодезическими постоянными. Соотношения между фундаментальными постоянными и методами их определения рассматривают в курсе высшей геодезии.

Введем в (1.8) новые безразмерные коэффициенты J2п по правилу

. (1.37)

Потенциал притяжения примет вид

(1.38)

Этот ряд сходится очень быстро. Его коэффициенты

,

или (1.39)

зависят только от коэффициента J2 и эксцентриситета ео уровенного эллипсоида, убывают пропорционально eo2п-2 и уже для п=3 составляют около 10-6 J2 . Поэтому в ряде (1.38) обычно удерживают члены только до п=4.

§1.3. ПОТЕНЦИАЛ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

Так как потенциал U силы тяжести равен сумме потенциала V притяжения и потенциала Q центробежной силы, для его определения нужно добавить к (1.17) или (1.38) центробежный потенциал (1.10). Для получения потенциала силы тяжести в эллипсоидальной системе координат b, u выразим в этой системе центробежный потенциал

=. (1.40)

После этого, суммируя (1.17) и (1.40), получаем внешний потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида вращения

(1.41)

В этом выражении постоянными параметрами являются GM, ao, E,w, qo .Так как большая полуось и параметр qo определяются через постоянные Е и bо, для определения потенциала силы тяжести уровенного эллипсоида (Нормальной Земли) нужно знать постоянные GM, bo, E,w.

На поверхности эллипсоида, полагая в (1.41) b=bo, находим

. (1.42)

На любом другом эллипсоиде при b ≠ bo потенциал зависит от широты u. Это означает, что только одна уровенная поверхность U = Uo потенциала силы тяжести является эллипсоидом вращения.

Для нахождения потенциала силы тяжести в полярной сферической системе координат к потенциалу притяжения (1.38) нужно добавить центробежный потенциал(1.10), также выраженный в координатах r,F. После небольших преобразований потенциал силы тяжести будет выглядеть так

. (1.43)

Найдем выражение для потенциала Uо силы тяжести на поверхности эллипсоида. Так как в этом случае потенциал постоянен, для нахождения Uо достаточно вычислить потенциал (1.43) в любой точке эллипсоида. Если выбрать точку на экваторе, то r=aо,Ф=0 и

. (1.44)

Поскольку коэффициенты J2п зависят от J2 и ео, для нахождения потенциала на поверхности уровенного эллипсоида нужно знать постоянные GM, ао, J2, ео.

Таким образом, на поверхности уровенного эллипсоида (Нормальной Земли) потенциал силы тяжести можно найти или по замкнутой формуле (1.42), используя постоянные GM, E,bo,w, или с помощью ряда (1.44), зная GM, ао, J2, ео.

§1.4. СИЛА ТЯЖЕСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

Согласно определению потенциала, сила является производной потенциала. Чтобы найти силу тяжести gо на эллипсоиде, нужно получить производную потенциала U по нормали п к уровенной поверхности эллипсоида

. (1.45)

Знак «минус» в этой формуле означает, что дифференцирование потенциала выполняют по направлению внешней нормали, противоположному направлению силы тяжести.

В системе координат b, u, для силы тяжести можно написать

. (1.46)

После дифференцирования (1.41) можно найти выражение, определяющее нормальную силу тяжести в любой точке эллипсоида. Так как (1.41) содержит только независящие от широты и и поэтому постоянные на поверхности эллипсоида члены и член, содержащий sin2u, производная потенциала на поверхности эллипсоида также должна быть функцией такого же вида, и поэтому можно написать

= Во+ В2 sin2u,

В и Во постоянные, подлежащие определению. На основании двух последних равенств для силы тяжести gр на полюсе эллипсоида при u=p/2 имеем

,

а при u=0 gе=-, gе сила тяжести на экваторе эллипсоида (экваториальная постоянная).. С этим значением Во и выражением для gр находим В2= . Подставив полученные коэффициенты Во и В2 в выражение для производной потенциала и затем в формулу (1.46), после небольших преобразований для силы тяжести в произвольной точке эллипсоида с широтой и можно получить

.

Обычно выражают силу тяжести как функцию геодезической широты В, для чего используют известное из курса высшей геодезии соотношение между геодезической В и приведенной и широтами

tgB=Ö1-e2 tgu.

Тогда

. (1.47)

Формула (1.47) получена в 1929 г. итальянским геодезистом К. Сомильяна(). Ее часто записывают в виде

, (1.48)

. (1.49)

Введем в (1.47) сжатие a уровенного эллипсоида и коэффициент b, равный отношению разности силы тяжести на полюсе и экваторе к силе тяжести на экваторе

. (1.50)

Используя зависимости bо=aо(1-a), gр=gе (1+b), получим приближенную формулу

, (1.51)

где b1= . (1.52)

Формулы (1.47)-(1.48) и (1.51) называют формулами распределения нормальной силы тяжести или нормальными формулами. С точностью порядка сжатия формула (1.51) была известна уже Ньютону и Клеро. Член b1sin22B второго порядка относительно сжатия в нормальную формулу включил Гельмерт.

Из формул (1.47)-(1.48) и (1.51) следует, что на поверхности уровенного эллипсоида нормальная сила тяжести не постоянна и зависит от широты. Максимальное значение сила тяжести имеет на полюсе, где

gр =983,5гал. (1.53)

На экваторе сила тяжести минимальна

gе=978,03гал (1.54)

Увеличение силы тяжести на полюсе объясняется тем, что здесь центробежная сила равна нулю, а из-за сжатия точка на полюсе находится ближе к центру масс Земли по сравнению с точкой на экваторе, что вызывает увеличение силы притяжения. На экваторе центробежная сила максимальна и направлена прямо противоположно силе притяжения.

Изменение силы тяжести вызывает непараллельность уровенных поверхностей нормального поля. Напряженность поля выше на полюсе и здесь расстояние между уровенными поверхностями меньше, чем между этими же поверхностями на экваторе.

Представим согласно (1.45) разность dU потенциалов между эллипсоидом и близкой к нему уровенной поверхностью в виде

dU = -gо H,

H- расстояние между уровенными поверхностями. Дифференцируя при dU постоянном, найдем изменение dH этого расстояния при перемещении вдоль меридиана

dН= .

Используем для нахождения dgо формулу (1.51) и ограничимся только первыми двумя членами правой части

dgо = gеbsin2BdB. (1.55)

Полагая gо@gе, получим

dH=bHsin2BdB.

Найдем с помощью этой формулы разность Нр-Не высоты уровенной поверхности на полюсе и экваторе

Нр-Не = .

Для Н=100м Нр-Не =-0,53 м, т. е. уровенная поверхность, проходящая на экваторе на высоте 100 м над эллипсоидом, на полюсе находится на 53 см ниже.

Примем dB =dх/R, dх - расстояние между точками вдоль меридиана, R- средний радиус Земли, тогда

dН=(b /R) Нsin2Bdх.

На широте 45о при H=100м и dх= 10км dН=0,8мм. Непараллельность нормальных уровенных поверхностей ощутима при точных нивелировках.

От долготы нормальная сила тяжести не зависит, поэтому при перемещении вдоль параллели расстояние между уровенными поверхностями нормального поля не меняется.

§1.5. НОМАЛЬНАЯ СИЛА ТЯЖЕСТИ ВО ВНЕШНЕЙ ТОЧКЕ. КРИВИЗНА СИЛОВОЙ ЛИНИИ

Формулы (1.47)-(1.48) и (1.51) позволяют получить силу тяжести только на поверхности эллипсоида. Во внешнем пространстве силу тяжести можно найти, дифференцируя выражения (1.17) или (1.38) по нормали к внешней уровенной поверхности. Однако в этом случае уровенная поверхность не является эллипсоидальной и потенциал зависит от широты. Поэтому нормальную силу тяжести вне эллипсоида следует находить из выражения

, (1.56)

h1 и h2 коэффициенты.

Для вычисления нормальной силы тяжести на физической поверхности Земли, вблизи эллипсоида, удобнее использовать ряд Тейлора

, (1.57)

Н – высота точки над эллипсоидом, производные относятся к поверхности эллипсоида. Если ограничиться только первыми членами ряда, для внешней силы тяжести можно написать

. (1.58)

Производную называют вертикальным градиентом нормальной силы тяжести.

Оценим приближенное значение вертикального градиента, приняв за нормальную силу тяжести силу притяжения сферической Земли

.

Для Земли сферической направление высоты Н совпадает с направлением радиуса-вектора r, поэтому для вертикального градиента можно написать

. (1.59)

Вертикальный градиент зависит от расстояния r до центра Земли. На поверхности Земли для средних значений g= 980 гал, r= 6371 км =0,308 мгл/м.

Найдем точное значение градиента на поверхности эллипсоида. Используем прямоугольную топоцентрическую систему координат x, y,z. Если направить ось z по касательной к силовой линии нормального поля, противоположно высоте Н, то вертикальный градиент будет второй производной нормального потенциала

Нормальный потенциал вне эллипсоида удовлетворяет дифференциальному уравнению

, (1.60)

из которого получим

.

Вторые производные потенциала в горизонтальных направлениях связаны с кривизной уровенной поверхности. Если ось х направлена по касательной к меридиану на север, а ось у по касательной к параллели на восток, то

,

M и N – радиусы кривизны меридиана и первого вертикала соответственно. Используя эту формулу, получаем для вертикального градиента силы тяжести на поверхности эллипсоида

. (1.61)

Радиусы кривизны меридиана и первого вертикала определены формулами, известными из курса высшей геодезии

, (1.62)

Оценим величину члена 2w2. Приняв w = 7,292*10-5с-1, получим 2w2=10,6*10-9с-2 или 10,6 Е (Е – этвеш – единица измерения вторых производных потенциала; 1Е=10-9с-2 =1мгл/10км).

Нормальная сила тяжести gо и радиусы кривизны M, N на поверхности эллипсоида изменяются с широтой, поэтому вертикальный градиент также зависит от широты, изменяясь от 3084Е на полюсе до 3088Е на экваторе. Сила тяжести на полюсе медленнее убывает с высотой, чем на экваторе, где, помимо убывания силы притяжения, возрастает пропорционально высоте центробежная сила. Вследствие этого с возрастанием высоты растет разность расстояния между двумя близкими уровенными поверхностями на полюсе и экваторе и сжатие нормальной уровенной поверхности увеличивается. Уровенные поверхности вблизи Нормальной Земли изображены на рис.1.2.

 

Силовые линии нормального поля

 

Уровенные поверхности

 

Рис.1.2. Силовые линии и уровенные поверхности нормального поля вблизи Земли

Уровенные поверхности силовые линии

Приближенно для средних значений силы тяжести и радиусов кривизны

@ -0,3086мгл/м =-3086 Е. (1.63)

Таким образом, нормальную силу тяжести на высоте Н над эллипсоидом можно найти по формуле

g=go-0,3086 Н. (1.64)

Здесь высота выражена в метрах, сила тяжести в миллигалах. Формула обеспечивает вычисление нормальной силы тяжести с точностью выше 0.1 мгл для высот, меньших 1 км. При более точных вычислениях следует в ряде (1.57) удерживать член, содержащий Н2, и учитывать зависимость градиента (1.63) от широты. На значительных расстояниях от эллипсоида нормальную силу тяжести нужно находить с использованием(1.56).

Для определения кривизны силовой линии нормального поля воспользуемся формулой (1.10). Нормальный потенциал и нормальная сила тяжести не зависят от долготы, поэтому нормальная силовая линия – это плоская кривая, лежащая в плоскости меридиана, и ее кривизна определяется выражением

(1.65)

Полагая g @ gе, получим

Силовые линии нормального поля обращены вогнутостью к оси вращения эллипсоида. Наибольшую кривизну они имеют на широте 45о (рис.1.2)

§ 1.6. СИСТЕМА КООРДИНАТ В НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ

Силовые линии и уровенные поверхности нормального поля можно использовать в качестве координатных линий и поверхностей, аналогично тому, как это было сделано в натуральной системе координат j, l, Wo - W. Назовем координатами точки в нормальном поле нормальную широту Вg, долготу L и нормальное геопотенциальное число Uо-U. Дадим определение этих понятий:

нормальная широта Вg – угол между направлением нормальной силы тяжести и плоскостью экватора;

долгота L - угол между плоскостью начального меридиана и меридиана данной точки; поскольку нормальная силовая линия лежит в плоскости геодезического меридиана, долгота в нормальном поле совпадает с геодезической;

нормальное геопотенциальное число Uо-U -разность нормальных потенциалов между эллипсоидом и данной точкой.

Наряду с геопотенциальным числом в качестве третьей координаты можно использовать высоту в нормальном поле– отрезок нормальной силовой линии от точки Р1 пересечения силовой линии с поверхностью уровенного эллипсоида до точки Р.

Высота и широта в нормальном поле и геодезические широта и высота показаны на рис.1.3. Из-за кривизны нормальной силовой линии широта и высота в нормальном поле отличаются от геодезических. Сравним эти координаты.

Обратимся к рис 1.3. Нормальная широта как внешний угол треугольника Ррр2 равна сумме геодезической широты и угла e между нормалью РРо к эллипсоиду и отвесной линией Рр2. Оценим угол e. Будем считать отрезок Р1Р =НН силовой линии от эллипсоида до точки Р дугой окружности радиуса 1/К. Проведем касательную р1р1¢ к этой окружности в точке Р1 пересечения силовой линии с эллипсоидом; эта касательная является нормалью

о 1/К

e Р

Н e р1¢

НН

Ро Р1