Элементы вторичного квантования

Элементы вторичного квантования

Идеальным газом мы называем систему из N частиц с гамильтонианом

(1) ,

собственные функции которого можно построить из одночастичных.

(2)

Одночастичные функции образуют полный набор , из которого строятся многочастичные волновые функции. Для бозе-частиц они должны представлять собой симметризованную по перестановкам координат частиц сумму.

(3)

В сумме (3) в явном виде выписано только первое слагаемое, остальные N!-1 слагаемые отличаются перестановками координат частиц. В него входят сомножителей, составленных из одинаковых одночастичных функций , перестановки аргументов которых не изменяют вида этого слагаемого. Количество таких слагаемых с одним и тем же расположением других сомножителей !. Все эти слова в полной мере относятся к любой из других групп сомножителей, относящихся к одночастичным функциям других одночастичных состояний, поэтому общее число одинаковых слагаемых в сумме (3) составят . Набор чисел однозначно задает многочастичную функцию (3), а сами называются числами заполнения одночастичных состояний. При этом суммы по одночастичным состояниям для многочастичной волновой функции (3) должны давать:

(4) и ,

поскольку прямая подстановка (3) в (1) приводит к соотношению:

(5)

Сама волновая функция для собственных чисел (4) должна быть нормирована так, что:

(6) ,

при этом соотношения ортогональности для функций (6) запишутся, как:

(7)

Соотношения (5) можно записать с помощью специального оператора , действующего на чисел заполнения, как .

В пространстве волновых функций можно допустить более общее состояние с переменным числом частиц:

(8)

которое может быть полезно при работе с системами, образующими большой канонический ансамбль (БКА) или с системами, где среднее число частиц задается температурой (фононы, фотоны,.., где µ=0). В таком пространстве необходимы операторы, меняющие числа заполнения. Это неэрмитовский оператор уничтожения и сопряженный ему оператор рождения частиц, которые вводятся соотношениями:

(9)

Из (9) следуют коммутационные соотношения для бозе-операторов.

(10) , ,

Аналогичные соотношения можно получить и для ферми-частиц с той лишь разницей, что вместо формул (9) для них справедливы формулы:

(11) ,

поэтому вместо (10) получаются соотношения антикоммутации ферми-операторов.

(12)

Все остальные операторы могут быть построены из и . Так, например:

(15) , , .

Эти формулы достаточно очевидны. Для произвольных одночастичных и двухчастичных операторов, заданных в обычном представлении. как

(16) и

дадим сначала результативно вид операторов в представлении вторичного квантования ( выраженных через и ):

(17) , где и

(18) , где

(19)

Операторы полного числа частиц и энергии идеального газа диагональны в таком представлении и имеют вид (15).

Для доказательства соотношений (17)-(19) необходимо показать, что матричные элементы по набору функций (6) от операторов в форме (16) и в представлении (17)-(19) дают одинаковый результат. В случае одночастичных операторов это означает:

(20)

Правая часть (20) легко преобразуется к виду:

(21)

Удобно и, возможно, для этого есть более глубокие причины, ввести операторы

(23) ,

тогда соотношения (17)-(19) можно записать в виде, напоминающем матричные элементы в обычной квантовой механике.

(25)

Следует отметить, что формулы (25) справедливы как для бозе – частиц, так и для частиц, подчиняющихся статистике Ферми - Дирака.

Для состояний с фиксированным числом частиц N ведём довольно естественное обозначение:

(22)

При этом для вакуумного состояния можно доказать соотношение:

(23) .

Его можно переписать в виде, дающем явное выражение для координатного представления волновой функции N частиц через полевые операторы и волновую функцию в представлении чисел заполнения.

(24)

В левой стороне (например, согласно(3)) стоит полностью симметризованная (или антисимметризованная) функция, в правой части выражение обладает тем же свойством из-за перестановочных соотношений для полевых операторов

(25)

и состоит из суммы произведений тех же функций, что и в (3) , поскольку:

(26)

После N – кратного применения полевого оператора останутся только слагаемые, для которых выполнено условие и та же структура, как и в сумме (3), а общий векторный множитель - волновая функция . Остаётся только проверить, что числовой коэффициент в (23) стоит правильный. Для этого вычислим квадрат модуля волновой функции (23), проинтегрированный по всем координатам. Согласно (6) интеграл в правой части равен 1.

(27)

Левую сторону можно преобразовать, пользуясь соотношениями:

(28)

Начиная с операторов для перенесем через все полевые операторы уничтожения направо.

(29)

Повторив, эту процедуру N раз получим проверку правильности коэффициента в (23).

Запишем теперь матричный элемент операторов в координатном представлении и домножим его но 1, представленную в виде для того чтобы получить согласие с соотношением (23), используемым для записи правой части следующего ниже равенства.

Для одночастичных операторов :

(30)

Порядок аргументов в формуле (30) не имеет значения, поэтому можно поставить на последнее N-ое место, а результат умножить на N. По всем остальным аргументам можно последовательно провести интегрирование по , образовать и снова переставить на последнее место. Повторить эту процедуру N-1 раз, подобно тому, как это делалось при доказательстве (23)-(29). При этом к множителю N получится ещё дополнительный . В результате получаем:

(32)

Формально можно написать из (32):

(33) где ,

однако формула (33) имеет более общий смысл, чем (32), поскольку не предполагает сохранения числа частиц и не ограничивается только пространством функций и распространяется на все функции . Мы проверили только, что (33) не противоречит формулам изученной ранее квантовой механики, которая оперирует с фиксированным числом частиц и допускает наглядное - представление.

Для двух - частичных операторов можно получить аналогичную формулу.

(34).

(35) ,

где

Р. Фейнман предложил изображать операторы в представлении вторичного квантования в виде диаграмм.

l l` l=P1 l```=P`1

.

l`=P2 l``=P`2

Стрелка, входящая в узел, соответствует опеатору уничтожения, а выходящая из узла - оператору рожнения частицы. Штриховая линия состветствует матричному элементу. По всем квантовым числам, относящимся к узлу диаграммы должна браться сумма. Если в качестве одночастичных функций взять плоские волны , то диаграмма для двухчастичного взаимодействия будет отлична от нуля только при выполнении условия , поскольку:

(22) .

Итак, согласно записанных нами формул для операторов в представлении вторичного квантования, гамильтониана взаимодействующих частиц

(26)

Такой гамильтониан допускает переменное число частиц в рассматриваемой системе, поэтому более подходящим для такого случая будет форма гамильтониана вида:

(27)

При таком гамильтониане не требуется задавать число частиц в системе, среднее число которых диктуется химическим потенциалом термостата, с которым контактирует система. Поэтому штрихованный гамильтониан вполне подходит для описания систем Большого канонического ансамбля.

В заключение заметим, что для равновесного состояния идеального гоза имеем:

(28) ,

где верхний знак соответствует статистике Бозе - Эйнштейна, а нижний статистики Ферми – Дирака.