Процессы и аппараты химической технологии. Гидромеханические процессы (стр. 2 )

Таким образом, получаем:

или после сокращения на :

(1.21)

Система уравнений (1.21) представляет собой дифференциальные уравнения движения Эйлера для установившегося потока идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли

Решение уравнений Эйлера (1.21) для установившегося потока идеальной жидкости приводит к широко используемому уравнению гидродинамики: уравнению Бернулли, которое представляет собой частный случай закона сохранения энергии. При движении жидкости по трубопроводу без дополнительного подвода энергии или ее отвода удельная энергия жидкости, по закону сохранения энергии, остается неизменной. Согласно уравнению Бернулли, для установившегося потока идеальной капельной жидкости сумма удельных энергий положения (z), давления () и удельной кинетической энергии () одинакова для любого поперечного сечения потока:

(1.22)

Уравнение (1.22) представляет собой уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

В частности для сечений 1-1 и 2-2:

.

(1.23)

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли (1.22) выражается в метрах столба движущейся жидкости и называется, соответственно, геометрическим, пьезометрическим и скоростным (динамическим) напорами. Так

.

Сумма называется гидродинамическим напором. Согласно уравнению Бернулли, для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости величина гидродинамического напора остаётся постоянной.

На рис.1.4 показано, что с помощью пьезометрической трубки энергия давления (напор) может быть измерена. Она равна высоте, на которую под действием давления поднимется жидкость ; Аналогично можно измерить геометрический и скоростной напоры. Для горизонтального трубопровода (рис. 1.4) при проведении плоскости сравнения по оси потока (z=0) уравнение Бернулли примет вид:

.

Рис.1.4 К выводу уравнения Бернулли для горизонтального потока:

1 - трубопровод; 2 – пьезометрическая трубка; 3 – трубка для измерения суммарного напора (статического и скоростного)

Реальная жидкость обладает вязкостью. Поэтому в правую часть уравнения Бернулли (1.23) вводится дополнительное слагаемое , учитывающее потерю энергии (напора), на преодоление гидравлического сопротивления между сечениями. Тем самым сохраняется равенство (баланс) напоров (или энергий) в любом сечении потока

.

(1.24)

Таким образом, при установившемся движении вязкой жидкости сумма геометрического, пьезометрического, скоростного и потерянного напоров в каждом сечении потока есть величина постоянная и равная общему гидродинамическому напору H (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Графическая интерпретация уравнения Бернулли

Гидравлическое сопротивление обусловлено вязкостью жидкости, трением жидкости о шероховатые стенки трубы и местными сопротивлениями , возникающими при изменении скорости потока, или его направления. Таким образом, . Потеря напора на трение пропорциональна скоростному напору и определяется по уравнению Дарси-Вейсбаха:

,

(1.25)

где - коэффициент трения, зависящий от критерия Re и шероховатости труб (безразмерный); - длина трубы, м; - эквивалентный диаметр трубы, м.

Для потери давления (с учётом того, что )

.

(1.26)

Потеря напора на местные сопротивления:

,

(1.27)

где - сумма местных сопротивлений, находится в [1].

К местным сопротивлениям относятся вход и выход потока в трубу и из неё, внезапное сужение и расширение труб, отводы, колена, запорные и регулирующие устройства (краны, вентили, задвижки) и др.

Так как все напоры имеют размерность длины, то на рис. 1.5 (для трубопровода переменного сечения) они представлены вертикальными отрезками, а их сумма – гидродинамический напор, представлен отрезком H. Сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров называется гидродинамическим напором.

Практическое приложение уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли используется для расчёта скорости и расхода жидкости, а также времени истечения жидкости из отверстия в резервуаре. Для определения расхода жидкости и газа по сечению потока устанавливают специальные устройства (местные сопротивления) и замеряют разность давлений до и после устройства. Зная эту разность давлений, с помощью уравнения Бернулли находят искомый расход. Приборы, используемые для замеров перепадов давлений, называются дроссельными. К ним относятся мерные диафрагмы, сопла и трубы Вентури.

Определим скорость жидкости при её истечении из отверстия сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень жидкости H (рис. 1.6). Истечение происходит из среды с атмосферным давлением в среду с таким же давлением. Составим уравнение Бернулли (1.23) для идеальной жидкости относительно сечений I –I и II –II. Сечение II –II, проходящее через отверстие в резервуаре примем за плоскость сравнения (нулевую плоскость)

.

Для сечения I –I напор z1=H, а для сечения II –II напор z2=0. Сосуд открыт, следовательно, р1=р2. При постоянном уровне жидкости в сечении I –I скорость ω1=0. Преобразовав уравнение Бернулли, получим: , откуда

.

(1.28)

Таким образом, теоретическая скорость истечения для идеальной жидкости ω2 зависит только от высоты столба жидкости в сосуде. Для реальной жидкости вводится ряд дополнительных поправок, которые учитывают изменение скорости жидкости при входе её в отверстие и сжатие струи жидкости при выходе из отверстия.

Рис. 1.6 Истечение жидкости через отверстие в днище сосуда

Режимы движения жидкости. Критерий Рейнольдса

Наиболее полно движение жидкости было исследовано Рейнольдсом в 1883 г. Им было замечено, что при малых скоростях рабочей жидкости потоки последней перемещаются прямолинейно, по параллельным траекториям, не перемешиваясь. Такое движение было названо ламинарным. При увеличении скорости течение жидкости становится волнообразным и, в конце концов, оно переходит в вихревое с интенсивным перемешиванием. Такое движение называется турбулентным. Опыт показывает, что переход от ламинарного режима к турбулентному происходит тем легче, чем больше массовая скорость жидкости (ω·ρ), диаметр трубы (d) и меньше вязкость жидкости (μ). Безразмерный комплекс величин , значение которого позволяет судить о режиме движения жидкости, называется критерием Рейнольдса (Re)

.

(1.29)

При режим движения жидкости будет ламинарным. При режим турбулентный. При переходный режим.

Если жидкость движется по трубе круглого сечения, то в формулу (1.29) подставляют внутренний диаметр трубы . Если жидкость движется по каналу некруглого сечения, то подставляют, так называемый, эквивалентный диаметр , равный отношению учетверённой площади сечения потока к смоченному периметру канала:

.

(1.30)

Уравнения расхода

Рассмотрим движение жидкости по трубе постоянного поперечного сечения. Жидкость перемещается по трубопроводам и аппаратам вследствие перепада давления, создаваемого разностью уровней жидкости или работой насосов. Вследствие влияния сил вязкости (трения) скорость частиц жидкости в разных точках поперечного сечения потока неодинакова: по оси потока она максимальна, а у стенок трубы практически равна нулю. В инженерных расчётах обычно используют среднюю скорость.

Уравнения объёмного (V) и массового (М) расходов имеют вид:

м3/с, , кг/с,

(1.31) (1.32)

где - средняя скорость жидкости, м/с; F - площадь поперечного сечения потока, ; - плотность жидкости кг/м3.

Массовая скорость W – это количество жидкости, протекающей через единицу поперечного сечения в единицу времени:

.

(1.33)

Зависимость между массовой и линейной скоростями выражается равенством:

.

(1.34)

Для трубопровода круглого сечения (см. рис.) .

Диаметры труб, по которым течет жидкость или газ, указываются с учетом толщины стенки, например, d=25×2,5 мм. Внутренний диаметр трубы, по которой движется поток, будет равен dВ=25-2,5·2=20 мм.

Уравнение неразрывности (сплошности потока)

Если жидкость протекает по трубопроводу переменного сечения (без отводов и разветвлений), то приход ее массы в сечение 1 (рис. 1.7) , а в сечение 2:

При установившемся режиме . Следовательно: =. Если жидкость несжимаема (), то = или

(1.35)

Рис.1.7. К выводу уравнения неразрывности

потока жидкости

В установившемся потоке жидкости средние по сечениям скорости обратно пропорциональны площадям этих сечений, а уравнение неразрывности потока (1.35) выражает закон сохранения массы.

Дифференциальные уравнения движения реальной жидкости (уравнения Навье-Стокса)

При движении реальной жидкости по трубопроводу или аппарату на нее действуют силы тяжести, давления и внутреннего трения (вязкости). В соответствии со вторым законом Ньютона сумма всех действующих в потоке сил равна произведению его массы на ускорение. Дифференциальные уравнения движения реальной (вязкой) жидкости по осям координат имеют вид:

, (1.36)

Здесь, например, для оси x:

- сумма вторых производных скорости по осям координат (оператор Лапласа).

- полная производная скорости по времени (субстанциональная производная).

Уравнения (1.36) представляют собой дифференциальные уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой жидкости в трубах, каналах и аппаратах.

При движении идеальной жидкости (), мы получим уравнения движения Эйлера (1.21), как частный случай уравнений Навье-Стокса. Если идеальная жидкость находится в состоянии покоя (), то получим уравнения равновесия Эйлера (1.17).

Если систему уравнений Навье-Стокса дополнить уравнением сплошности (неразрывности) потока, то получим полное описание движения вязкой жидкости. Уравнения Навье-Стокса (1.36) не могут быть решены в общем виде аналитически. Получены решения этой сложной системы уравнений только для некоторых простых частных случаев.

Теория подобия. Критерии гидродинамического подобия

Процессы химической технологии можно изучать теоретически, в результате чего составляются и решаются, чаще всего, дифференциальные уравнения, полностью описывающие процесс. Примерами, широко используемыми в инженерной практике, являются основное уравнение гидростатики и уравнение Бернулли, которые получены решением соответствующих дифференциальных уравнений равновесия и движения Эйлера для идеальной жидкости. Однако многие процессы настолько сложны и часто сопровождаются изменением большого числа параметров (давления, скорости, температуры, вязкости, плотности, геометрических параметров и др.), что полученные для них дифференциальные уравнения не могут быть решены известными в математике методами. Примером могут служит дифференциальные уравнения Навье-Стокса для реальной (вязкой) жидкости, решение которых возможно только в отдельных частных случаях. Поэтому возникает необходимость изучения процесса с помощью экспериментов (опытов), а это возможно только при наличии теории постановки опытов и обработки их результатов. Такой теорией является теория подобия. Она отвечает на вопрос, как нужно ставить опыт и обработать полученные результаты, чтобы их можно было распространить на подобные процессы, протекающие в условиях, отличных от условий опыта. Применение теории подобия позволяет вместо трудоёмких дорогостоящих опытов на промышленном аппарате (натуре) выполнять исследования на лабораторных установках (моделях) значительно меньшего размера. Кроме этого опыты можно проводить не с рабочими (часто вредными и опасными) веществами, а с модельными (например, водой, воздухом и т. д.) в условиях, отличающихся от промышленных. Всё это позволяет упрощать и удешевлять эксперименты, быстрее реализовывать результаты исследований. Согласно теории подобия между моделью и натурным объектом должны существовать геометрическое подобие, подобие физических величин и временное подобие.

Отношение однородных (одноимённых) сходственных величин у натуры и модели называется константой подобия k.

Так, константа геометрического подобия трубопроводов (натуры и модели) выразится: , где ; - длины и диаметры этих трубопроводов.

Константы подобия физических величин (плотности , вязкости , скорости , давления) натурного и модельного потоков в сходственных точках и в соответственные моменты времени выразятся так:

и т. д.

Если в рассматриваемом процессе свойства системы изменяются во времени, то константа временного подобия , указывает на то, что частицы жидкости в трубопроводах (натуре и модели) проходят геометрически подобные траектории за промежутки времени, находящиеся в постоянных соотношениях. Константы подобия или масштабные множители позволяют параметры натурного трубопровода выразить через одноимённые параметры модельного.

Подобие геометрических и физических параметров является необходимым, но недостаточным условием подобия модели и натурного объекта. Необходимо ещё, чтобы в сходственных точках геометрически подобных потоков отношение действующих сил были одинаковыми. Как известно, в потоке вязкой жидкости действуют силы веса (тяжести) и инерции, давления и трения. Соотношения сил давления и инерции, сил тяжести и инерции, сил инерции и трения (вязкости) выражают три безразмерных комплекса величин, являющихся критериями гидродинамического подобия потоков жидкости; они называются соответственно критериями Эйлера (), Фруда () и Рейнольдса (). Выражения этих безразмерных критериев и их физический смысл приводятся в табл. 1.1.

Равенство этих критериев в сходственных точках подобных потоков (натуры и модели) является необходимым условием их гидродинамического подобия (I теорема подобия):

.

Критерии подобия представляют собой отношения разнородных (разноимённых) физических величин и обозначаются начальными буквами имён учёных, внёсших большой вклад в данную область знаний.

Согласно II теореме подобия: решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, составленными из этих переменных.

Таким образом, зависимость между отдельными физическими величинами, входящими в уравнение Навье-Стокса (1.36), может быть заменена функциональной зависимостью между критериями подобия:

.

(1.37)

В ряде случае зависимость (1.37) может быть дополнена симплексом геометрического подобия (отношением двух однородных величин в одной и той же системе). При движении потока по трубам или каналам таким симплексом является отношение длины трубы к её диаметру : .

Конкретный вид зависимости (1.37) находится опытным путём.

При решении многих инженерных задач часто требуется определить перепад давления в трубопроводе, который входит в критерий , поэтому критерий Эйлера является определяемым. Остальные критерии (в них входят известные величины) – определяющие.

Т. е. критерий есть некая функция от определяющих критериев: .

В частности, при установившемся вынужденном движении (с помощью насосов и компрессоров) потоков в промышленном трубопроводе, когда определяющими являются силы инерции и трения, а роль силы тяжести (собственного веса потока) неизмеримо мала, критерием Фруда пренебрегают и ограничиваются зависимостью .

Согласно III теореме подобия: явления подобны, если их определяющие критерии равны. Следствием выполнения этого условия будет также равенство критериев Эйлера в сходственных точках подобных потоков.

В ряде случаев трудно вычислить ту или иную физическую величину, входящую в критерий подобия. Тогда эту величину исключают путём сочетания двух или более числа критериев. При этом получают производные критерии, составленные из основных критериев. Так, например, при естественной конвекции, возникающий под действием разности плотностей потока, обусловленной различием температур в разных точках объёма потока, очень трудно определить скорость конвекционных токов. Однако эта скорость входит в критерий Фруда, отражающий подобие таких процессов. Поэтому исключают скорость путём сочетания критериев Рейнольдса и Фруда:

.

(1.38)

Полученный безразмерный комплекс величин является производным критерием (состоит из основных критериев) и называется критерием Галилея (). Он является мерой отношения сил тяжести и трения (вязкости) в подобных потоках.

Если умножить критерий Галилея на дробь ( - плотности жидкости в разных точках), отражающую причину возникновения конвекционных токов, то получим новый производный критерий подобия – критерий Архимеда ().:

.

(1.39)

Таблица 1.1

Основные критерии гидродинамического подобия

Критерий	Выражение критерия	Физический смысл критерия
1	2	3
Критерий Рейнольдса		Определяет режим движения потока. Является мерой отношения силы инерции к силе вязкости.
Критерий Фруда		Характеризует действие сил тяжести в подобных потоках. Является мерой отношения силы инерции к силе тяжести.
Критерий Эйлера		Характеризует действие сил давления в подобных потоках. Является мерой отношения силы давления к силе инерции.

2. Разделение жидких и газовых неоднородных систем

Неоднородными или гетерогенными называются системы, состоящие из двух или более фаз. Любая неоднородная бинарная система состоит из двух фаз: внутренней (дисперсной) фазы, находящейся в раздробленном состоянии в виде капель, пузырей, мелких твёрдых частиц и т. д. и внешней фазы (дисперсионной среды), окружающей частицы внутренней фазы.

2.1. Классификация неоднородных систем

В зависимости от физического состояния фаз различают: суспензии, эмульсии, пены, дымы, туманы.

Суспензии – гетерогенные системы, состоящие из жидкости и взвешенных в ней твердых частиц. В зависимости от размеров твердых частиц, суспензии условно подразделяются на грубые (более 100 мкм ~ 0.1 мм), тонкие (0.5 – 100 мкм ~ от 0.0005 до 0.1 мм) и мути (0.1 – 0.5 мкм ~ 0.0001 – 0.0005 мм)

Переходная область между суспензиями и истинными растворами (гомогенные системы) занимают коллоидные растворы, в которых размеры частиц, находящихся в жидкости, являются средними между величинами молекул и взвесей.

Эмульсии – системы, состоящие из жидкости и распределенных в ней капель другой жидкости, не смешивающейся с первой.

Под действием силы тяжести эмульсии расслаиваются. Однако, при незначительных размерах капель (менее 0.4 – 0.5 мкм) или при добавлении стабилизатора, эмульсии становятся устойчивыми и не расслаиваются в течение длительного времени. С увеличением концентрации дисперсной фазы появляется способность обращения (инверсии) фаз. В результате слияния (коалесценции) капель дисперсная фаза становится сплошной, т. е. в ней оказываются взвешенными частицы фазы, бывшей до этого внешней.

Пены – системы, состоящие из жидкости и распределенных в ней пузырьков газа. Эти газо-жидкостные системы по своим свойствам близки к эмульсиям.

Пыли и дымы – системы, состоящие из газа и распределенных в нем частиц твердого вещества. В пыли размер твёрдых частиц более 5 мкм, в дыме – менее 5 мкм. Пыль образуется при механическом распределении частиц в газе (при дроблении, смешивании и транспортировке твёрдых материалов и т. д.). Дым образуется при горении.

При образовании дисперсной фазы из частиц жидкости размером 0.3 – 5 мкм ( мм) возникают системы, называемые туманами.

Пыли, дымы, туманы носят общее название - аэрозоли.

В химической технологии широко распространены процессы, связанные с разделением жидких и газовых гетерогенных (неоднородных) систем. Выбор метода их разделения обусловлен размерами взвешенных частиц, разностью плотностей дисперсной и сплошной фаз, вязкостью сплошной фазы. Для разделения неоднородных систем в химической технологии используются процессы осаждения и фильтрования. Осаждение может протекать под действием силы тяжести (гравитационное осаждение) под действием центробежной силы (центробежное осаждение) и под действием сил электрического поля (электроосаждение). Центробежное осаждение делится на циклонный процесс и центрифугирование.