|
Гамильтониан нерелятивистской плазмы складывается из кинетической энергии частиц и энергии поля :
(1) 
,
где последний расходящийся член соответствует собственной энергии зарядов и не связан с возбуждениями в плазме (его можно считать константой). Мы будем интересоваться длинноволновыми возбуждениями в плазе, связанными с коллективным движением зарядов, поэтому операторы в гамильтониане (1) могут быть усреднены по макроскопически малым объемам 
около точки 
с характерными размерами 
. Под усреднением будем понимать:
(2) 
- оператор плотности импульса
- оператор смещения плотности зарядов
в объеме 
, 
- координаты
зарядов в системе, связанной с центром
объема . Хотя формально эти
операторы продолжают зависеть от
координат всех частиц в объёме
, но для длинноволновых
возмущений усреднение по малому макроскопическому объёму, содержащему достаточно большое число частиц, приводит к зависимости только от r или r’.
Покажем, что эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям:
(3) 
В формуле (3) будем понимать 
при 
и обращаться в ноль при 
. Соответственно она выполняет роль d-функции для плавно изменяющихся величин. Действительно:
(4) 
.
Заметим, 
- фиксированные точки в пространстве, задающие, например, центры одинаковых по объему и 
, при этом 
- координата заряда в лабораторной системе координат. Формально величины смещений 
могут быть произвольными, однако, обычно рассматриваются только малые амплитуды колебаний частиц около положения их равновесия, поэтому 
. Величина 
соответствует плотности частиц около точки .
После усреднения должны получаться соотношения, соответствующие гидродинамическому пределу, а малость средних смещений зарядов будет обеспечивать слабость средних электрических полей ( применимость линейной электродинамики для плазмы) и малые отклонения всех величин от их средних значений. Так,
(5) 
, ne - средняя плотность электронов в плазме.
Плотность кинетической энергии сводится к кинетической энергии центра масс и внутренней энергии в данной точке , учитывающей работу сил давления.
(6) 
,
где 
- модуль всестороннего сжатия.
Здесь пока рассматривается упрощенная задача: двигаются только электроны (заряды одного знака), а компенсирующие заряды противоположного знака равномерно размазаны по всему объему и обеспечивают электронейтральность всей системы. Вспомним, что точно также мы поступали и раньше, когда из уравнения Власова получали плазменный волны. Ничего не изменится, однако, в нашем рассмотрении, если мы будем считать, что ионы расположены в центре объема и от него отсчитываются .
Из того же макроскопического описания плазмы в отсутствии внешних полей имеем :
(7) 
.
Здесь и везде в дальнейшем мы опускаем значок тильда под буквой 
, поскольку в последующих формулах этого параграфа координаты отдельных зарядов фигурировать не будут.
Эквивалентное (7) соотношение:
(8) 
.
Подставим последнее равенство в гамильтониан (1), одновременно заменив в нем кинетическую энергию электронов с помощью (6) .
(9)
Первый член в (9) представляет собой постоянную, второй преобразуется в поверхностный интеграл и может быть отброшен, а остальные можно сгруппировать как:
(10) 
Убедимся, что квадратичные по импульсам и сопряженным с ними координатам гамильтонианы всегда можно диагонализовать, переходя к полевому представлению, в котором
(11) 
- координата, а
(12) 
- и сопряженный к ней импульс.
Коммутационные соотношения (3) будут заведомо выполняться при условии, что операторы 
- бозевского типа :
(13) 
.
( Проверить самостоятельно). Заметим, то размерный множитель 
соответствует минимальной амплитуде колебаний осциллятора с частотой 
, а множитель 
- минимальному импульсу.
Подставим Q и P в гамильтониан (9) и потребуем исключения получающихся при перемножении операторов недиагональных слагаемых.
(15) 
После интегрирования по координатам 
и остается суммирование только по 
.
Легко убедиться, что коэффициент при 
обратиться в нуль, если
(16) 
,
где
Гамильтониан приобретает диагональный вид
(17) 
При очень длинных волнах k ® 0 обычный звук исчезает, а плазменные волны с wk=wp существуют и при k=0.В макроскопическом классическом подходе тот же результат следует из дисперсионного уравнения 
. Поляризационные плазменные волны при квантовом рассмотрении отождествляют с плазмонами. Пока, правда, мы имеем только формальное утверждение, что возбужденные собственные состояния гамильтониана (1) эквивалентны состоянию системы независимых бозе - частиц с энергетическим спектром (16).
Поляризационные взаимодействия и поляризационные потери.
Квантовый гамильтониан взаимодействия пробной заряженной частицы с зарядами плазмы или ионами кристаллической решетки можно записать, как
(1) 
,
где фурье - образ плотности заряда среды
(2) 
[1]
В предыдущем параграфе использовалось соотношение (7)
(3) 
,
беря дивергенцию которого, получается:
(4) 
.
Фурье - образ этого соотношения позволяет, используя вид оператора 
из предыдущего параграфа, подставить 
в гамильтониан (1).
(5) 
При таком гамильтониане не составляет труда записать в борновском приближении вероятность столкновения пробной частицы с плазмоном, при котором происходит изменение волнового вектора пробной частицы 
.
(6) 
Матричный элемент в результате интегрирования по координате частицы
(7) 
отличен от нуля для двух независимых процессов:
Поглощения плазмона 
Испускание плазмона 
Вероятность этих процессов
(8) 
Для быстрых частиц 
в металле при не слишком высоких температуре основным процессом будет рождение плазмона (T=0, < nq> << 1) при этом потери на возбуждение длинноволновых плазмонов (q << 1/rДебая, w(q)= wp).
(9) 
Для длинноволновых плазмонов в металле 
, а 
,поэтому 
(10) 
и в 
- функции можно отбросить малое слагаемое.
(11) 
Ответ фактически не зависит от квантовой постоянной h. Множитель 
выделен специально в качестве малого параметра, определяющего применимость борновского приближения. Когда этот параметр мал, формула (11) дает средние энергетические потери быстрой частицы с энергией 
- энергии Ферми. Дискретный характер потерь в этой формуле
(12) 
явно не проявляется и точно такой же результат можно получить из классического рассмотрения, приводящего к непрерывным потерям энергии частицей. Из квантового подхода следует, однако, что потери энергии должны быть кратны 
, но моменты испускания плазмонов распределены вероятностным образом. Это приводит к непрерывным средним потерям, однако число частиц монохроматического пучка, потерявших на определенной длине энергию кратную на много больше, чем остальных. Экспериментально это видно, например, по спектру электронов пролетевших металлическую фольгу 
.
[1]Для справок 
