Физика твердого тела (стр. 5 )

Такая квалификация основана на теореме, устанавливающей связь между семейством атомных плоскостей и вектором обратной решетки:

для всякого семейства атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d, существуют такие векторы обратной решетки, которые перпендикулярны к этим плоскостям, а наименьший из них имеет длину равную 2 /d.

Докажем эту теорему. Пусть имеется семейство атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d. Направим плоскую волну: exp[i()] с волновым вектором k=2/d и единичной амплитудой перпендикулярно данному семейству. Так как это плоская волна, она должна иметь одинаковую фазу на любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Так как плоскости отстоят друг от друга на расстоянии , выбранная нами плоская волна будет иметь одинаковое значение фазы на всех атомных плоскостях. Возьмем любой узел на любой атомной плоскости и примем его за начало координат. Тогда и вектор , что и требовалось доказать.

Приложение к главе 1

Таблица №1.

Характеристика сингоний кристаллов.

Сингония	Соотношение между параметрами	Квадратичная форма
1.Триклинная	а¹b¹c a¹b¹g	1/d2hkl=(k/a)sin a +(k/b)sin b +(l/c)* *sin g + 2/ab(cosa cosb - cosg)hk + 2/bc(cosbcosg --cosa)kl + 2/ac* *(cosgcosa - cosb)hl.
2.Моноклинная	a¹ b¹ c a =g =90 ¹ b	1/d=(h/a sinb)+( k/b)+(l/c sinb)- --- - 2hlcosb /ac sin b.
3.Ромбическая	a¹ b¹c a =b=g	1/d= (h/a)+ (k/b)+(l/c)
4.Тетраго- нальная	a=b¹c a =b =g=90	1/d=(hk/a
5. Ромбоэдричес- Кая	a=b=c a =b =g ¹ 90	=* *
6.Гексагональная	a=b¹ c a =b=90 ; g= 120
7.Кубическая	a=b=c a=b=g=90

Таблица № 2.Характеристика различных типов решеток.

Тип решетки	Число атомов на элементарную ячейку	Базис решетки	Координационное число (КЧ)	Коэффициент заполнения
Простая кубическая	1	(0,0,0)	6	52%
ОЦК	2	(0,0,0;	8	68%
ГЦК	4	(0,0,0;;	12	74%
Гексагональная	-	(0,0,0;-	12	74%

Таблица №3.

Связь между индексами (hkl), величиной d и периодами решетки a, b, с для каждой сингонии.

Сингонии	Формула для межплоскостного расстояния
Кубическая Тетрагональная Гексагональная Ромбическая	d= (7) d= (8) d= (9) d= (10)

Таблица №4.

Число идентичных плоскостей P для совокупностей с разными индексами в кубической сингонии.

Индексы	(100)	(110)	(111)	(hk0)	(hh0)	(hkl)
P	6	12	18	24	24	48

Глава2. Методы структурного анализа

2.1. Общие положения.

Для определения структуры твердых тел используются дифракционные методы. Все методы основаны на общих принципах дифракции волн или частиц при прохождении через кристалл, являющийся для них своеобразной дифракционной решеткой, параметр которой по порядку величины равен среднему межатомному расстоянию (10-10м). Для получения дифракционной картины существенно, чтобы длина волны используемого излучения была сравнима с этим средним межатомным расстояниям. Различают следующие методы: рентгенографии, электронографии, нейтронографии.

В рентгенографии применяются рентгеновские лучи с длинами волн от 0,7..10-10 дом, в электронографии электроны с длинами волн де Бройля – от 3.10-12 дом, в нейтронографии – тепловые электроны с длиной волны порядка 10-10 м.

По дифракционной картине можно сразу качественно судить о структуре твердого тела. Если дифракционная картина представляет набор точечных пятен (рефлексов), получающихся при рассеянии от определенных семейств атомных плоскостей (hkl), то твердое тело является монокристаллом; если дифракционная картина представляет собой набор тонких концентрических колец, то твердое тело находится в поликристаллическом состоянии; наконец, если на дифракционной картине присутствует одно, максимум два диффузных гало, то тело находится в аморфном состоянии (рис. 2.1.1, 2.1.2 , 2.1.3).

 

2.2. Дифракция Вульфа – Брэгга.

Вскоре после открытия М. Лауэ (1912) электромагнитной природы рентгеновских лучей русский ученый (1912) и независимо от него английские физики отец и сын Г. и Л. Брэгги дали простое истолкование интерференции рентгеновских лучей, объяснив это явление зеркальным отражением от атомных плоскостей.

Пусть на кристалл, который можно представить состоящим из семейства параллельных атомных плоскостей, находящихся на одинаковом межплоскостном расстоянии d (рис 2.2.1), под углом падает параллельный пучок монохроматических рентгеновских лучей с длиной волны .

 

Отраженные от атомных плоскостей под тем же углом ( зеркальное отражение), параллельные лучи I и II интерферируют, т. е. усиливают или ослабляют друг друга в зависимости от разности хода между ними. Если разность хода равна целому числу n длин волн , то наблюдается интерференционный максимум. Из рис. 2.2.1 видно, что это имеет место, когда

или . (2.2.1)

Условие (2.2.1), при котором возникает интерференционный максимум, и носит название формулы Вульфа – Брэгга. Зная брэгговские углы отражения , которые определяются из дифракционной картины, можно вычислить межплоскостные расстояния d, а по ним и индексы интерференции hkl.

Условие дифракции в терминах обратной решетки. Рассмотрим обратную решетку и мысленно проведем атомную плоскость из семейства атомных плоскостей (hkl) c межплоскостным расстоянием d. Пусть на решетку падает излучение с волновым вектором и выполняется условие дифракции Вульфа-Брэгга (2.2.1). Тогда из рис.2.2.1 и ранее доказанной теоремы, устанавливающей связь между семейством атомных плоскостей и вектором обратной решетки, можно записать следующую цепочку равенств:

где m – порядок дифракционного максимума. При m=1 условие дифракционного максимума принимает окончательный вид

(2.2.2)

Умножив обе части уравнения (2.2.2) на получим

(2.2.3)

Уравнение (2.2.3) можно рассматривать как закон сохранения импульса для кристаллической решетки.

2.3. Метод Лауэ.

Пусть на неподвижный кристалл (рис.2.3.1) падает пучок рентгеновского излучения, содержащего все длины волн – от до некоторого.

Для того чтобы понять характер и происхождение лауэграммы (рис.2.3.2), обратимся к трактовке интерференции с помощью обратной решетки и сферы Эвальда.

Если на кристалл падает спектр, содержащий длины волн от до это означает, что имеется непрерывный ряд сфер Эвальда с радиусами от до (рис.2.3.3).

 

Все те узлы обратной решетки, которые попали в область между граничными сферами (на рис.2.3.3 заштрихованная область), находятся в отражающем положении, поскольку для них выполняется условие Вульфа – Брэгга. Как можно видеть из рис. 2.3.2 , в случае, если направление первичного пучка совпадает с одной из осей симметрии кристалла или лежит в плоскости симметрии, то такую же симметрию имеет и дифракционная картина, образованная лучами, которые испытали брэгговское отражение. Поэтому, ориентируя кристалл определенным образом относительно первичного пучка, всегда можно найти нужные направления, в частности направления, необходимые для выявления осей элементарной ячейки.

 

 

2.4. Метод вращения кристалла.

В этом методе, в отличие от предыдущего, используют монохроматическое излучение определенной длины волны. Кристалл вращают вокруг оси, направление которой найдено методом Лауэ. С помощью сферы Эвальда и обратной решетки легко объяснить получающуюся дифракционную картину (рис 2.4.1). Пусть обратная решетка вращается, а сфера Эвальда неподвижна. В момент, когда какой-либо узел обратной решетки касается поверхности сферы Эвальда, для него выполняется условие дифракции Вульфа - Брэгга, и в направлении, например, OP происходит отражение.

Если вокруг вращающегося кристалла поместить фотопленку, то все дифракционные рефлексы, как видно из рис. 2.4.2, расположатся на слоевых линиях. Слоевую линию, соответствующую большому кругу сферы отражения, в плоскости которого лежит первичный пучок называют нулевой. Индексы интерференции этой линини при вращении вокруг оси с будут hk1 т. е. l=1, для всех рефлексов нижние слоевые линии имеют рефлексы типа hk1 hk2 и т. д.

 

По рентгенограммам, полученным при вращении кристалл вокруг осей a, b, c, определяют параметры элементарной ячейки a, b, c.

 

2.5 . Порошковый метод Дебая – Шеррера.

Для исследования структуры поликристаллов используют монохроматическое излучение длины волны . Съемку производят на пленку, расположенную на внутренней поверхности цилиндрической камеры, в центре которой установлен образец. В качестве исследуемых образцов используют или цилиндрические столбики спрессованных порошков, или кусочки проволоки. На рис. 2.5.1 и 2.5.2 приведены примеры рентгенограмм, полученных методом Дебая – Шеррера.

Происхождение и характер дебаеграмм можно понять с помощью обратной решетки и сфе­ры Эвальда. Поликристаллы представляют собой скопле­ния беспорядочно ориенти­рованных мелких кристал­ликов. Поэтому в обратном пространстве поликристалл можно представить в виде набора концентрических сфер, радиусы которых равны обратным значениям межплоскостных расстояний 1/dhkl (рис. 2.5.3). На такую связку обратных векторов с центром в начальной точке А направим монохрома­тический пучок рентгеновских лу­чей. Из точки А в направлении, об­ратном So, отложим величину до точки О. Из последней как из центра проведем сферу радиусом Если теперь во все точки пере­сечения сферы Эвальда с концентрическими сферами (точки А, В, С, О, А', В', С', О', рис. 2.4.2 провести радиуcы то только для этих направлений, выполняется условие дифракционного максимума.

При съемке в цилиндрической камере конусы отраженных лучей пересекаются с цилиндром, в результате дифракционные линии располагаются симметричными дужками, как показано на рис.2.5.2.

 

Глава 3. Межатомное взаимодействие. Основные типы связей в твердых телах

3.1. Классификация твердых тел. Типы связей

До сих пор мы рассматривали твердое тело как систему, состоящую из дискретных частиц (атомов, ионов, молекул), образующих идеальную трехмерную периодическую структуру, и главное внимание уделяли закономерностям строения и симметрии кристаллических решеток. При этом мы ничего не говорили о силах, которые удерживают частицы вместе около положения их равновесия. Силы, удерживающие частицы в кристалле, имеют ту же природу, что и межатомные силы, которые обусловли­вают образование сложных молекул. Этими силами, как сейчас точно установлено, являются, в основном, силы электростатического притяжения между противоположно заряженными частицами (электронами и ядрами) и силы отталкивания между одноименно заряженными частицами (электронами и электронами, ядрами и ядрами).

Оценки потенциалов взаимодействия между частицами в кри­сталле показывают, что магнитные силы здесь весьма малы, а гравитационными силами вообще можно пренебречь. Таким образом, характер сил межатомного взаимодействия в первую очередь определяется строением электронных оболочек взаимодействующих атомов.

Характер межатомных сил иногда кладут в основу класси­фикации твердых тел. Согласно этой классификации все твердые тела разделяют на четыре типа: металлические, ковалентные, ионные и молекулярные кристаллы.

Кристаллы неорганических веществ с водородной связью (ко­торая по своему характеру является, в основном, ионной) часто выделяют в отдельный тип. Водородная связь обусловлена элект­ростатическим притяжением между атомом водорода и каким-либо сильно электроотрицательным атомом (О, Р, N, Сl и др.). Классическим примером таких веществ является вода в жидком или твердом состоянии. Из-за недостатка места мы не будем бо­лее подробно останавливаться на этом типе связи и отошлем чи­тателя к более фундаментальным трудам по физике твердого тела.

Заметим, что не существует однозначного способа классифи­кации твердых тел. Так, все твердые тела можно классифициро­вать по свойствам симметрии их кристаллических структур, по электрическим свойствам. В соответствии с последней класси­фикацией твердые тела, как это будет показано в гл. 4, делятся на проводники и изоляторы. Типичными проводниками электриче­ства являются металлы (Аg, Си, Аu и др.), а изоляторами — ионные кристаллы.

Между металлами и изоляторами располага­ются полуметаллы (Вi, Sb) и полупроводники (Si, Ge,). Полу­проводники при низких температурах ведут себя как изоляторы. Полуметаллы, подобно металлу, проводят ток, хотя концентрация электронов проводимости в них примерно в 104 раз меньше, чем в металлах. Такое различие обусловлено особенностями элект­ронной структуры.

В настоящей главе примем классификацию твердых тел, основанную на характере межатомных сил взаимодействия, ко­торый, как говорилось выше, определяется строением электрон­ных оболочек взаимодействующих атомов.

Как правило, в меж­атомных связях у большинства элементов принимают участие все внешние валентные электроны. У Сu, Аg, Аu, Еu, Vb, Аm вследствие сравнительно небольшой энергии связи электронов заполненных d10-, f7- и f14- оболочек в межатомных связях мо­гут дополнительно участвовать один-два электрона этих оболо­чек. Существует ряд элементов, имеющих большое число валент­ных электронов во внешней оболочке, но из-за их высоких энер­гий связи с атомом не все валентные электроны могут участво­вать в межатомных связях (О, F, Fe, Со, Ni и др.).