Домашнее задание по микроэкономике

Задача 1. (2 балла)

Пусть правило выбора агента удовлетворяет следующим условиям: для каждого бюджетного множества выбор определен и состоит лишь из одного набора, выбор не зависит от масштаба цен. Кроме того, известно, что выявленные предпочтения данного агента могут быть представлены функцией полезности . Можно ли на основании данной информации утверждать, что правило выбора агента удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений»?

Можно. Докажем от противного.

Пусть слабая аксиома не выполняется. Тогда найдутся такие цены и доход и , что набор , выбранный при , будет прямо выявлено предпочитаться набору и одновременно набор прямо выявлено предпочитаться набору .

Если выявленные предпочтения агента представимы функцией полезности, то наборам и должны быть поставлены в соответствие некие числа (значения полезности) и .

Если набор прямо выявлено предпочитается набору , то функция представляет эти выявленные предпочтения только при условии, что . (1 б)

Если набор прямо выявлено предпочитается набору , то функция представляет эти выявленные предпочтения только при условии, что , что противоречит полученному выше неравенству. Найденное противоречие доказывает утверждение. (1 б)

Задача 2. (2 балла) Студент решал следующую задачу. Доход агента составляет $110000 в год. В прошлом году агент арендовал машину A за $10000 в год и проехал на ней 20000 миль, при этом издержки на оплату топлива составили $2 за милю.

(a) Если бы данному агенту предложили на выбор два автомобиля, А и В, причем стоимость годовой аренды автомобиля B составляла бы $20000 в год, а топливные расходы - $1 за милю (никаких других различий между автомобилями нет), то какой автомобиль выбрал бы данный индивид?

(b) Как изменился бы ваш ответ на вопрос пункта (а), если бы стоимость годовой аренды автомобиля В составила $32000 (вместо $20000)?

Вам предстоит найти все ошибки в приведенном ниже решении студента. (Заметим, оцениваться будут только найденные ошибки, а не само решение задачи, которую решал студент).

«(а) Подсчитаем расходы на каждый автомобиль в годовом исчислении.

Расходы на автомобиль А составили 10000+2*20000=50000.

Поскольку агенту нужно проехать 20000, то расходы на автомобиль В составили бы 20000+1*20000=40000.

Агент естественно выберет тот автомобиль, расходы на который ниже, то есть автомобиль В.

(б) Расходы на автомобиль А не изменились, а на автомобиль В возросли на $12000 и составят $52000 в год, то есть превысят расходы на автомобиль А. Рациональный агент всегда выберет вариант с наименьшими расходами, то есть он предпочтет автомобиль А.»

(а) Ошибка 1. Неверно, что агенту нужно проехать 20000 миль. В новой ситуации он может изменить свое решение, так как 20000 миль, о которых идет речь в задаче, - это выбор потребителя при определенных ценах (на содержание автомобиля А) и доходе. При других ценах (на содержание автомобиля В) выбор потребителя может измениться, так как ему стали доступные наборы, которые не были доступны ранее. (графическая иллюстрация) (0.5 б)

Ошибка 2. У агента нет цели минимизировать расходы на автомобиль. Его цель - выбрать наилучший набор. Так как при аренде машины В прежний набор доступен (с излишком), то агент действительно предпочтет автомобиль В, но расходы на его оплату могут оказаться выше, если агент решит увеличить автопробег (выбор агента может быть любой точкой на новой б. л. правее точки пересечения со старой б. л.). Контрпример графический или аналитический. (0.5 б)

Например, Возможно, при аренде автомобиля В лучший набор содержит 80 тысяч миль. Этот набор выявлено предпочитается набору, содержащему 20 тысяч миль. Поэтому в такой ситуации агент арендует автомобиль В. Но его расходы на автомобиль будут в этом случае больше, чем если бы он арендовал автомобиль А.

(б) Повторение тех же ошибок. Расходы на автомобиль В могут измениться, если агент выберет иной автопробег. У агента нет задачи минимизировать расходы. На этот раз прежний набор не доступен (проверить) и нельзя однозначно утверждать, какой автомобиль будет выбран. Также нельзя однозначно сделать заключение об изменении расходов. График. (1 б)

Задача 3. (2 балла)

У вас имеется следующая информация о выборе потребителя, который тратит весь доход лишь на два товара.

	Год t	Год t+1
	Количество	Цена	Количество	Цена
1-ый товар	100	10	120	10
2-ой товар	100	10		8

При каких значениях параметра справедливо утверждение:

(а) выбор данного потребителя не удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений;

Выбор данного потребителя не удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений, если одновременно выполняются условия и при .(0.25 б) Поэтому необходимо найти , при которых данная система имеет решение:

(0.5 б)

Выбор данного потребителя не удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений при . (0.25 б)

В пунктах (б) и (в) считайте, что правило выбора агента удовлетворяет слабой аксиоме.

(б) набор, выбранный в году t, выявлено предпочитается набору, выбранному в году t+1;

набор, выбранный в году t, выявлено предпочитается набору, выбранному в году t+1, если . Это выполнено при . (0.25 б) С учетом пункта (а) . (0.25 б)

(в) набор, выбранный в году t+1, выявлено предпочитается набору, выбранному в году t.

Набор, выбранный в году t+1, выявлено предпочитается набору, выбранному в году t, если . Это выполнено при . (0.25 б) С учетом пункта (а), . (0.25 б)

Задача 4. (2 балла)

Пусть - ординальная функция полезности потребителя А. Пусть предпочтения потребителя В представимы ординальной функцией полезности . Верно ли каждое из приведенных ниже утверждений:

(а) Агент В предпочитает набор набору в значительно большей степени, чем набор набору .

Неверно. Ординальная функция полезности лишь упорядочивает наборы, присваивая лучшим наборам большие значения. Однако сами присваиваемые значения произвольны (не определяются однозначно), а потому их разница важна только с точки зрения знака, а не величины.

Из и следует только, что агент В предпочитает набор набору , а набор предпочитает набору . (0.5 б)

(б) Если бы у агента А был набор , а у агента В - набор , то общество бы выиграло, если бы агенты поменялись наборами, поскольку выигрыш агента В с лихвой бы компенсировал потери агента А.

Неверно. Ординальная функция полезности лишь упорядочивает наборы, присваивая лучшим наборам большие значения. Однако сами присваиваемые значения произвольны (не определяются однозначно), а потому значения полезностей для разных агентов не сравнимы. (0.5 б)

(в) Если бы у агента А был набор , а у агента В - набор , то оба агента оказались бы в выигрыше, если бы агент А обменял единиц второго товара на единиц первого товара с агентом , где положительно, но близко к нулю.

Агент А, имея набор , готов обменять единицы второго товара на единиц первого товара, где - бесконечно малая величина, поскольку в данной точке . Агент B, имея набор , готов обменять единицы второго товара на единиц первого товара, где - бесконечно малая величина, поскольку в данной точке . (0.5 б)

Если бы агент А обменял единиц второго товара на единиц первого товара у агента , то агенту А от этого стало лучше, поскольку он готов был отдать единицы второго товара, а отдал меньше, а функция его полезности растет при увеличении количества товара в наборе (при условии, что у него в наборе присутствуют оба товара). Агенту В также стало лучше, поскольку он готов был отдать единиц первого товара, а отдал только . (0.5 б)

Возможно другое решение путем прямого сравнения изменения полезностей с нулем и определения, что при выиграет каждый агент. (1 б)

Задача 5. (2 балла)

(а) В каждом из приведенных ниже примеров определите товары, выберите некий набор с положительными координатами и изобразите схематично множество наборов, которые не хуже набора , для некоторого индивида, если

(1) индивид в первую очередь ценит в человеке честность, а среди честных людей предпочитает иметь дело с теми, кто обладает хорошим чувством юмора.

Обозначим за – уровень честности, а за – уровень юмора в человеке. Каждого человека можно представить как набор из двух характеристик . Чем больше в наборе честности, тем более предпочитаемым становится набор. Поэтому все наборы, в которых , будут лучше набора , а где – хуже. Рассмотрим наборы, в которых . Таких людей агент оценивает по наличию юмора. Те наборы, где , будут лучше набора , а где – хуже. Сам набор не хуже самого себя. Таким образом, заштрихуем множество наборов, которые не хуже набора :

(0.5 б)

(2) индивид стремиться успешно освоить курс микроэкономики, для чего ему нужно знать теорию и тренироваться решать задачи. Но одно без другого не дает эффекта: по опыту предыдущих поколений на каждый час занятий теорией должно приходиться четыре часа практики.

Обозначим за – количество часов теории, а за – количество практики. Предположим, что мы взяли такой набор, в котором . Наборы, в которых и безразличны данному набору , поскольку в таких наборах занятия теорией больше, чем при практике в объеме не приносят дополнительного успеха. Наборы, в которых и столь же же предпочтительны, как и набор , поскольку в таких наборах занятия практикой больше, чем при занятии теорией в объеме также не приносят дополнительного успеха. Чем больше индивид занимается и теорией и практикой, тем лучше он сдаст микроэкономику, поэтому наборы, где и лучше набора . Таким образом, заштрихуем множество наборов, которые не хуже набора :

(0.5 б)

(3) функция полезности агента возрастает по первому товару, убывает по второму, а предпочтения агента строго выпуклы.

Пояснения к областям, с плюсиками и минусами. (0.25 б)

Строгая выпуклость . Все точки любого отрезка принадлежат интересующей нас области. (0.25 б)

(б) Если предпочтения, описанные в ситуациях (1)-(3) могут быть представимы функцией полезности, то предложите пример такой функции полезности.

(1) каждая точка уникальна. Не получается присвоить им значения так, чтобы сохранить порядок предпочтительности. (бонус 0.25 б)

(2) (0.25 б)

(3) (проверить вид данного множества, построив кривую безразличия и соотв. область или проверить напрямую свойства предпочтений) (0.25 б)