Конспект лекций по ФОЭ (стр. 2 )

В электронном полупроводнике концентрация электронов в основном обусловлена переходом электронов с энергетических уровней ЕD на энергетические уровни зоны проводимости. Так как ND>> ni, то из (3.7) следует, что в электронном полупроводнике уровень Ферми EFn должен быть расположен выше середины запрещенной зоны (рис.3.2,а). При этом график р(Е) на рис 3.1 должен сдвинуться вверх, ординаты графика Fn (Е) увеличиться, а ординаты графика Fp (Е) уменьшиться. Следовательно,

.

а ) б)

Рис.3.2

Поэтому уравнение (3.7) можно представить в виде:

. (3.11)

Учитывая, что , уравнение (1.9) принимает вид:

. (3.12)

Умножая nn на pn, получаем:

. (3.13)

Таким образом, при любой концентрации примесей произведение концентраций электронов и дырок в электронном полупроводнике остается постоянной величиной.

На практике в области рабочих температур можно считать, что все доноры ионизированы, то есть nn=ND. Тогда из (13.13) следует, что , то есть, чем выше концентрация доноров, тем меньше концентрация дырок. Если nn=ND, то из уравнения (3.11) можно определить положение уровня Ферми в электронном полупроводнике:

. (3.14)

В дырочном полупроводнике концентрация дырок в основном обусловлена переходом электронов с энергетических уровней валентной зоны на энергетический уровень акцепторов. При этом уровень Ферми должен быть расположен ниже середины запрещенной зоны (рис.3.2,б), график р(Е) сдвинут вниз, ординаты графика Fр(Е) должны возрасти, а ординаты графика Fn (Е) уменьшиться. Следовательно,

,

и уравнение (3.9) принимает вид:

. (3.15)

С учетом того, что , уравнение (3.7) принимает вид:

. (3.16)

Перемножая pp и np, получаем

(3.17)

Если все примесные атомы ионизированы, то pp≈ NA. Тогда из (3.17) следует, что

,

то есть, при увеличении концентрации акцепторов уменьшается концентрация электронов

. Уравнение (3.15) позволяет определить положение уровня Ферми в дырочном полупроводнике при pp=NA:

. (3.18)

Концентрация носителей заряда зависит от температуры (рис.3.3). При T=0 K все валентные электроны заняты в ковалентных связях, валентная зона полностью заполнена электронами, а в зоне проводимости электроны отсутствуют. При повышении температуры происходит ионизация примесных атомов, поэтому концентрация основных носителей заряда возрастает (участок 1). При температуре около100 К, практически все примесные атомы ионизированы, поэтому в интервале температур от 100 К до примерно 400 К (участок 2), концентрация основных носителей заряда сохраняется приблизительно постоянной и равной концентрации примесей. Некоторое увеличение концентрации в этом интервале температур объясняется тепловой генерацией электронов и дырок. При температуре выше 400 К возрастает скорость тепловой генерации, вследствие чего концентрация основных носителей заряда увеличивается (участок 3) и различие между концентрациями основных и неосновных носителей заряда уменьшается, полупроводник постепенно приобретает свойства собственного полупроводника. Поскольку с ростом температуры происходит возрастание концентрации основных носителей заряда, то в электронном полупроводнике уровень Ферми опускается вниз, а в дырочном поднимается вверх, приближаясь к середине запрещенной зоны.

Концентрация неосновных носителей заряда, с ростом температуры возрастает по экспоненциальному закону, причем она растет быстрее, чем концентрация собственных носителей. Это следует из уравнений (13.13) и (3.17), в которых надо принять nn=ND и pp=NA, тогда

. (3.18)

. (3.19

Показатели степени экспоненты в (3.18) и в (3.19) вдвое больше показателя степени экспоненты в (3.10), следовательно, концентрации np и pn более сильно зависят от температуры, чем концентрация ni

4. Электропроводность полупроводников

Под действием сил поля, хаотически движущиеся электроны и дырки приобретают направленную скорость, в результате чего возникает ток проводимости, имеющий электронную и дырочную составляющие. Плотность электронного тока проводимости равна а плотность дырочного тока проводимости равна , где  и — средние направленные скорости движения электронов и дырок соответственно.

Средняя скорость движения (дрейфа) носителей заряда определяется ускорением a и средним временем пробега :

(4.1)

Это уравнение можно представить в более компактном виде:

(4.2)

где — напряженность поля;

 — подвижность носителей заряда, определяемая средней длиной свободного пробега и средней тепловой скоростью .

Следовательно, плотность электронного тока проводимости будет равна

. , (4.3)

а плотность дырочного тока проводимости -

. (4.4)

Результирующая плотность тока проводимости равна сумме двух токов:

. (4.5)

Здесь — удельная электрическая проводимость полупроводника.

В собственном полупроводнике ni=pi, поэтому

. (4.6)

У электронного полупроводника nn>>pn, поэтому

. (4.7)

У дырочного полупроводника pp>>np, поэтому

. (4.8)

Из приведенных уравнений следует, что удельная электрическая проводимость полупроводника определяется концентрацией и подвижностью носителей заряда.

При комнатной температуре подвижность электронов в Германии составляет 3900 см2/(В·с), а в кремнии 1400 см2/(В·с), подвижность дырок в Германии равна 1900 см2/(В·с), а в кремнии 500 см2/(В·с). Длина свободного пробега носителей заряда обратно пропорциональна температуре, а тепловая скорость прямо пропорциональна квадратному корню из температуры. Поэтому с ростом температуры подвижность убывает по закону T-3/2. График температурной зависимости удельной электрической проводимости представлен на рис.4.1.

σnσp

σ

σi

Рис.4.1

В области низких температур sn и sp возрастают с ростом температуры из-за увеличения числа ионизированных примесных атомов. В рабочем интервале температур концентрация носителей заряда сохраняется приблизительно постоянной и равной концентрации примеси, а подвижность уменьшается, поэтому уменьшаются sn и sp. В области высоких температур увеличивается тепловая генерация носителей заряда, и снижение подвижности не играет существенной роли. Удельная электрическая проводимость собственного полупроводника зависит от температуры по экспоненциальному закону, и уменьшение подвижности не имеет принципиального значения.

При невысокой концентрации примеси (до 1015 см-3) подвижность практически не зависит от величины концентрации. При более высокой концентрации примеси ионизированные примесные атомы создают вокруг себя кулоновское поле, искривляющее траектории движения носителей заряда, в результате чего уменьшается длина свободного пробега и соответственно подвижность носителей заряда. При изменении концентрации примеси от 1015 до 1019 см-3 подвижность уменьшается примерно на порядок.

Важную роль играет зависимость подвижности от напряженности поля, так как при этом зависимость между скоростью движения носителей заряда и напряженностью поля становится нелинейной (рис. 4.2). В слабых электрических полях (e<103 В/см) носители заряда на длине свободного пробега приобретают относительно малую энергию, не превышающую тепловую энергию КТ. При этом результирующая скорость носителей заряда примерно равна тепловой скорости. При таких условиях подвижность сохраняется постоянной, а скорость дрейфа линейно нарастает с ростом напряженности поля. При напряженности поля более 103 В/см скорость дрейфа становится соизмеримой со скоростью теплового движения, вследствие чего увеличивается результирующая скорость движения носителей заряда, то есть, возрастает их энергия, что равнозначно разогреву электронно-дырочного газа. Такие носители заряда, энергия которых сравнима или превышает тепловую энергию КТ, называют горячими. В этих условиях с увеличением напряженности поля уменьшается длина свободного пробега, вследствие чего подвижность носителей заряда уменьшается обратно пропорционально напряженности поля, а дрейфовая скорость возрастает прямо пропорционально квадратному корню из напряженности поля. Если напряженность поля превышает критическое значение eкр≈104 В/см, то с ростом e подвижность уменьшается обратно пропорционально напряженности поля, а дрейфовая скорость сохраняется неизменной и равной скорости насыщения см/с.

Рис.4.2

Движение электронов в электрическом поле можно наглядно представить на энергетической диаграмме. По горизонтальной оси отложим координату x а по вертикальной – значение энергии электрона при движении его внутри кристалла. Энергетические уровни изобразим горизонтальными линиями. Двигаясь в электрическом поле, электрон меняет свою координату и энергию, переходя с более низкого уровня на более высокий уровень. При этом его кинетическая энергия возрастает на величину q∆u, где ∆u-разность потенциалов, которую прошел электрон на длине свободного пробега, при этом потенциальная энергия уменьшается на ту же величину, так что полная энергия не меняется. Накопленную энергию электрон теряет при столкновении с атомом (рассеянии) и возвращается на более низкий уровень.

E-qU

ℓ

q∆U

Рис.4.3 Рис.4.4 Рис.4.5

В некоторых случаях целесообразно откладывать по вертикальной оси полную энергию электрона Е-qU с учетом энергии внешнего поля (рис.4.4), где U-разность потенциалов, приложенная к полупроводниковому кристаллу. Тогда движение электрона следует изображать горизонтальной линией, а энергетические уровни – наклонными. Наклон энергетических уровней при этом пропорционален напряженности электрического поля. Энергетические уровни, соответствующие полной энергии электрона, при этом остаются горизонтальными.

При высокой напряженности электрического поля наклон энергетических уровней может оказаться столь высоким, что появится возможность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости без изменения своей энергии (рис.4.5). Это явление возникает при напряженности поля порядка 106 В/см и называется туннелированием. По аналогичному механизму могут туннелировать электроны с примесных уровней, расположенных в запрещенной зоне, причем для этого требуется более низкая напряженность поля.

5. Неравновесное состояние полупроводника

Неравновесное состояние полупроводника возникает под влиянием каких-либо внешних воздействий, в результате которых концентрация носителей заряда в полупроводнике может измениться. Такими внешними воздействиями могут быть облучение светом, ионизирующее облучение, воздействие сильного электрического поля, приводящее к разрыву ковалентных связей, и ряд других. В результате подобных воздействий в полупроводнике помимо равновесных носителей заряда, образующихся при ионизации примесных атомов и тепловой генерации, появляются дополнительные носители заряда, которые называют неравновесными или избыточными.

В полупроводниковых приборах неравновесное состояние в большинстве случаев возникает при введении (или выведении) в полупроводник неосновных носителей заряда через электронно-дырочный переход. Введение через электронно-дырочный переход дополнительных носителей заряда называют инжекцией, а выведение  экстракцией.

Рассмотрим процессы, происходящие при инжекции электронов в дырочный полупроводник (рис.5.1.а). Введение электронов ведет к появлению в поверхностной области избыточной концентрации электронов nизб, в результате чего нарушается электронейтральность полупроводника, из-за чего возникает внутреннее электрическое поле, притягивающее дырки из глубины полупроводника к поверхности и на поверхности появляется избыточная концентрация дырок ризб, которая примерно равна избыточной концентрации электронов. Время, в течение которого происходит этот процесс, называют временем диэлектрической релаксации. Оно составляет около 10-12 с. Для того, чтобы существовало внутреннее поле, удерживающее дырки у поверхности, избыточная концентрация дырок должна быть меньше избыточной концентрации электронов.

Увеличение концентрации электронов на поверхности дырочного полупроводника неизбежно ведет к их диффузии вглубь полупроводника. Диффундирующие электроны встречаются с дырками и рекомбинируют, на смену рекомбинировавшим электронам из внешней цепи поступают новые электроны, а на смену рекомбинировашим дыркам из глубины полупроводника поступают новые дырки. В результате концентрация электронов уменьшается вдоль оси х: n(х)=np+nизб(х). В каждом сечении х выполняется приблизительное условие электронейтральности, поэтому распределение избыточной концентрации дырок имеет такой же характер, как и распределение избыточной концентрации электронов: p(х)=pp+pизб(х). Однако физические причины, вызывающие увеличение концентрации электронов и дырок, различны. Возрастание концентрации электронов вызвано инжекцией электронов в полупроводник из внешней цепи, а возрастание концентрации дырок вызвано существованием внутреннего злектрического поля, которое притягивает дырки из глубины полупроводника. Распределение концентрации электронов и дырок вдоль оси х показано на рис.5.1,б.

Диффузия электронов создает ток диффузии. Плотность тока диффузии электронов пропорциональна градиенту концентрации:

(5.1.),

где Dn — коэффициент диффузии электронов, равный 99 см2/с для Германия и 34 см2/с для кремния; он характеризует количество электронов, проходящих через площадку в 1 квадратный сантиметр за 1 секунду.

Поскольку градиент концентрации уменьшается вдоль оси х, то соответственно происходит уменьшение тока диффузии (рис5.1,в).

Так как существует градиент концентрации дырок, то одновременно с диффузией электронов должна возникнуть диффузия дырок и соответственно ток диффузии дырок

, (5.2)

где Dp— коэффициент диффузии дырок, равный 43 см2/с для Германия и 13 см2/с для кремния.

Однако диффузии дырок препятствует внутреннее электрическое поле, являющееся причиной возникновения тока проводимости, плотность которого равна.. На рис. 5.1,в показаны три составляющих тока. Ток проводимости и ток диффузии дырок направлены навстречу друг другу, результирующий дырочный ток равен . Физически возникновение дырочного тока обусловлено притяжением дырок инжектированными электронами. Дырки, притягиваемые инжектированными электронами, встречаясь с ними, рекомбинируют, поэтому дырочный ток называют током рекомбинации. Этот ток показан на рис.5.1,г.

Рис.5.1

В любом сечении х величина тока рекомбинации пропорциональна количеству дырок, рекомбинировавших в объеме, расположенном левее этого сечения. Этим объясняется возрастание дырочного тока вдоль оси х. В каждом сечении х сумма электронного и дырочного токов имеет одну и ту же величину.

При экстракции электронов из дырочного полупроводника протекают похожие процессы (рис.5.2): уменьшается концентрация электронов на поверхности полупроводника, появляется градиент концентрации и, как следствие, возникает диффузия электронов. При этом ток диффузии изменяет свое направление. Экстракция электронов ведет к нарушению электронейтральности и возникновению внутреннего поля, в результате чего появляется дырочный ток, который называют током генерации.

 

Рис.5.2

Аналогичные процессы происходят и в электронном полупроводнике при инжекции (или экстракции) в него дырок с той лишь разницей, что электроны и дырки меняются ролями.

6. Время жизни неравновесных носителей заряда

В дырочном полупроводнике в равновесном состоянии скорость тепловой генерации равна скорости рекомбинации:

R=G=γnppp,

где γ-коэффициент рекомбинации.

При инжекции в дырочный полупроводник электронов в нем практически мгновенно происходит увеличение концентрации электронов и дырок. Они становятся равными

n=np+nизб. р

p=pp+pизб. р.

Это ведет к увеличению скорости рекомбинации, она становится равной R1=γ(np+nизб)( pp+pизб). Соответственно увеличивается скорость возникновения носителей заряда G1. Они теперь появляются не только за счет тепловой генерации, но и за счет инжекции. Если инжекция происходит непрерывно, то полная концентрация электронов и дырок с течением времени сохраняется постоянной, то есть, выполняется условие G1=R1. При этом с увеличением концентрации дырок можно не считаться, поскольку избыточная концентрация дырок во много раз меньше их равновесной концентрации. После прекращения инжекции скорость рекомбинации останется прежней, так как избыточные носители заряда не могут исчезнуть мгновенно, а скорость возникновения носителей заряда становится равной G, так как теперь они появляются только за счет тепловой генерации. Следовательно, будет выполняться условие R1>G, в результате чего концентрации электронов и дырок начнут уменьшаться. Учтем, что равновесные концентрации электронов и дырок с течением времени не меняются. Следовательно, можно рассматривать только скорость изменения концентрации неравновесных носителей заряда, которая пропорциональна разности скоростей рекомбинации и генерации. Избыточная концентрация электронов изменяется со скоростью

Вследствие условия электрической нейтральности с такой же скоростью происходит изменение избыточной концентрации дырок.

Считая nизб(t) ≈ pизб(t), получаем:

, (6.1)

где gnp— вероятность рекомбинации дырки;

gpp— вероятность рекомбинации электрона.

Величина, обратная вероятности рекомбинации, есть не что иное, как время жизни избыточных носителей заряда. Следовательно,

. (6.2)

Результирующее время жизни t определяется соотношением