МОУ «Старомокшинский лицей» Аксубаевского
муниципального района Республики Татарстан
Алгоритмы ускоренных вычислений
Работа ученика 11 «а» класса
Александрова Александра
18.10.2011 г.
Алгоритмы ускоренных вычислений
Алгебра, которую мы изучаем в школе, позволяет найти удобные алгоритмы для быстрого выполнения арифметических вычислений, например для быстрого умножения чисел или возведения чисел в квадрат.
Приведем несколько таких алгоритмов. Сделаем предварительно два замечания.
При устных вычислениях удобно пользоваться “телефонным способом чтения чисел”: каждое число разбивается на грани по 1–2 цифры (иногда 3) в каждой, и каждая грань читается как отдельное число. Например: 5328 можно читать так: пятьдесят три двадцать восемь; 14253 можно читать так: один сорок два пятьдесят три.
Для облегчения формулировки многих алгоритмов ускоренных вычислений полезно воспользоваться выражением “к данному числу (а) приписать двумя цифрами (аналогично – тремя и т. д.) другое данное число b”.
Это выражение означает: “умножить число а на 100 (соответственно – на 1000 и т. д.) и к тому, что получится, прибавить число b”. Например, приписать к числу 38 двумя цифрами число 9 означает: написать число 3809; А приписать к тому же числу 38 двумя цифрами число 142 означает: написать число 3800 + 142, то есть число 3942. Запись удобно расположить следующим образом: 3842 = 3942.
В качестве примера рассмотрим алгоритм, который позволяет перемножить в уме два двузначных числа, близкие к 100.
Если спросить шестиклассника, какие двузначные числа труднее всего перемножить, то он, вероятно, скажет: “Числа, близкие к 100, например: 98·97”. На самом же деле такие двузначные числа очень легко умножить даже в уме. Назовите каких-либо 2 числа, близких к 100. Пусть назвали 94 и 97.
Пишем: 94·97= 9118 (девяносто один – восемнадцать).
6 3
Как мы произвели умножение? Узнаем, каков недостаток первого сомножидо 100. Это будет 6. Недостаток второго сомножидо 100 равен 3. Затем из одного сомноживычитаем недостаток (3) второго сомножителя до 100; получаем 91. Приписываем к результату произведения 3·6, то есть 18.
Здесь мы пользуемся таким алгоритмом: если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так:
1. найди недостатки сомножителей до сотни;
2. вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;
3. к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.
Возьмем другие примеры.
92·85=7700=7820; 88·89=7700=7832.
8
А почему можно так умножать числа? Ответ на этот вопрос дает алгебра.
Пусть нужно перемножить двузначные числа х и у, близкие к 100. Число х мы запишем так: х = 100 – а, где а – недостаток числа х до 100.
Второй сомножитель у запишем так: у = 100 – b. Тогда
х·у = (100 – а)(100 – b) = (100 – а)· 100 – 100b + ab = (100 – а – b)· 100 + аb = (х – b)· 100 + а·b.
Итак, в произведении всего (х – b) сотен и, кроме того, еще а·b единиц. Отсюда и вытекает наш алгоритм. (Заметим, что он особенно удобен, если а и b меньше 25.)
Как возвести в квадрат число, близкое к 50? Покажем теперь, как в уме возвести в квадрат двузначное число, близкое к 50. Назовите любое число, близкое к 50, но большее, чем 50 (скажем, число 58). Записываем ответ: 582 = 3364.
Еще пример (называете, скажем, 63): 632 = 3969.
Как же мы так быстро произвели вычисления?
Мы пользовались определенным алгоритмом. Найти его нам поможет алгебра.
Пусть нужно возвести в квадрат число х, близкое к 50, но большее 50. Число это запишем так: х = 50+а, где а–избыток числа х над 50.
Например: 58 = 50 + 8, х = 58, а = 8;
63 = 50+ 13, х = 63, а = 13.
Итак, х = 50 + а, а = х – 50. х2 = (50 + а)2 = 2500 + 100а + а2 = (25 + а)·100 + а2 = (25 + х – 50)·100 + а2 = (х – 25)·100 + а2.
Отсюда следует алгоритм: если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:
1. вычти из этого числа 25,
2. припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.
Примеры.
1) 582 = 3364.
Объяснение. 58 – 25 = 33, 58-50=8, 82 = 64, 582 = 3364.
2) 642 = 4096.
Объяснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 142 = 196, 642 =3996+100 = 4096.
Вы теперь легко сами придумаете алгоритм для возведения в квадрат числа, которое близко к 50, но меньше, чем 50.
Проверьте себя на примере: 432 =1849.
Пользуясь алгеброй, придумайте алгоритм для быстрого умножения двух трехзначных чисел, близких к 1000. Проиллюстрируйте его на примере: 997·936.
Придумайте алгоритм для быстрого возведения в квадрат трехзначных чисел, близких к 100. То же – для двузначных чисел, близких к 100.
