УДК 629.05.539.4

, ,

АЛГОРИТМ ГРАДИЕНТНОГО МЕТОДА ОПТИМИЗАЦИИ 
НЕСУЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ КУЗОВОВ ВАГОНОВ

Описан алгоритм градиентного метода оптимизации, удобного для параметрической и структурной оптимизации несущих систем кузовов вагонов. Предложена процедура анализа оптимального варианта на глобальность оптимума.

Ключевые слова: несущая система, оптимизация, целевая функция, градиентный метод, алгоритм, глобальность оптимума.

Оптимизация несущих элементов кузовов вагонов позволяет улучшить технико – экономические показатели вагона.

Существует ряд методов оптимизации, среди которых градиентный метод отличается повышенной точностью. Однако специфика конструкций вагонов значительно осложняет применение градиентного метода для оптимизации кузова вагона, поэтому актуальной является задача разработки алгоритма, удобного для оптимизации на практике. Решению данной задачи посвящена настоящая работа.

Построение алгоритма градиентного метода оптимизации.Образуем функцию цели [2]

(1)

где – площади поперечных сечений несущих элементов кузова; – длины несущих элементовфункция ограничения по прочности i-го элемента; –максимальные напряжения в i –м элементе от совокупности эксплуатационных нагрузок; –допускаемое напряжение.

= 1, если ;

= 0, если ,

где Fimin– минимальное по конструктивным ограничениям значение площади поперечного сечения i - го элемента; – значение площади поперечного сечения на k –й итерации оптимизационного процесса.

Функция (1) учитывает объем материала и ограничения, причем компонент, учитывающий ограничения, образует штрафную добавку к объему материала (при невыполнении ограничения, когда , объем материала возрастает). Для определения минимума целевой функции (1) воспользуемся градиентным методом. Применяя конечноразностную аппроксимацию, получаем следующее выражение для i - го компонента градиента целевой функции[1]:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(2)

где m – число элементов кузова, для которых k = 1; - приращение максимальных напряжений в i-м элементе при увеличении площади поперечного сечения одного i -го элемента на .

Выражение (2) показывает, что для определения компонента вектораградиента необходимо выполнить m раз расчет кузова. Вычислительный процесс можно упростить, если воспользоваться приближенным выражением для функции (2), пренебрегая вторым компонентом. В этом случае компоненты вектора градиента на каждой итерации пропорциональны максимальным напряжениям в элементах кузова. На каждом шаге итерационного процесса требуется только однократный расчет кузова на прочность. Это характерно для известного метода проектирования дискретно равнонапряжённой конструкции.Таким образом, метод проектирования дискретно равнонапряжённой конструкции является приближённым вариантом рассматриваемого градиентного метода.

При использовании упрощенного варианта градиентного метода i-й компонент направляющего вектора параметров равен

(3)

Рассмотрим последовательность процесса оптимизации, когда исходный вектор проектных параметров соответствует прочной конструкции (все ). В этом случае выполняется расчет кузова, находятся . Для каждого сечения по зависимости (3) вычисляются находятся поправки к площадям сечений:

где – значения площадей сечений в первом приближении.

Далее решается самостоятельная задача определения оптимальных размеров сечений заданной формы, при которых уменьшение площади поперечного сечения на величину будет сопровождаться минимальным возрастанием напряжений. При этом находятся геометрические характеристики сечений. Вновь выполняется расчет кузова. Далее процесс повторяется аналогично.

Если в выражении (2) учитывать и второй компонент, то дополнительно на каждом шаге итерационного процесса необходимо выполнить цикл расчетов кузова.

В каждом расчете дается приращение площади поперечного сечения одного элемента, вычисляются максимальные напряжения в сечениях всех элементов. Затем находятся приращения напряжений по сравнению с предыдущим шагом итерационного процесса. Эти приращения используются для вычисления компонента в формуле (2):

Таким образом, здесь потребуется выполнить mр раз расчет кузова (m-число элементов, для которых k = 1; p – число итераций).

Рассмотрим возможность использования предлагаемого варианта градиентного метода, когда в качестве исходной принята конструкция кузова с минимальными по конструктивным ограничениям параметрами сечений. В этом случае для многих элементов и оптимальный вариант находится при движении из недопустимой области. Особенность здесь состоит в том, что к объему материала исходного варианта необходимо добавлять материал, чтобы вывести начальную точку на границу допустимой области. Очевидно, что результирующий объем будет минимальным, если минимальной будет добавка материала. Как и в предыдущем случае, образуем функцию

Причем = 1, если ;= 0, если

В выражении для f(F) второй компонент представляет собой добавку материала, которая играет роль штрафа за невыполнение ограничения по прочности. Чем ближе к границе допустимой области, тем меньше эта добавка. Следовательно, необходимо найти такие параметры сечений, которые приведут к минимуму целевой функции f

Для отыскания минимума f(F) найдем градиент функции f(F). i-й компонент вектора градиента равен

Соответствующий компонент направляющего вектора параметров, если пренебрегать в выражении для вторым компонентом, будет

Таким образом, получаем такие же зависимости, как и в предыдущем случае, с той лишь разницей, что компоненты направляющего вектора параметров являются положительными.

Следует отметить также, что при наращивании сечений излагаемый способ приводит к добавлению материала только в те элементы, для которых .

Как только напряжения станут равными допускаемым, добавление материала прекращается. Поэтому и компоненты направляющего вектора отыскиваются только для тех элементов, напряжения в которых превышают допускаемые. Это обстоятельство упрощает процесс.

Наряду с удобством для практического применения упрощенного варианта рассматриваемого метода и родственного ему метода пересчета им свойственны два недостатка:

1. Сходимость итерационного процесса не является очевидной.

2. Метод приводит к локальному минимуму, и требуется дополнительный анализ оптимальности полученного варианта конструкции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лазарев, методы оптимального проектирования конструкций / . – Новосибирск: НИИЖТ, 1971. – 181 с.

2. Лозбинев, расчёта оптимальных параметров сечений несущих элементов кузовов вагонов / . – Тула: ТПИ, 19с.

Материал поступил в редколлегию 25.11.13.