Цепи несинусоидального тока (стр. 1 )

Лабораторная работа № 11

ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

1. Цель работы

Приобретение навыков исследования периодических несинусоидальных напряжений и токов в линейных цепях. Обоснование применения разложения в ряд Фурье. Умение использования современных дискретных представлений напряжений и токов. Совершенствование методов вычислений и измерений действующих, средних значений токов, напряжений и активной мощности. Освоение специфики измерения несинусоидальных напряжений приборами различных систем. Экспериментальное подтверждение метода расчета цепи несинусоидального тока. Исследование режима резонанса напряжений при несинусоидальном источнике питания. Получение навыков построения и анализа графиков мгновенных значений несинусоидального напряжения и его составляющих.

2. Ключевые слова

Несинусоидальный ток, напряжение; ряд Фурье; мгновенное, среднее, действующее значения; гармоника; метод расчёта; обоснование; эксперимент; измерение; системы приборов; резонанс напряжений; дискретные значения; узел; аппроксимация; сплайн; интерполяция; алгоритм; быстрое преобразование Фурье; синтез гармоник; тестовый пример.

3. Теоретическая справка

Представление несинусоидального напряжения в виде

суммы напряжений постоянной составляющей и гармоник

Периодические несинусоидальное напряжение источника питания, напряжения на элементах или ток в них могут быть представлены в виде суммы составляющих, получаемых на основе разложения в ряд Фурье в виде:

или ,

где U0 - постоянная составляющая, Ukm, yk - амплитуда и начальная фаза k-ой гармоники, ; Usm , Ucm - амплитуды синусной и косинусной составляющих k-ой гармоники.

.

Значения U0 , Usk , Uck определяются формулами Эйлера - Фурье:

; ; . (1)

Напряжение u(t) в виде меандра, график которого показан на рис. 1 жирной линией, можно представить как:

Рис.1

Меандр относится к частному случаю периодических кривых симметричных относительно оси абсцисс, т. е. u(t) = – u(t+Т/2). В этом случае присутствуют гармоники только нечетных номеров.

Гармоники меандра, согласно (1), определяются слагаемыми

Ограничиваясь тремя гармониками, можно записать

, (2)

здесь , ; амплитуда k-ой гармоники меандра уменьшается в k раз по сравнению с основной.

На рис. 1, помимо графика напряжения меандра u(t), показаны напряжения трех гармоник u(1), u(3), u(5) и их сумма.

Напряжение однополупериодного выпрямления u(t), график кривой которого приведен на рис. 2, может быть представлено, согласно (1), в виде совокупности составляющих

. (3)

Рис. 2

Расчет постоянной и гармонических составляющих по дискретным значениям несинусоидальных напряжений и токов

Основные величины, определяющие режим в цепи, могут быть вычислены приближенно по дискретным значениям. При рассмотрении периодического напряжения произвольной формы, период Т разбивается на М равных интервалов (отрезков). Точки в начале каждого интервала, обозначаемые m = 0, 1, 2, ..., (M -1), определяют положение узлов. Постоянная составляющая, равная среднему значению, и амплитуды гармоник находятся по формулам (1) с заменой интегралов конечными суммами. Для несинусоидальной кривой напряжения u(t) составляющие равны:

а) постоянная , (4)

где - алгебраическая сумма всех значений напряжения в узлах, m - номер узла; в данной работе рекомендуется принять M = 16.

б) амплитуды синусной и косинусной составляющих k-ой гармоники

; ,

амплитуда и начальная фаза yk k-ой гармоники находятся из условий

; ,

причем из двух возможных значений yk, отличающихся на p, принимается то, которое согласуется со знаками U ck и U sk.

Мгновенное значение напряжения

.

Действующее значение напряжения, подобно и тока, может быть найдено по мгновенным значениям в интегральной форме, и приближённо, используя дискреты, соответственно

; или . (5)

При рассмотрении мгновенных значений, активная мощность Р, равна среднему значению мгновенной мощности р(t)

или . (6)

Расчёты по дискретным значениям могут быть выполнены на ПК в вычислительной среде MATHCAD. Значения дискрет на интервале периода Т представляются в виде таблицы. Порядок определения их приведен выше.

Постоянная и гармонические составляющие находятся с помощью программы на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ). Программа, написанная с комментариями для тестового примера, приведена в п.3 Методических указаний.

Расчет цепи несинусоидального тока

В основе расчета линейной цепи несинусоидального тока лежит принцип наложения. При расчете гармонических составляющих применяется комплексный метод. Для k-ой гармоники сопротивления , .

Действующее значение напряжения, подобно и тока, вычисляется по найденным постоянной составляющей и действующим значениям отдельных гармоник

. (7)

Мгновенные значения несинусоидальных напряжений или токов равны сумме мгновенных значений всех составляющих, найденных при рассмотрении постоянной составляющей и каждой гармоники в отдельности

.

В результате вычислений постоянной и гармонических составляющих активная мощность равна сумме

.

Полная мощность S=UI. Коэффициент мощности kм = cosφ =P/S=P/UI.

4. Описание установки

Источником питания служит генератор (см. рис. 3, 4), называемый на стенде « функциональный генератор». Меняя положение тумблера «форма» «» или « », на выходе генератора устанавливается напряжение синусоидальной формы или в виде импульсов, называемых меандром. Частота и действующее значение выходного напряжения генератора устанавливаются соответственно с помощью регуляторов «частота» и «амплитуда».

В работе используется многофункциональный цифровой измерительный прибор – полиметр (П), называемый на стенде « измеритель фазы». Полиметр содержит (см. рис.3, рис.4) токовую ветвь 01, I2, включаемую последовательно как амперметр, и ветвь напряжения 02 , U1, включаемую параллельно как вольтметр. Результаты измерений получаются на основе дискретного представления u(t), i(t). На табло прибора П выводятся действующие значения напряжения U, тока I, значение активной мощности P и угол j. Причём, если напряжение u(t) и ток i(t) синусоидальные, то угол j равен разности начальных фаз u(t) и i(t), а если u(t) и (или) i(t) несинусоидальные, то В последнем случае угол j, определяемый cosj, действующие значения напряжения U, тока I, значение мощности P и S=UI соответствуют эквивалентным синусоидам.

Переменные напряжения UV≈ в цепи определяются электронным цифровым вольтметром В7-38, предназначенным для измерения синусоидального напряжения, и полиметром П, измеряющим действующие значения периодических напряжений и токов произвольной формы.

Стрелочный вольтметр магнитоэлектрической системы, обозначаемый VМЭ , и вольтметр В7-38 в положении переключателя UV_ измеряют постоянную составляющую напряжения с учётом её знака. Форма кривой напряжения или тока наблюдается на экране осциллографа. Для наблюдения формы кривой тока, вход осциллографа подключается к резистору. Напряжение на резисторе, подаваемое на вход осциллографа, повторяет форму тока.

Фиксированные значения параметров элементов R, L, C устанавливаются с помощью переключателей.

5. Подготовка к работе

1. В протоколе подготовки должны быть схемы рабочего задания (рис.3, рис.4) и соответствующие им таблицы (табл.2, табл.3). На схеме рис.4 записать значения параметров элементов цепи, выписав их из табл.1 в соответствии с номером бригады, принимается, что Lа = 120 мГн.

Ознакомиться с содержанием и порядком выполнения рабочего задания Ч.1, Ч.2.

Таблица 1

№ Бригады	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
R, Ом	47	68	68	68	47	100	100	47	68	47	68	68
C, мкФ	3,3	4,7	6,8	10	4,7	3,3	4,7	6,8	6,8	10	3,3	4,7

2. Для каждого из вариантов формы напряжения a, b, c табл.2 получить аналитическое выражение зависимости действующего значения U этого напряжения от максимального um. Воспользоваться интегральной формой определения . Вычислить для вариантов a, b, c расчётные значения um при U =4 В и вписать их в табл.2.

Используя um, найти средние значения . Эти значения, как постоянные напряжения, определяют показания вольтметра В7-38 UV_ и вольтметра магнитоэлектрической системы VМЭ.

Показания вольтметра В7-38 UV при измерении переменного синусоидального напряжения равно его действующему значению UV =0,707 um,

т. е. UV = U = Um/

При измерении напряжения в виде меандра UV = 1,11 um, что не равно действующему значению его, равному U =um.

Показать, что для напряжения однополупериодного выпрямления, действующее значение которого равно U =um / 2, показание вольтметра В7-38 равно UV = 0,389 um (см. п.2 Методических указаний).

Вычислить и заполнить расчётные значения показаний вольтметров табл. 1.

3. На входе цепи рис.4 напряжение u(t) по форме в виде меандра. Для действующего значения его U = 7,0 В, подобно п.2, определить um. Записать ряд Фурье напряжения u(t), в виде (2) Теоретической справки.

На основе u(t) вычислить действующие значения первой U(1) , третьей U(3) и пятой U(5) гармоник. Сравнить полученные результаты с приведенными в табл.3.

4. Определить частоту напряжения меандра u(t) генератора цепи рис.4. из условия, что частота третьей гармоники этого напряжения соответствует режиму резонанса напряжений. Для этого вначале по значениям Lа=120 мГн и C табл.1, вычислить резонансную частоту третьей гармоники f(3). Далее, найти частоты первой f (1) и пятой f (5) гармоник.

5. Выполнить расчёт цепи рис.4, полагая, что напряжение на входе её u(t) соответствует п.3, а частота первой гармоники – п.4. Расчет выполнить в комплексной форме для 1-ой и 3-ей гармоник.

Записать выражения мгновенных значений i(t), uL(t) и uC(t).

По результатам расчёта вычислить действующие значения I, UL, UC; P, а также угол эквивалентных синусоид .

Уделить внимание рекомендуемой литературе по теме работы и подготовить ответы на вопросы для самопроверки.

6. Рабочее задание

Часть 1. Измерение несинусоидального напряжения приборами различных систем

Режимы цепи: напряжение u(t) цепи на схеме рис.3 в виде синусоиды или меандра табл.2 определяется выбором положения переключателя формы генератора. При этом диод VD3 и резистор R3 отсутствуют, и генератор находится практически в режиме холостого хода, так как нагрузкой его являются приборы с большими входными сопротивлениями.

Для получения напряжения u(t) в виде однополупериодного выпрямления, в цепь включаются VD3 и R3. При положительной полярности диод открыт и напряжение u(t) равно напряжению на выходе генератора, а при отрицательной – диод закрыт, ток генератора равен нулю и u(t) = 0.

Для различных форм измеряемых напряжений устанавливается одно и то же действующее значение их, с различными максимальными um.

Таблица 2

Форма напряжения	Полиметр П	Вольтметр В7-38, В	VМЭ (0…15), В	Осциллограф um, B
Устанавливаемое действующее значение U, B			расчёт	опыт
расчёт	опыт	расчёт	опыт	расчёт	опыт
	4
	4
	4

Выполнение задания: