Теоретическая механика (стр. 2 )

Пример. Рассмотрим брус АВ, закрепленный в точке А шарниром и опирающийся на выступ D (рис. 15).На этот брус действуют три силы: сила тяжести , реакция выступа и реакция шарнира. Так как брус находится в равновесии, то линии действия сил должны пересекаться в одной точке. Линии действия сил и известны и они пересекаются в точке К. Следовательно, линия действия реакции тоже должна пройти через точку К, т. е. должна быть направлена вдоль прямой АК.

Рис. 14 Рис. 15

Задача 2. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом наклона (рис. 16, а). Определить значение горизонтальной силы , которую надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при этом равна сила давления груза на плоскость.

Решение. Искомые силы действуют на разные тела: сила на груз, сила – на плоскость. Для решения задачи вместо силы будем искать реакцию плоскости . , Q = N. Тогда заданная сила и искомые силы и будут действовать на одно и то же тело на груз. Рассмотрим равновесие груза.

Геометрический способ. При равновесии треугольник, построенный из сил , и , должен быть замкнутым. Построение треугольника начнем с заданной силы. От произвольной точки a в выбранном масштабе откладываем силу (рис. 16, б). Через начало и конец этой силы проводим прямые, параллельные направлениям сил и . Точка пересечения этих прямых дает третью вершину c замкнутого силового треугольника abc, в котором стороны bc и ac равны в выбранном масштабе силам и . Направление сил определяется правилом стрелок: так как равнодействующая равна нулю, то при обходе треугольника острия стрелок нигде не должны встречаться в одной точке. Модули искомых сил можно найти из треугольника abc путем численного расчета (в этом случае соблюдать масштаб при изображении сил не надо). Замечая, что Рbac = 900, Рabc = a получим F = Ptga , N = P / cosa (F / P = tga , P / N = cosa).

Рис. 16

Аналитический способ. Так как система сходящихся сил является плоской, то для нее надо составить два условия равновесия (10)

, .

Для этого сначала проводим координатные оси. Затем вычисляем проекции сил , и на оси x и y и составляем уравнения, получим:

, .

Решая эти уравнения, найдем:

 , .

Глава 2

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА. ПАРА СИЛ

§6. Момент силы относительно центра (или точки)

При рассмотрении пространственной системы сил применяется понятие момента силы относительно центра (или точки).

Определение. Моментом силы относительно центра О называется приложенный в центре О вектор , модуль которого равен произведению модуля F силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис. 17). Плечом h силы F относительно центра О называют длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Согласно этому определению

, (11)

где .

Измеряется момент силы в ньютон-метрах (Н·м).

Рис. 17

Для нахождения формулы, которая выражает вектор , рассмотрим векторное произведение . По определению

Направлен вектор перпендикулярно плоскости OAB в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение с (если их отложить от одной точки) видно происходящим против хода часовой стрелки, т. е. так же, как вектор . Следовательно, векторы и выражают одну и ту же величину. Отсюда

или , (12)

где  – радиус-вектор точки А, проведенной из центра О.

Момент силы имеет следующие свойства:

1) момент силы относительно центра не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия;

2) момент силы относительно центра О равен нулю или когда сила равна нулю, или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

§7. Алгебраический момент силы относительно центра

При рассмотрении плоской системы сил используется понятие алгебраического момента силы относительно центра. Когда все силы системы лежат в одной плоскости, их моменты относительно любого центра О находящегося в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т. е. направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторной символике можно направления этих моментов отличить одно от другого знаком и рассматривать момент силы относительно центра О как алгебраическую величину. Условимся такой момент называть алгебраическим и обозначать символом . Алгебраический момент силы относительно центра О равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо, т. е.

. (13)

При этом момент считается положительным, когда сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и отрицательным – когда по ходу часовой стрелки. Так для сил, изображенных на рис. 18: , .

Рис. 18

§8. Пара сил. Момент пары

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело (рис. 19, а).

Рис. 19

Система сил , , образующих пару, не находится в равновесии (эти силы не направлены вдоль одной прямой (аксиома 1)). В то же время пара сил не имеет равнодействующей поскольку . Поэтому свойства пары сил, как нового самостоятельного элемента статики, должны быть рассмотрены отдельно.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью пары. Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному моменту пары.

Определение: моментом пары сил называется вектор , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б), т. е.

.

В отличие от момента силы вектор пары является свободным вектором, т. е. его можно переносить в любую точку тела.

Моменту пары можно дать другое выражение: момент пары равен сумме моментов относительно любого центра О сил, образующих пару, т. е.

. (14)

Рис. 20

Для доказательства проведем из произвольной точки О (рис. 20) радиусы векторы и . Тогда согласно формуле (12), учтя еще, что , получим

, и, следовательно

,

где .

Так как , то справедливость равенства (14) доказана. Отсюда, в частности, следует уже отмеченный выше результат

или , (15)

т. е. момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы. Отметим еще, что модуль момента пары

m = Fd . (16)

Из формулы (14) следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны.

Из формулы (14) следует еще, что если на тело действует несколько пар с моментами , , …, то сумма моментов всех сил, образующих эти пары, относительно любого центра будет равна , а следовательно, вся совокупность этих пар эквивалентна одной паре с моментом

. (17)

Этот результат выражает теорему о сложении пар.

§ 9. Алгебраический момент пары сил

Поскольку момент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы (15)

или ,

то для пар, лежащих в одной плоскости, момент пары можно рассматривать как алгебраическую величину и обозначать символом m. При этом алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

. (18)

Правило знаков здесь такое же, как и для алгебраического момента силы: алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара сил стремится вращать тело против часовой стрелки, и знак минус, если пара сил стремится вращать тело по часовой стрелке. Так, для изображенной на рис. 21, а пары , , момент , а для пары , , момент . Поскольку пара сил характеризуется только ее моментом, то на рисунках пару изображают часто просто дуговой стрелкой (рис. 21, б).

Рис. 21

Глава 3. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЦЕНТРУ.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

§10. Теорема о параллельном переносе силы

В задачах на равновесие тел сила может быть перенесена в любую точку на линии ее действия.

Теорема: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Пусть на твердое тело действует сила , приложенная в точке А (рис. 22). Действие этой силы не изменится, если в любой точке В тела приложить две уравновешенные силы и , такие, что , .

Полученная система трех сил и представляет собой силу , равную , но приложенную в точке В, и пару , с моментом

. (19)

Рис. 22

Последнее равенство следует из формулы (15). Таким образом, теорема доказана.

§11. Приведение произвольной системы сил к центру

Теорема о приведении системы сил: любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы сил относительно центра О (рис. 23, б).

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил , , …,  (рис. 23, а). Выберем точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой, доказанной в §10, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

, , …, , (20)

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласно формуле (19) равны:

, , , …, . (21)

Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в точке О. При этом или, согласно равенствам. (20)

. (22)

Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменяется одной парой, момент которой или, согласно равенствам (21)

. (23)

Как известно величина равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

Таким образом, теорема доказана.

Рис. 23

Заметим, что сила не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Отметим, что значение от выбора центра О не зависит. Значение же при изменении центра О может изменится вследствие изменения значений моментов отдельных сил.

Рассмотрим в заключение частные случаи: 1)  если для данной системы сил , а , то она приводится к одной паре сил с моментом . В этом случае значение не зависит от выбора центра О, так как иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что не возможно; 2) если для данной системы сил , а , то она приводится к одной силе т. е. равнодействующей, равной и приложенной в центре О.

§12. Условия равновесия системы сил.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия

, , (24)

где О – любой центр, так как при значение от выбора центра О не зависит.

Условия (24) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (24) являются и достаточными, потому что при система сил может приводится только к паре с моментом , а так как , то имеет место равновесие.