Теоретическая механика (стр. 4 )

Q = 3∙q = 6 кН.

Сила приложена в середине отрезка АВ. В результате имеем произвольную плоскую систему сил. 3) Проведем координатные оси x, y и составляем уравнения равновесия (2):

, ,

.

Решая эти уравнения, найдем:

XA = F1 = 4,24 кН, YA = Q – F2 = 1,76 кН, mA = Q∙1,5 + m – F2∙5 = – 9,2 кНм.

Для проверки составим уравнение моментов относительно точки С:

, – 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.

Задача 5. Определить реакции опор А, В, С и усилие в промежуточном шарнире D составной конструкции (рис. 33), на которую действуют активные силы: сосредоточенная сила F = 4 кН, приложенная в точке Е под углом 450, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с моментом m = 10 кНм.

Рис. 33

Решение. Один из способов решения задач об определении реакции опор составной конструкции состоит в том, что конструкцию расчленяют на отдельные тела и составляют условия равновесия каждого из тел в отдельности. Воспользуемся этим способом и разобьем конструкцию на две части: левую AD и правую DC. В результате приходим к задаче о равновесии двух тел. Силовые схемы задачи показаны на рис. 7,8. Для упрощения вычислений разложим силу на составляющие и , модули которых равны F1 = F2 = F cos450 = 2,83 кН, а распределенную нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой с модулем равным Q = 10 кН. Сила приложена в середине отрезка BD.

Рис. 34 Рис. 35

Анализ приведенных силовых схем показывает, что они включают шесть неизвестных величин: XA, YA, YB, XD, YD, YC.

Так как на рис. 34,35 имеются плоские системы уравновешенных сил, то для них можно записать условия равновесия (28) в виде шести линейных алгебраических уравнений:

Левая часть Правая часть

, ,

, ,

, .

Поскольку составленная система шести уравнений зависит от шести неизвестных XA, YA, YB, XD, YD, YC, то она является замкнутой.

Решая систему, найдем:

XA = – 2,83 кН, YA = – 0,93 кН, YB = 11,76 кН, YC = 2 кН, XD = 0, YD = 2 кН.

Для проверки составим уравнение моментов относительно точки D:

= 2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.

§16. Равновесие при наличии трения скольжения

Трение между двумя соприкасающимися телами происходит прежде всего вследствие шероховатости их поверхностей и наличия сцепления у прижатых к друг другу тел. При покое тела увеличение силы, стремящейся привести тело в движение, вызывает увеличение силы трения от нуля до известного предела Fпр, больше которого сила трения быть не может. Этот предел называют силой трения скольжения при начале движения.

Fтр £ Fпр . (35)

Как показывает опыт, максимальное значение силы трения пропорционально нормальному давлению:

Fтр = f N. (36)

Под нормальным давлением понимают составляющую полного давления, перпендикулярную соприкасающимся плоскостям. Так, если тело весом G лежит на плоскости, составляющей угол a с плоскостью горизонта С (рис. 36), то нормальное давление N = G cosa. При постепенном увеличении угла уменьшается сила нормального давления (а, следовательно, и сила трения) и увеличивается составляющая веса, направленная вдоль наклонной плоскости G sina. При некотором угле a = aтр тело не сможет больше удерживаться трением на наклонной плоскости и начнет сползать вниз. Этот угол называют углом трения, тангенс его равен коэффициенту трения для данной пары трущихся материалов (тела и плоскости)

tgaтр = f. (37)

Этот же угол называют углом естественного ската, потому что сыпучее тело, лежащее на горизонтальной плоскости, имеет форму конуса, образующие которого наклонены под этим углом к горизонтальному основанию.

Рис. 36

Подсчитаем, например, сколько яровой пшеницы можно насыпать на круглую площадку диаметром 10 м, если насыпная плотность яровой пшеницы равна 750 кг/м3, а f = 0,75? Для этого умножим насыпную плотность яровой пшеницы на объем конуса , где j – угол естественного откоса (tgj = f), и получим ответ (98000 кг).

Задача 6. Каким должен быть вес тела 1, для того чтобы началось скольжение вверх по наклонной плоскости (рис. 37), если сила F = 90 H, а коэффициент трения скольжения f = 0,3?

Рис. 37

Решение. Рассмотрим равновесие тела. На тело действуют силы , , и . Составляя условия равновесия в проекциях на оси x и y, получим:

, .

Из последнего уравнения . Тогда . Подставляя это значение Fтр в первое уравнение и решая его, найдем окончательно

 Н.

Глава 4

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

§17. Центр параллельных сил

Понятие о центре параллельных сил используется при определении положений центров тяжести тел.

В случае системы двух параллельных и одинаково направленных сил и , приложенных в точках A1 и A2 (рис. 38), их равнодействующая и ее модуль определяются, очевидно, формулами

= + , R = F1+F2.

Линия действия равнодействующей параллельна слагаемым силам и тоже проходит через точку С, лежащую на прямой A1A2. Положение точки С найдем с помощью теоремы Вариньона. Согласно этой теореме или 0 = F1∙h1 – F2∙h2 = F1∙A1C cosa – F2∙A2C cosa, откуда

F1∙A1C = F2∙A2C . (38)

Рис. 38

Если силы и повернуть около точек A1 и A2 в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то образуются две новые параллельные силы и , имеющие те же модули F1, F2; следовательно, для сил , равенство (38) сохранится и линия действия их равнодействующей тоже пройдет через точку С. Такая точка называется центром параллельных сил и .

Приведенные выше рассуждения справедливы и для системы нескольких параллельных и одинаково направленных сил , , …, , приложенных к твердому телу. Равнодействующая этой системы сил , модуль которой равен

, (39)

всегда будет проходить через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам приложения сил будет неизменным.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Координаты центра параллельных сил определяются формулами:

, , . (40)

где xk, yk, zk – координаты точек приложения сил, R – определяется равенством (39).

Заметим, что формулы (39) и (40) будут справедливы и для параллельных сил, направленных в разные стороны, если считать Fk величинами алгебраическими (для одного направления со знаком плюс, а для другого – минус) и если при этом R ≠ 0.

§ 18. Силовое поле. Центр тяжести твердого тела

Область, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует сила, зависящая от координат этой точки, называется силовым полем.

Например, на каждую частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила тяжести. Эти силы образуют поле сил тяжести. Силы тяжести, действующие на частицы тела, можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой частицы постоянное значение при любых поворотах тела. Поле тяжести, в котором выполняются эти два условия, называют однородным полем тяжести.

Равнодействующую сил тяжести , ,…, действующих на частицы тела, обозначим через (рис. 39). Модуль этой силы называется весом тела и определяется равенством

. (41)

Рис. 39

При повороте тела силы остаются параллельными друг другу. Следовательно, равнодействующая сил будет при любых положениях тела проходить через одну и ту же точку С, являющуюся центром параллельных сил тяжести . Эта точка называется центром тяжести тела. Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы тела, при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами (40); следовательно,

, , , (42)

где xk, yk, zk – координаты точек приложения сил тяжести .

Отметим, что центр тяжести – это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

§19. Координаты центров тяжести однородных тел

Для однородного тела вес pk любой его части и вес Р всего тела пропорциональны соответственно объемам vk этой части и V всего тела, т. е.

, ,

где g – вес единицы объема.

Подставив эти значения Р и рk в формулы (42), получим

, , . (43)

Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы. Поэтому точку С, координаты которой определяются формулами (43), называют центром тяжести объема V.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

, , (44)

где S – площадь пластины, sk – площади ее частей. Точку, координаты которой определяются формулами (44), называют центром тяжести площади S.

Точно также получаются формулы для координат центра тяжести линии:

, , , (45)

где L – длина линии, ℓk – длина ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

§20. Способы определения координат центров тяжести тел

Исходя из полученных выше формул, можно указать способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии. Из свойств симметрии следует, что центр тяжести однородного круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, прямоугольного параллелепипеда, шара лежит в геометрическом центре (центре симметрии) этих тел.

2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести тела можно вычислить по формулам (42) – (45).

3. Дополнение. Этот способ применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

4. Интегрирование. Тело разбивают на произвольно малые объемы Δvk, для которых формулы (49) принимают вид

, , . (46)

где xk, yk, zk – координаты некоторой точки, лежащей внутри объема Δvk. Затем в равенствах (46) переходят к пределу, устремляя все Δvk к нулю. Тогда суммы обращаются в интегралы и формулы (46) дают в пределе

, , . (47)

Аналогично для координат центров тяжести площадей и линий получаем:

, . (48)

и

, , . (49)

5. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации (самолет, тепловоз и т. п.) определяют экспериментально.

§21. Центры тяжести некоторых однородных тел

1. Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу AB радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести дуги лежит на оси Оx (рис. 40). Найдем координату xC по формулам (49). Для этого выделим на дуге AB элемент MM/ длиной dℓ = Rdj. Координата x элемента MM/ будет x = R cosj. Подставляя эти значения x и dℓ в первую формулу (49), получим

,

где L – длина дуги AB, равная R∙2a. Отсюда находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

xC = (Rsina)/a, (50)

где угол a измеряется в радианах.

Рис. 40

Приведем без доказательства еще два результата.

2. Центр тяжести площади кругового сектора ОАВ радиуса R с центральным углом 2a (рис. 41) лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

. (51)

Рис. 41 Рис. 42

3. Центр тяжести С объема полушара лежит на оси Оx (оси симметрии, рис. 42), а его координата

xC = OC = 3R/8, (52)

где R – радиус полушара.